在量子力學(xué)恢弘殿堂的建造史上，馬克斯·玻恩（Max Born）扮演著至關(guān)重要的雙重角色：他不僅是為其注入深邃“靈魂（概率詮釋）”的哲學(xué)家，更是親手為其奠定堅實“框架（矩陣形式）”的偉大建筑師。

1925年，當(dāng)年輕的沃納·海森堡（Werner Heisenberg）帶著顛覆經(jīng)典物理圖景的模糊構(gòu)想回到哥廷根時，玻恩就以其非凡的物理直覺和深厚的數(shù)學(xué)洞察力，敏銳地識別出其中蘊藏的革命性潛力。玻恩果斷行動，不僅為海森堡的思想提供了關(guān)鍵的數(shù)學(xué)識別（矩陣形式），更組織起包括數(shù)學(xué)物理學(xué)家帕斯庫爾·約旦（Pascual Jordan）在內(nèi)的團隊，將零散的靈感火花鍛造為系統(tǒng)、嚴謹?shù)睦碚擉w系。

玻恩在矩陣力學(xué)建立過程中的貢獻遠不止于參與，他更是核心的推動者、完善者、捍衛(wèi)者，并最終為其注入了靈魂。這段跨越代際與專業(yè)的合作，完美詮釋了理論物理研究中“物理直覺”與“數(shù)學(xué)形式”的精妙結(jié)合。而玻恩，無疑是主導(dǎo)這一結(jié)合的靈魂人物。矩陣力學(xué)的成功建立，連同他隨后提出的概率詮釋，共同構(gòu)成了支撐現(xiàn)代量子力學(xué)大廈最核心的梁柱，彰顯了玻恩作為量子理論奠基人的不朽功勛。

Part.1

慧眼識珠——玻恩與矩陣力學(xué)的艱難降生

1925年，原子光譜的精確規(guī)律如同難解的密碼，挑戰(zhàn)當(dāng)時物理學(xué)家的智慧。為了尋找原子光譜的理論解釋，海森堡選擇只使用可觀測的物理量（例如，光譜線的頻率和強度）來構(gòu)建理論，而不去假設(shè)不可觀測的電子軌道。

于是，海森堡將不同能級間的躍遷量排列組合進行數(shù)學(xué)運算，卻發(fā)現(xiàn)了一個奇特現(xiàn)象：運算結(jié)果依賴于乘法的順序！這與經(jīng)典物理和日常代數(shù)遵循的交換律截然不同，海森堡直覺到這是關(guān)鍵卻困惑于其物理本質(zhì)。

當(dāng)海森堡將這份充滿疑惑的手稿呈交給導(dǎo)師玻恩時，歷史的關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點出現(xiàn)了。玻恩憑借其卓越的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，很快便認出了海森堡表格中那些“不聽話”的運算規(guī)則所對應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)——矩陣代數(shù)。

玻恩的這次識別是決定性的。他沒有停留在欣賞弟子的直覺上，而是迅速而堅定地采取了行動：他明確告知海森堡其工作的數(shù)學(xué)本質(zhì)是矩陣，并立即著手組織力量進行系統(tǒng)化。玻恩深知自身在矩陣代數(shù)具體運算上的不足，于是邀請了精通此道的年輕助教約旦加入合作。玻恩在這一階段的核心角色是識別方向、搭建團隊、提供關(guān)鍵數(shù)學(xué)認知。

在玻恩的領(lǐng)導(dǎo)和協(xié)調(diào)下，三人合作高效推進：海森堡提供物理思想的核心，玻恩把握整體方向、洞察物理與數(shù)學(xué)的對應(yīng)關(guān)系，約旦則承擔(dān)起繁復(fù)而精密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)工作。玻恩是合作的靈魂和組織者。

1925年，以玻恩和約旦署名的論文《Zur quantenmechanik》發(fā)表，這篇在玻恩主導(dǎo)下完成的論文，首次系統(tǒng)地將矩陣確立為量子力學(xué)的基本數(shù)學(xué)工具，清晰地闡述了矩陣運算規(guī)則（特別是非交換的乘法），并開始將位置、動量等物理量表示為矩陣。

