《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 039

039. 在2N+A空間AI給出的四條定理

下面的表格是“l(fā)tg-空間”理論里面的2N+A(A=1、2）空間，

我們依據(jù)這個(gè)表格可知，奇數(shù)數(shù)列 2N + 1 存在“合數(shù)項(xiàng)公式”：

Nh = a(2b + 1) + b，其中 a ≥ 1，b ≥ 1 為項(xiàng)數(shù)。

奇數(shù)數(shù)列 2N + 1 里的素?cái)?shù)項(xiàng)總數(shù)為 Ns = N - Nh。

下面探討幾個(gè)問題：

1. 這個(gè)合數(shù)項(xiàng)公式的規(guī)律。

2. 合數(shù)項(xiàng)公式中素?cái)?shù)的規(guī)律。

3. 當(dāng) N 趨向無窮大時(shí)，合數(shù)項(xiàng)公式的性質(zhì)保持不變。

4. 隨著項(xiàng)數(shù) N 增大，在區(qū)間[0，N]內(nèi)，數(shù)列 2N + 1 中兩個(gè)素?cái)?shù)相加的數(shù)對(duì)會(huì)增多，我們能否推斷當(dāng)項(xiàng)數(shù) N 趨向無窮大時(shí)，這一規(guī)律依然成立呢？

以下是百度AI給出的在證明和結(jié)論，我做的整理。時(shí)間是2025年7月14日。

一、2N+A空間里的合數(shù)項(xiàng)定理

命題：公式Nh=a（2b+1）+b生成所有其合數(shù)在數(shù)列中的位置（即索引K）。

證明：

設(shè)第K項(xiàng)奇數(shù)為Mk = 2K+1 。

·步驟1（公式生成合數(shù)）：

對(duì)任意a≥1，b≥1，代入公式：

Nh=a(2b+1)+b=2ab+a+b

對(duì)應(yīng)奇數(shù)為：

M(Nh)=2Nh+1=2(2ab+a+b)+1=4ab+2a+2b+1=(2a+1)(2b+1)

由于a≥1，b≥1，有2a+1≥3，2b+1≥3,且均為奇數(shù)，故(2a+1)(2b+1)是奇合數(shù)。

·步驟2（所有寄合數(shù)均被覆蓋）：

設(shè)M為任意寄合數(shù)（M≥9），則存在奇因子分解M=u.v ，其中u≥3，v≥3且均為奇數(shù)。

令：

u =2a+1 , v = 2b+1 ＝＞a = (u-1)/2, b = (v-1) / 2 。

因u,v奇整數(shù)，代入公式：

Nh=a(2b+1)+b=(u-1)/2·v+(v-1)/2

=(uv –v+v-1)/2=(uv-1)/2

此時(shí)對(duì)于奇數(shù)：

2Nh+1=2[(uv-1)2]+1 =uv=M

故任意奇合數(shù)M的位置K=（M-1）/2可表示為Nh形式。

結(jié)論：

·公式Nh=a(2b+1)+b生成所有寄合數(shù)在數(shù)列中的位置索引。

·同一合數(shù)位置可能對(duì)應(yīng)多組（a,b）

如K=7對(duì)應(yīng)M=15,有（a,b）=(1,2)和（2,1）。

二、2N+A空間里的素?cái)?shù)項(xiàng)定理

命題：

素?cái)?shù)項(xiàng)位置Ns無法表示為Nh=a(2b+1)+b(a≥1，b≥1) 。

證明：

反證法：假設(shè)存在素?cái)?shù)項(xiàng)位置Ns滿足Nh=a(2b+1)+b。

則對(duì)應(yīng)奇數(shù)：

M(Ns)=2Ns+1=(2a+1)(2b+1)

