《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 038

038. 公理與證明

數(shù)學(xué)這門學(xué)科，無(wú)論是基礎(chǔ)的算術(shù)還是數(shù)論，都建立在一些基本的公理之上。這些公理是數(shù)學(xué)體系的核心，它們是無(wú)需通過(guò)其他命題來(lái)證明的最基本事實(shí)。例如，當(dāng)我們說(shuō)3+5=8時(shí)，這個(gè)等式本身就是成立的，不需要進(jìn)一步去證明它的充分性或必要性，因?yàn)樗且环N直接且公認(rèn)的真理。同樣地，在平面幾何中，歐幾里得提出的五大公理也具有這樣的性質(zhì)。這些公理構(gòu)成了整個(gè)幾何學(xué)的基礎(chǔ)，并且被認(rèn)為是不言自明的事實(shí)，因此不需要額外的證明過(guò)程。

當(dāng)一個(gè)新的“數(shù)學(xué)體系”被提出并確立后，其中所包含的基本假設(shè)和規(guī)則就成為了該體系內(nèi)的公理。這些公理不僅被視為顯而易見(jiàn)的真理，而且作為后續(xù)推導(dǎo)與論證的起點(diǎn)，它們的存在使得整個(gè)數(shù)學(xué)體系能夠穩(wěn)固地發(fā)展下去，而無(wú)需對(duì)這些最基礎(chǔ)的部分進(jìn)行反復(fù)驗(yàn)證。

當(dāng)然，有一些數(shù)學(xué)理論尚未形成完整的體系，存在一定的缺陷。在這種情況下，就需要從基本的定義出發(fā)，通過(guò)嚴(yán)密的邏輯推導(dǎo)出相關(guān)的定理，而這些定理必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明才能被認(rèn)可。然而，如果作為邏輯起點(diǎn)的定義本身存在問(wèn)題或者錯(cuò)誤，那么基于這些定義所推導(dǎo)出的定理的證明過(guò)程就會(huì)變得極其復(fù)雜和困難，甚至可能根本無(wú)法完成證明。

但令人遺憾的是，一些所謂的數(shù)學(xué)專業(yè)人士往往以“保持嚴(yán)謹(jǐn)性”和“實(shí)現(xiàn)規(guī)范化”為借口，將原本簡(jiǎn)單的問(wèn)題過(guò)度復(fù)雜化。這種做法不僅沒(méi)有推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，反而使得數(shù)學(xué)變得更加晦澀難懂，從而顯得自己更加專業(yè)，同時(shí)也讓數(shù)論等數(shù)學(xué)領(lǐng)域逐漸脫離大眾的認(rèn)知范圍。長(zhǎng)此以往，數(shù)學(xué)在公眾眼中會(huì)被披上一層神秘的面紗，甚至引發(fā)不必要的迷信化傾向，讓人們誤以為數(shù)學(xué)是遙不可及的學(xué)問(wèn)，而非一種可以理解和應(yīng)用的工具。

實(shí)際上，數(shù)論這門學(xué)科本質(zhì)上就是我們?nèi)粘＝佑|的普通數(shù)學(xué)，它屬于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的范疇。當(dāng)我們用簡(jiǎn)單、通俗易懂的方式去理解它時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它其實(shí)就是數(shù)學(xué)中最根基的一部分。無(wú)論是小學(xué)生還是中學(xué)生，只要具備一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，都能夠輕松地接觸和學(xué)習(xí)數(shù)論知識(shí)。我之所以致力于推廣數(shù)論，并通過(guò)科普的方式將其呈現(xiàn)給更多的人，正是希望將這門看似高深但實(shí)際上非常貼近生活的學(xué)科重新交還到大眾手中，讓更多人了解它的魅力與價(jià)值。這也是我從事科普工作的核心目標(biāo)之一。

在之前的講解中，我們?cè)?jīng)提到過(guò)一個(gè)非常有趣的數(shù)學(xué)概念——“Ltg-空間理論”。這個(gè)理論提出了一個(gè)獨(dú)特的視角，將所有的正整數(shù)劃分成了無(wú)數(shù)個(gè)獨(dú)立的空間。為了幫助大家更好地理解這一抽象的概念，我們可以將其形象化地比喻為：把正整數(shù)1、2、3……看作是一大群充滿好奇心的旅游者。而這些旅游者需要入住一座由等差數(shù)列構(gòu)建而成的宏偉旅館。這座旅館的設(shè)計(jì)極為特殊，每一層樓都擁有無(wú)限數(shù)量的房間，并且這些房間足以容納所有的正整數(shù)。