圖1 玻恩與約旦的矩陣力學(xué)早期合作論文（圖片來源：參考文獻[3]）

緊接著，1926年，三人合作的集大成之作《Zur quantenmechanik. II.》問世。這篇同樣凝聚了玻恩核心思想的論文，為矩陣力學(xué)奠定了堅實的公理化基礎(chǔ)，明確了其數(shù)學(xué)框架和物理原理。矩陣力學(xué)作為一個完整的理論正式誕生，而玻恩是這一誕生過程中不可或缺的主導(dǎo)者。

圖2 玻恩、海森堡、約旦合作發(fā)表的矩陣力學(xué)系統(tǒng)化論文（圖片來源：參考文獻[1]）

然而，新生理論的成長總是伴隨著質(zhì)疑的陣痛。矩陣力學(xué)徹底摒棄了物理學(xué)家長久以來依賴的直觀空間圖像和連續(xù)軌跡描述，將物理實在抽象為矩陣元和陌生的非交換代數(shù)運算。這種高度抽象的形式讓許多習(xí)慣于經(jīng)典物理圖像的學(xué)者感到難以理解甚至強烈抵觸，“不物理”成為常見的批評。

面對洶涌的質(zhì)疑浪潮，玻恩則是挺身而出，成為矩陣力學(xué)最堅定、最有力的捍衛(wèi)者。他在哥廷根的研討班、在重要的學(xué)術(shù)會議上，反復(fù)地、耐心地為這個“怪異”的理論辯護。玻恩辯護的核心武器始終是“經(jīng)驗證實”這一科學(xué)理論的終極判據(jù)。他雄辯地指出：矩陣力學(xué)雖然犧牲了傳統(tǒng)意義上的直觀性，但它能夠系統(tǒng)、精確地計算并再現(xiàn)已知的高精度光譜實驗結(jié)果（如氫原子光譜的巴耳末系），這是任何有生命力的物理理論必須做到的，也是其正確性的最終證明。正是玻恩這種基于實證的堅定立場和富有說服力的辯護，使矩陣力學(xué)在最初的激烈爭議中站穩(wěn)了腳跟，并逐漸贏得部分同行的認真對待和接受。 玻恩的學(xué)術(shù)領(lǐng)導(dǎo)力和說服力，是矩陣力學(xué)早期生存和發(fā)展的關(guān)鍵保障。

Part.2

中流砥柱——玻恩奠定矩陣力學(xué)的基石

玻恩在矩陣力學(xué)確立和發(fā)展過程中的貢獻是奠基性的和全方位的。他遠不止是一位慧眼的發(fā)現(xiàn)者和堅定的辯護者，更是為這座理論大廈澆筑混凝土、搭建主梁的工程師。他的核心工作體現(xiàn)在兩個密不可分的維度：數(shù)學(xué)形式的嚴格化與物理意義的深化。這兩個維度的工作，都深深烙上了玻恩的印記。

1）數(shù)學(xué)形式的嚴格化：玻恩主導(dǎo)構(gòu)建理論框架

海森堡的初始想法閃爍著物理直覺的光芒，但在數(shù)學(xué)上卻是模糊和不完備的。玻恩認識到，要將這個革命性的想法變成堅實的理論，必須賦予其嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)形式。在海森堡與約旦的合作中，首要目標(biāo)就是將海森堡跳躍性的物理直覺，轉(zhuǎn)化成一個邏輯嚴密、自洽的數(shù)學(xué)體系。在玻恩署名的關(guān)鍵論文中，他們系統(tǒng)地完成了矩陣力學(xué)的數(shù)學(xué)建構(gòu)：

