AI證明數(shù)學(xué)猜想，這次來真的了。

OpenAI最新模型GPT-5.2 Pro剛剛獨(dú)立證明了一道埃爾德什猜想。

論證過程經(jīng)菲爾茲獎(jiǎng)得主陶哲軒驗(yàn)證成立，還被評價(jià)為“迄今為止最明確的第一類結(jié)果（AI主要貢獻(xiàn)）”。

這道題是埃爾德什問題庫中的第281號，由傳奇數(shù)學(xué)家保羅·埃爾德什（Paul Erd?s）與羅納德·格雷厄姆（Ronald Graham）于1980年共同提出，涉及同余覆蓋系統(tǒng)與自然密度的深層關(guān)系。

45年來，這道題一直靜靜躺在問題庫里，等待解答。

直到2025年1月17日，一位名叫Neel Somani的研究者把這道題扔給了GPT-5.2 Pro。

證明只用到GPT 5.2 Pro

埃爾德什問題網(wǎng)站已收錄AI證明結(jié)果。

整個(gè)論證在無窮阿德爾整數(shù)環(huán)上展開，借助哈爾測度和點(diǎn)態(tài)遍歷定理，結(jié)合緊致性論證完成了從逐點(diǎn)收斂到一致收斂的躍遷。

按陶哲軒的話說，它是“Furstenberg對應(yīng)原理”的一個(gè)變體，這是遍歷理論與組合數(shù)學(xué)交叉領(lǐng)域的標(biāo)準(zhǔn)工具。

但GPT-5.2 Pro的用法又有些不同，它比通常的論證更依賴伯克霍夫定理。

然而真正讓陶哲軒印象深刻的不是證明方法本身，而是AI沒有犯錯(cuò)。

讓我更驚訝的是它避免了錯(cuò)誤，比如極限交換或量詞順序的失誤，這正是這道題最容易踩的坑。前幾代大語言模型幾乎肯定會在這些微妙之處栽跟頭。

為了驗(yàn)證這份證明，陶哲軒親自動手，把整套遍歷論論證翻譯成了組合學(xué)語言，用哈代-利特爾伍德極大不等式替代伯克霍夫定理，重新走了一遍全部推導(dǎo)。

結(jié)論：證明成立。

一個(gè)意外的發(fā)現(xiàn)

正當(dāng)大家討論GPT-5.2 Pro的證明時(shí)，一位網(wǎng)名KoishiChan的用戶在評論區(qū)拋出了一個(gè)令人意外的發(fā)現(xiàn)：

這道題其實(shí)有更簡單的解法，而且所需的兩個(gè)定理早在1936年和1966年就已經(jīng)存在了。

第一個(gè)是達(dá)文波特（Harold Davenport）與埃爾德什本人在1936年合作證明的密度收斂定理。

第二個(gè)是羅杰斯定理，首次發(fā)表于1966年的哈爾伯斯塔姆-羅斯專著《序列》第五章。把這兩個(gè)經(jīng)典結(jié)果拼在一起，第281號問題幾乎是直接推論。

這就奇怪了。埃爾德什自己就是1936年那篇論文的合著者，而他在1980年提出這道題時(shí)，都沒有意識到答案近在眼前。

陶哲軒就此事專門寫郵件請教了法國數(shù)學(xué)家特南鮑姆（Tenenbaum）。

特南鮑姆確認(rèn)“只要滿足你提到的兩個(gè)經(jīng)典結(jié)果（達(dá)文波特-埃爾多斯定理和羅杰斯定理），問題就能立即得到解決”，但他也猜測“問題的表述可能在某個(gè)環(huán)節(jié)被改動過”。不過目前沒有人找到任何其他版本的表述，所以只能按原樣處理。

更有意思的是，2007年菲拉塞塔、福特、科尼亞金、波默朗斯和余等五位頂尖專家在解決另一道埃爾德什問題時(shí)，同樣不知道羅杰斯定理的存在，直到特南鮑姆提醒他們才補(bǔ)上了引用。

陶哲軒感慨：“羅杰斯定理沒有得到它應(yīng)有的傳播。它只出現(xiàn)在哈爾伯斯塔姆-羅斯那本書里，沒有單獨(dú)發(fā)表，文獻(xiàn)引用寥寥無幾?；蛟S這場討論能讓更多研究篩法和同余覆蓋的人注意到這個(gè)結(jié)果?！?/p>

最終現(xiàn)在這道題有了兩份證明：一份來自GPT-5.2 Pro的遍歷論路徑，一份來自KoishiChan挖出的經(jīng)典文獻(xiàn)組合。

陶哲軒確認(rèn)兩者是“不同的證明”，雖然在概念上有些重疊。

如何評估AI數(shù)學(xué)的真實(shí)成功率

消息傳開后，各路AI模型紛紛被拉來交叉驗(yàn)證。

Gemini 3 Pro表示證明沒有問題。另一位研究者用GPT-5.2 Pro反復(fù)檢查論證細(xì)節(jié)，AI認(rèn)為唯一需要補(bǔ)充嚴(yán)格性的地方在第二步，可以用法圖引理繞過遍歷論直接完成。

不過陶哲軒指出這里法圖引理的方向用反：我剛教完研究生測度論，這類錯(cuò)誤見得太多了。

隨后又確認(rèn)其實(shí)是對補(bǔ)集應(yīng)用法圖引理，方向沒問題，論證成立。

但陶哲軒同時(shí)發(fā)出了冷靜的提醒。他寫道：

評估AI工具真實(shí)成功率時(shí)，最大的統(tǒng)計(jì)偏差來自強(qiáng)烈的報(bào)告偏差，負(fù)面結(jié)果幾乎不會被披露。 如果某人或某AI公司把工具用在開放問題上但沒有進(jìn)展，他們沒有動力報(bào)告這個(gè)負(fù)面結(jié)論；即使報(bào)告了，也不太可能像正面結(jié)果那樣在社交媒體上傳播開來。 盡管絕大多數(shù)集中在難度譜系的簡單一端，遠(yuǎn)不能說明中等難度的埃爾德什問題已經(jīng)進(jìn)入AI的射程范圍。

他推薦了Paata Ivanisvili和Mehmet Mars Seven發(fā)起的一個(gè)開源項(xiàng)目，系統(tǒng)記錄前沿大語言模型在埃爾德什問題上的正面和負(fù)面結(jié)果。

數(shù)據(jù)顯示，這些工具在埃爾德什問題上的真實(shí)成功率大約只有百分之一到二。

但考慮到問題庫里有超過600道未解難題，這個(gè)比例仍然意味著一批數(shù)量可觀且非平凡的AI貢獻(xiàn)。

參考鏈接：
[1]https://www.erdosproblems.com/forum/thread/281
[2]https://x.com/neelsomani/status/2012695714187325745
[3]https://mathstodon.xyz/@tao/115911902186528812

文章來源：量子位。