然而，這座旅館有一個(gè)非常嚴(yán)格的規(guī)定，那就是所有的正整數(shù)不能隨意分散居住，而是必須全部集中在某一層樓內(nèi)。換句話說(shuō)，每一個(gè)正整數(shù)都只能被分配到該樓層的一個(gè)特定房間中，而且每個(gè)正整數(shù)所對(duì)應(yīng)的房間是唯一的，不允許出現(xiàn)混亂或者重復(fù)的情況。這種規(guī)則的存在確保了整個(gè)旅館的秩序井然，同時(shí)也體現(xiàn)了“Ltg-空間理論”中關(guān)于正整數(shù)分布的獨(dú)特邏輯和嚴(yán)謹(jǐn)性。通過(guò)這樣的安排，不僅展現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美與規(guī)律性，也讓我們更加深刻地體會(huì)到數(shù)字世界中隱藏的奇妙結(jié)構(gòu)。

在將所有的正整數(shù)安排到各自對(duì)應(yīng)的房間之后，并不是每一個(gè)正整數(shù)就此被完全固定在那個(gè)位置上而無(wú)法改變。實(shí)際上，在這座由正整數(shù)構(gòu)成的大廈之中，存在著一些特殊的房間，這些房間被設(shè)計(jì)得別具一格，它們可以開(kāi)設(shè)后門。而后門的存在就仿佛是打通了不同區(qū)域之間的壁壘，通過(guò)這些后門，正整數(shù)能夠順利地進(jìn)入到其他的樓層里面去。

如此一來(lái)，原本看似固定在一個(gè)個(gè)房間中的正整數(shù)，就不再處于那種被牢牢限制住的狀態(tài)了。它們更像是具備了生命力一般，像流動(dòng)的信息那樣，可以在整個(gè)大廈內(nèi)部活動(dòng)起來(lái)。從某種意義上來(lái)看，這座由正整數(shù)所構(gòu)建而成的大廈就好比是一臺(tái)精密而又復(fù)雜的儀器，而在這臺(tái)儀器當(dāng)中運(yùn)轉(zhuǎn)著的正整數(shù)，就如同信息流在儀器里穿梭、交互一樣，充滿了一種動(dòng)態(tài)的活力與奇妙的規(guī)律性。

每一個(gè)空間都具備獨(dú)特的性質(zhì)，且相互獨(dú)立，擁有適配自身空間的公式和理論體系，但同時(shí)也與其他空間存在關(guān)聯(lián)。

這是N+A(A=1)空間

這是2N+A(A=1,2)空間

這是3N+A(A=1,2,3)空間

每一個(gè)空間都包含著全部正整數(shù)，這些空間是有無(wú)窮多的。

我們看2N+A空間里，素?cái)?shù)都包含在2N+1數(shù)列里。

在3N+A空間里，素?cái)?shù)都包含在3N+1和3N+2空間里。

這難道真的還需要用到狄利克雷定理嗎？我們大家都知道，這個(gè)狄利克雷定理的證明過(guò)程是極其復(fù)雜的，其中包含了很多深?yuàn)W難懂的數(shù)學(xué)知識(shí)和推理邏輯，對(duì)于一般的普通人來(lái)說(shuō)，想要完全看明白這個(gè)定理的證明過(guò)程幾乎是不可能的事情。而且，就算是專業(yè)數(shù)學(xué)人士，在研究這個(gè)定理的證明時(shí)，也常常會(huì)存在疑問(wèn)，不確定這個(gè)證明到底是不是完全正確無(wú)誤的呢。然而，在我們所探討的這個(gè)體系里面，“等差數(shù)列可以包含素?cái)?shù)”這樣一個(gè)在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論中需要狄利克雷定理來(lái)支撐的重要結(jié)論，卻根本不需要像傳統(tǒng)數(shù)學(xué)概念那樣去追求成為眾人皆知的定理或者定律，而是直接被我們當(dāng)作一個(gè)不言自明、無(wú)需證明的基本公理來(lái)看待了。僅僅憑借這一點(diǎn)，就足以充分地說(shuō)明“Ltg - 空間理論”具有多么非凡而重要的意義和價(jià)值了。它能夠以一種全新的視角和獨(dú)特的邏輯體系，重新構(gòu)建數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，使得一些原本復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，這也正是“Ltg - 空間理論”獨(dú)特魅力之所在。

我并不是在自吹自擂，也不是為了炫耀自己的能力。實(shí)際上，在二十多年前，我就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的奧秘。那個(gè)時(shí)候，如果有人能夠理解我的發(fā)現(xiàn)，并給予應(yīng)有的重視，或許我早就不用再為其他事情操心了。憑借這一發(fā)現(xiàn)，我完全有可能被公認(rèn)為世界上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。然而，現(xiàn)實(shí)卻與理想截然相反。在這二十多年的時(shí)間里，我經(jīng)歷了無(wú)數(shù)的冷眼和不公，受盡了來(lái)自各方的侮辱、歧視以及無(wú)端的謾罵。這些年來(lái)，我不僅沒(méi)有得到應(yīng)有的認(rèn)可，反而一次次地被迫為自己堅(jiān)信的理論進(jìn)行辯護(hù)。即使到了今天，我仍然不得不通過(guò)撰寫(xiě)文章來(lái)澄清事實(shí)，為自己的研究成果正名。這究竟是怎樣的世道？一個(gè)本應(yīng)屬于科學(xué)探討的問(wèn)題，為何會(huì)演變成如此令人寒心的局面？