物理量的矩陣表示：明確將系統(tǒng)的可觀測量（如位置坐標(biāo)、動量、能量等）表示為矩陣（通常是無限維）；

運動方程：給出了量子系統(tǒng)的動力學(xué)方程，即矩陣如何隨時間演化；

核心支柱：非對易關(guān)系的發(fā)現(xiàn)與確立，這是玻恩及其合作者對量子力學(xué)最深刻、影響最深遠的貢獻之一。

在玻恩的指導(dǎo)下進行數(shù)學(xué)推導(dǎo)時，為了滿足能量守恒等基本原理，他們發(fā)現(xiàn)并明確表述了量子力學(xué)最核心的關(guān)系之一 —— 位置矩陣與動量矩陣的乘積是不可交換的。其數(shù)學(xué)表達式為：

其中，是普朗克常數(shù)，是虛數(shù)單位，是單位矩陣。

這個“非對易關(guān)系”絕非數(shù)學(xué)巧合，它深刻揭示了量子世界與經(jīng)典世界最根本的差異之一：在微觀領(lǐng)域，同時精確測量某些成對的物理量（如位置和動量）在原則上是不可能的。玻恩主導(dǎo)確立的這個關(guān)系，成為了量子力學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中最核心的支柱。它不僅完美解釋了海森堡最初遇到的乘法順序異常，更直接為海森堡本人稍后提出不確定性原理（測不準(zhǔn)原理）提供了堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

可以說，玻恩的工作，將海森堡的靈感火花，鍛造成了具有強大數(shù)學(xué)威力和深刻物理內(nèi)涵的理論基石。

圖3 馬克斯·玻恩（Max Born）、沃納·海森堡（Werner Heisenberg）以及帕斯庫爾·約旦（Pascual Jordan）的人物圖（圖片來源：Wikipedia）

2）物理意義的深化：玻恩連接理論與實驗

玻恩深諳理論物理學(xué)的真諦 —— 一個數(shù)學(xué)上再優(yōu)美的理論，若不能清晰地解釋物理現(xiàn)象并接受實驗檢驗，終將是空中樓閣。因此，在推動矩陣力學(xué)數(shù)學(xué)嚴格化的同時，玻恩始終不遺余力地致力于闡明其物理內(nèi)涵，并不斷強調(diào)其與實驗的緊密聯(lián)系。這是他在矩陣力學(xué)發(fā)展中另一項核心貢獻。

玻恩最常引用的、也是最具說服力的矩陣力學(xué)成功案例，就是它對原子光譜的卓越解釋能力。他詳細闡述了矩陣力學(xué)如何能夠系統(tǒng)、自然地推導(dǎo)出原子能級公式（例如類氫原子光譜的精細結(jié)構(gòu)），并計算光譜線的強度（即躍遷發(fā)生的概率），其結(jié)果與當(dāng)時已知的高精度光譜實驗數(shù)據(jù)高度吻合。

玻恩反復(fù)向?qū)W界強調(diào)：矩陣力學(xué)絕非數(shù)學(xué)家書齋里的智力游戲，而是物理學(xué)家手中理解原子世界運行規(guī)律的有效且強大的工具。他通過具體案例展示了理論的預(yù)測和解釋能力。在哥廷根的課堂和講座中，玻恩總是耐心地、一步步地向?qū)W生和同行演示如何用矩陣力學(xué)計算具體的原子光譜問題，以此彰顯其堅實的物理實在性。

在矩陣力學(xué)框架下，“量子躍遷”不再是玻爾模型中人為附加的假設(shè)，而是理論本身自然推導(dǎo)出的核心過程。系統(tǒng)狀態(tài)的變化被理解為不同定態(tài)（能級）之間的躍遷。玻恩認同并闡釋了這種描述方式，認為它雖然放棄了經(jīng)典連續(xù)運動的圖像，卻有效地捕捉了量子過程內(nèi)在的、本質(zhì)的非連續(xù)性。