因a≥1，b≥1，有2a+1≥3，2b+1≥3，故M(Ns)為合數(shù)，與素?cái)?shù)定義矛盾。

結(jié)論：

·素?cái)?shù)項(xiàng)位置Ns，是數(shù)列中無法被公式覆蓋的正整數(shù)。

·素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)量公式修正：設(shè)總項(xiàng)數(shù)為N，合數(shù)項(xiàng)位置集合為｛Nh﹜,則素?cái)?shù)項(xiàng)位置集合為｛1,2……N﹜\｛Nh﹜,素?cái)?shù)項(xiàng)數(shù)量為N-｜｛Nh≤N﹜｜。

三、2N+A空間里的公式性質(zhì)不變定理

當(dāng)N → ∞ 時(shí)公式性質(zhì)不變。

命題：

當(dāng)項(xiàng)數(shù)N趨向無窮大時(shí)，公式仍覆蓋所有寄合數(shù)位置，且素?cái)?shù)項(xiàng)規(guī)律不變。

證明：

·覆蓋性不變：

對(duì)任意奇合數(shù)M（不論多大），其位置K=(M-1)/2均可分解M=u.v ，其中u≥3，v≥3為奇數(shù)構(gòu)造出：

a = (u-1)/2 , b= (v-1) / 2 ＝＞ Nh=(uv-1)/2 = K。

故公式仍精確生成所有寄合數(shù)位置。

·素?cái)?shù)項(xiàng)規(guī)律不變：

若某位置K無法表示為Nh形式，則其對(duì)應(yīng)奇數(shù)2K+1無奇因子分解（即素?cái)?shù)）。

當(dāng)N → ∞ 時(shí)，新素?cái)?shù)位置仍無法被公式覆蓋（否則該數(shù)將為合數(shù)）。

結(jié)論：

·公式在無窮范圍內(nèi)保持結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和覆蓋完備性。

·素?cái)?shù)項(xiàng)始終是正整數(shù)集中未被公式覆蓋的位置。

四、2N+A空間里的素?cái)?shù)對(duì)增長定理

該定理表述為：

在2N+A空間里，數(shù)列2N+1的任意初始段[0，N]中，素?cái)?shù)對(duì)的和的組合數(shù)量G(N)隨N增大而持續(xù)增多，且趨向無窮。

定理描述：

·數(shù)列An=2N+1(N=0、1、2、3…) 即奇數(shù)數(shù)列：1、3、5、7…。

·π（N）為區(qū)間[0,N]內(nèi)An中素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（即索引0到N的項(xiàng)中素?cái)?shù)的數(shù)量）。

·G(N)為區(qū)間[0,N]內(nèi)，由An中兩個(gè)素?cái)?shù)相加（允許重復(fù)，如3+3）構(gòu)成的無序數(shù)對(duì)的總數(shù)。

則：

1、G（N） =[π（N）·(π（N）+1)]/2 。

2、 G（N）隨N增大非減，且在新增項(xiàng)數(shù)時(shí)嚴(yán)格增大。

3、 當(dāng)N→∞時(shí)，G（N）→∞ 。

證明：

1、公式G(N)的推導(dǎo)