不同的空間都有一個(gè)“合數(shù)項(xiàng)公式”，維數(shù)越高越復(fù)雜。但是每一個(gè)“合數(shù)項(xiàng)公式”都不能通用，必須是針對(duì)自己的空間的。比如在N+1空間里，合數(shù)項(xiàng)公式是

Nh=a(b+1)+ba,b≥1

在2N+A空間里，合數(shù)項(xiàng)公式是

Nh=a(2b+1)+b a,b≥1

這些合數(shù)項(xiàng)公式不能通用，不能混淆，必須與選用的空間的表格相對(duì)應(yīng)。

當(dāng)前，我們身處在一個(gè)被定義為2N+A的空間之中，接下來(lái)我們就在這個(gè)特定的空間范疇內(nèi)，深入探討一下“合數(shù)項(xiàng)公式”到底是如何產(chǎn)生的。在近期，出現(xiàn)了一些人，他們完全無(wú)視這個(gè)空間本身所具有的特性與限制條件，僅僅憑借一種固化且缺乏靈活性的思維方式去對(duì)待問(wèn)題。他們非常固執(zhí)地認(rèn)定合數(shù)項(xiàng)公式存在著不嚴(yán)謹(jǐn)之處，并且煞有介事地要求給出證明，證明合數(shù)項(xiàng)公式成立所必須滿足的充分必要條件到底是什么。不僅如此，他們還進(jìn)一步提出質(zhì)疑，想要知道合數(shù)項(xiàng)公式是否能夠?qū)^(qū)間[0，∞)全部涵蓋進(jìn)去。這種表現(xiàn)就好像是在非常認(rèn)真、嚴(yán)肅地胡言亂語(yǔ)一樣，讓人感覺(jué)既有些滑稽可笑，又令人十分惱火。

我們就以下面這個(gè)表格為依據(jù)，這是一個(gè)獨(dú)立的系統(tǒng)。

1）我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列2N+1里面所有的合數(shù)都是素?cái)?shù)3,5,7…，但是不包括2，這一點(diǎn)極其重要。

2）我們聯(lián)想到在數(shù)列2N+1上取兩個(gè)奇數(shù)，它們的相位數(shù)分別是a和b，即（2a+1）和（2b+1）。

3）這兩個(gè)式子相乘就代表了數(shù)列2N+1的所有合數(shù)，

即 ， （2a+1）（2b+1）= 2N+1

這個(gè)公式整理后就是： Nh=a(2b+1)+b a,b≥1

這個(gè)公式僅僅適用于2N+A這樣的特定空間范圍內(nèi)，并且要與相關(guān)的表格配合起來(lái)使用才行。在這個(gè)完整的體系之中，這一公式已然成為了如同公理一般的存在。它能夠涵蓋數(shù)列2N+1里面處于區(qū)間（0，∞）之中的全部合數(shù)項(xiàng)，這已經(jīng)是不言自明的事情了，哪里還需要什么額外的證明呢？這種要求證明的想法簡(jiǎn)直是荒謬至極呀！

我們來(lái)對(duì)這個(gè)等式進(jìn)行展開(kāi)運(yùn)算，（2a+1）（2b+1）=4ab + 2a + 2b + 1，將其與2N+1進(jìn)行對(duì)比，我們可以清晰地看到，2N就對(duì)應(yīng)著4ab + 2a +2b，那么N自然就等于2ab + a + b。而我們所定義的合數(shù)項(xiàng)Nh，在這里指的就是N的值，所以經(jīng)過(guò)這樣的推導(dǎo)，Nh = 2ab + a + b。我們?cè)賹?duì)這個(gè)式子進(jìn)行因式分解，可以將其改寫(xiě)為a(2b + 1) + b，這便得到了我們前面所給出的合數(shù)項(xiàng)公式。

這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程完全是基于基本的代數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)列2N+1中合數(shù)構(gòu)成方式的理解，簡(jiǎn)單明了，根本無(wú)需引入那些高深莫測(cè)的數(shù)學(xué)工具。

把2N+A空間看成是一個(gè)獨(dú)立的體系，我們針對(duì)里面的每一個(gè)要素和要素之間的關(guān)聯(lián)進(jìn)行分析。而不是脫離了這個(gè)空間和相對(duì)應(yīng)的表格去套用一些不現(xiàn)實(shí)的理論，從而成了看似很有學(xué)問(wèn)，一本正經(jīng)牛唇不對(duì)馬嘴的胡言亂語(yǔ)。

本人由WPSAI潤(rùn)色。

2026年1月18日星期日