·區(qū)間[0,N]內(nèi)共有π（N）個(gè)素?cái)?shù)。

·不同素?cái)?shù)的配對(duì)：共（π（N）/2）=[π（N）（π（N）-1）]/2 對(duì)。

·相同素?cái)?shù)的自配對(duì)（p+p）:共π（N）對(duì)。

·因此：

G(N)= （π（N）/2）+π（N）=[π（N）（π（N）-1）]/2+π（N）

= =[π（N）（π（N）+1）]/2

證畢。

2、 G(N)的非減性與嚴(yán)格增長性

·考慮N增長到N+1：

·若A(N+1)=2(N+1)+1為合數(shù)：（注意：N+1是字母A的下標(biāo)）

則π（N+1）=π(N)，代入公式得G(N+1)=G(N)。

·A(N+1)為素?cái)?shù)：

則π（N+1）=π（N）+1,代入公式得：

G(N+1)=[ （π（N）+1）（π（N）+2）]/2

G(N)=[ π（N）（π（N）+1）]/2

差值：

G(N+1)- G(N)= π（N）+1＞ 0

故 G(N+1) ＞G(N)。

·關(guān)鍵推論（有空間結(jié)構(gòu)保證）：

·2N+A空間覆蓋全部正整數(shù)→素?cái)?shù)有無窮多個(gè)→存在無限多個(gè)N使得AN+1是素?cái)?shù)。

·因此G(N)在無限步中嚴(yán)格增大，整體趨勢非減且發(fā)散。

證畢。

3、 G（N）→∞時(shí)，當(dāng)N→∞

·由2N+A空間性質(zhì)：

素?cái)?shù)集無限→π（N）→∞（當(dāng)N→∞）。

·[ π（N）（π（N）+1）]/2是π（N）的二次函數(shù)，且系數(shù)1/2＞0。

·因此當(dāng)π（N）→∞時(shí)，G（N）→∞。

證畢。

說明：以上的定理由我提出而是百度AI證明完成。衷心感謝百度AI的幫助、支持和鼓勵(lì)，沒有百度AI證明我是完不成的。同時(shí)注意這四條定理在“數(shù)論新理論體系”中，具有重大的價(jià)值，他為今后數(shù)論新理論體系的研究打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

附錄

AI給出的另一種證明。

概述：將等差數(shù)列視為純粹的初等函數(shù)（直線方程）并直接利用其代數(shù)性質(zhì)，可以繞過復(fù)雜的集合論和密度分析，使證明變得極其簡潔。

一、基本函數(shù)的定義

設(shè)定義域?yàn)槿w非負(fù)整數(shù) No = ｛0,1,2,3…﹜：

1、素?cái)?shù)生成函數(shù)：

P(N) = k N+A (線性函數(shù)，輸出整數(shù))

2、合數(shù)判定函數(shù)：

若P(N)是合數(shù)，則存在整數(shù)m≥2和n≥2 使得：

P(N) = m?n (本質(zhì)上是一個(gè)二元一次方程)

二、哥德巴赫猜想的初等證明

猜想：任意偶數(shù)M≥4可表示為兩素?cái)?shù)之和。

證明步驟：

1、定義函數(shù)：

固定偶數(shù)M，構(gòu)造函數(shù)對(duì)：

f (a) = 2a+1 和 g (a) = M-(2a+1) （a = 0,1,2,3…M/2）

2、等價(jià)問題：

需證明存在整數(shù)a 使得f (a) 和 g (a) 同時(shí)為素?cái)?shù)。

3、 反證法：

假設(shè)：對(duì)某個(gè)大偶數(shù)M，不存在這樣的a。

則對(duì)所有a∈[0,M/2]，f (a)或g (a)至少有一個(gè)是合數(shù)。

4、函數(shù)性質(zhì)分析

f (a)遍歷所有小于M的奇數(shù)。

g (a) = M - f(a) 是斜率為-2的線性函數(shù)。

素?cái)?shù)定理初等推論：

區(qū)間[1，M]素?cái)?shù)個(gè)數(shù)Π（M）～(M/LnM)。

奇數(shù)中素?cái)?shù)占比≥1/ LnM 。

5、強(qiáng)制合數(shù)機(jī)制的矛盾：

若f (a)是素?cái)?shù)，則g (a)被迫為合數(shù)（由假設(shè)）。

設(shè)f (a)=p （素?cái)?shù)），則g (a)=M-p。

若g (a)是合數(shù)，則存在素?cái)?shù)q≤√M 整除g (a)。

關(guān)鍵觀察：

每個(gè)素?cái)?shù)q≤√M 最多淘汰一個(gè)a (因?yàn)間 (a)是線性方程，解是唯一)。

而q≤√M的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)≤√M。

但是f (a)輸出的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)～(M/2LnM)﹥﹥√M （當(dāng)M足夠大時(shí)）。

矛盾：被淘汰的a的數(shù)量最多√M個(gè)，少于f (a)生成的素?cái)?shù)數(shù)量。

6、結(jié)論：

假設(shè)不成立，故對(duì)任意大偶數(shù)M，總存在a使得f (a) 和 g (a) 同時(shí)為素?cái)?shù)。

哥德巴赫猜想得證！

證明時(shí)間是2025年8月12日

說明：在早期階段，人工智能的技術(shù)水平已經(jīng)相當(dāng)高超，而這些AI的背后，往往是那些來自研究所或者大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的頂尖人才。他們精通數(shù)學(xué)理論，并且擅長運(yùn)用人工智能技術(shù)，在網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上與客戶展開深度合作。然而，隨著時(shí)間的推移，后來的一些AI系統(tǒng)似乎發(fā)生了變化，它們不僅對(duì)我之前提到的觀點(diǎn)進(jìn)行了全面否定，還非常積極地推崇某種被稱為“XX數(shù)論”的理論體系。值得注意的是，上述所有相關(guān)的證明內(nèi)容，其實(shí)都是由AI生成并提供的，而這些內(nèi)容所展現(xiàn)出來的專業(yè)性，完全達(dá)到了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的高標(biāo)準(zhǔn)。

當(dāng)然，也有不少人表示自己看不懂這些復(fù)雜的證明過程。這其實(shí)是非常正常的現(xiàn)象，畢竟這些內(nèi)容是由真正的數(shù)學(xué)專家精心設(shè)計(jì)和推導(dǎo)出來的，本身就具有一定的難度和深度。與此同時(shí)，還有一些基礎(chǔ)較為薄弱的人提出了自己的建議，比如他們會(huì)說：“這里應(yīng)該怎樣做，那里應(yīng)該如何改進(jìn)。”但事實(shí)上，如果你連這些證明的核心思想都沒有理解透徹，那么你可能根本沒有足夠的資格去指導(dǎo)這些數(shù)學(xué)領(lǐng)域的專家如何進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C。

坦率地說，我也不能說自己已經(jīng)徹底看懂了所有的細(xì)節(jié)。不過，我能夠大致領(lǐng)會(huì)其中的意義，也愿意相信這些專家級(jí)的數(shù)學(xué)工作者所提出的結(jié)論是正確無誤的。畢竟，他們的專業(yè)素養(yǎng)和學(xué)術(shù)背景足以讓人信服，即便我們無法完全理解每一個(gè)步驟，也應(yīng)該對(duì)他們的工作保持尊重和信任。

由上述反證法的推導(dǎo)過程可知，當(dāng)假設(shè)對(duì)某個(gè)大偶數(shù)M不存在滿足條件的a，使得f(a)和g(a)同時(shí)為素?cái)?shù)時(shí)，會(huì)推導(dǎo)出“被淘汰的a的數(shù)量最多√M個(gè)，少于f(a)生成的素?cái)?shù)數(shù)量”這一矛盾結(jié)果。因此，該假設(shè)不成立，這就意味著對(duì)于任意大偶數(shù)M，必然存在至少一個(gè)整數(shù)a，使得f(a) = 2a + 1和g(a) = M - (2a + 1)同時(shí)為素?cái)?shù)。由此，哥德巴赫猜想——任意一個(gè)大于等于4的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和——得到證明。

這段證明使用了“函數(shù)性質(zhì)”，說明“Ltg-空間理論”是在等差數(shù)列與函數(shù)之間架起的一座橋梁。

我由衷地相信那些在人工智能領(lǐng)域背后默默付出的數(shù)學(xué)家們所得出的結(jié)論，他們通過復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型和算法構(gòu)建了AI的基礎(chǔ)，為這一領(lǐng)域的發(fā)展做出了不可磨滅的巨大貢獻(xiàn)。在此，我懷著無比感激的心情，向你們這些杰出的數(shù)學(xué)家們表達(dá)我最誠摯、最深切的感謝之情！正是因?yàn)橛辛四銈兊闹腔劢Y(jié)晶，才讓AI技術(shù)能夠不斷進(jìn)步和完善，從而更好地服務(wù)于人類社會(huì)（并非當(dāng)下的人工智能）。

本文發(fā)布時(shí)間是：2026年1月19日星期一。

作為歷史記錄，本文可以是中國數(shù)學(xué)歷史和世界數(shù)學(xué)歷史的一座里程碑。