玻恩在哥廷根的組織和教學(xué)工作，也是矩陣力學(xué)得以迅速傳播和發(fā)展的關(guān)鍵。他開設(shè)的課程和研討班，成為傳播這一革命性理論的重要中心。玻恩以其清晰的物理圖像、深厚的數(shù)學(xué)功底和對新思想的開放態(tài)度，吸引并培養(yǎng)了眾多才華橫溢的年輕物理學(xué)家。沃爾夫?qū)づ堇╓olfgang Pauli）、恩里科·費米（Enrico Fermi）、尤金·維格納（Eugene Wigner）、羅伯特·奧本海默（J. Robert Oppenheimer）等未來巨擘，都曾在哥廷根直接受到玻恩思想的深刻影響，透徹理解了矩陣力學(xué)的精髓。玻恩不僅構(gòu)建了理論，更通過教育培養(yǎng)了一代量子力學(xué)的實踐者和開拓者，確保了矩陣力學(xué)思想的迅速傳播和量子力學(xué)整體的蓬勃發(fā)展。玻恩的學(xué)術(shù)領(lǐng)導(dǎo)力和教育貢獻，是其構(gòu)建量子力學(xué)“骨架”工作中不可或缺的一部分。

Part.3

矩陣力學(xué)與波動力學(xué)的統(tǒng)一 —— 一枚硬幣的兩面

1926年初，埃爾溫·薛定諤（Erwin Schr?dinger）提出了另一種截然不同的量子理論表述 —— 波動力學(xué)。薛定諤方程以連續(xù)的波函數(shù)描述系統(tǒng)狀態(tài)，其數(shù)學(xué)形式接近經(jīng)典的波動理論，物理圖像相對直觀，迅速贏得了許多物理學(xué)家的青睞。一時間，矩陣力學(xué)與波動力學(xué)似乎形成了競爭態(tài)勢。

然而，薛定諤本人很快做出了一個關(guān)鍵貢獻：他在1926年的論文中，嚴格證明了矩陣力學(xué)與波動力學(xué)在數(shù)學(xué)上是完全等價的！這意味著，雖然兩者使用的數(shù)學(xué)語言迥異，切入點不同，但它們描述的是同一物理實在。如同一枚硬幣的兩面，物理學(xué)家可以根據(jù)具體問題的性質(zhì)選擇更便捷的工具。

玻恩對這一劃時代的發(fā)現(xiàn)展現(xiàn)出了非凡的開放性和遠見卓識。他沒有固守自己參與創(chuàng)立的矩陣形式，而是熱情地擁抱了這種等價性，并深刻認識到其重大意義。玻恩指出，這種等價性表明量子力學(xué)已經(jīng)發(fā)展成為一個足夠豐富和堅實的理論框架，能夠容納不同的數(shù)學(xué)表述。玻恩的開放性態(tài)度極大地促進了學(xué)界的接受，并豐富了理論物理學(xué)的工具箱。

更重要的是，這種統(tǒng)一為玻恩自己的革命性思想“概率詮釋”的提出鋪平了道路，并最終由他完成了概念上的統(tǒng)一。就在薛定諤證明等價性后不久，玻恩在處理碰撞（散射）問題時，對波動力學(xué)中的波函數(shù)提出了一個大膽的詮釋：的量值代表了在空間中某點發(fā)現(xiàn)粒子的概率密度。這就是名垂青史的“玻恩概率詮釋”。這一詮釋的提出是玻恩獨立且原創(chuàng)性的偉大貢獻。

Part.4

結(jié)語

回望量子力學(xué)的創(chuàng)建歷程，馬克斯·玻恩在矩陣力學(xué)誕生與發(fā)展中的決定性作用，奠定了其作為量子理論主要奠基人的歷史地位。當(dāng)海森堡帶來顛覆性的思想火花時，是玻恩以其深邃的物理洞察力和數(shù)學(xué)眼光，第一時間識別出其革命性價值，并精準(zhǔn)地指明了其數(shù)學(xué)本質(zhì)——矩陣。他不僅是慧眼識珠者，更是果斷的行動者與卓越的組織者，將模糊構(gòu)想轉(zhuǎn)化為嚴謹理論。

玻恩在矩陣力學(xué)中的貢獻是全方位和奠基性的：他識別并引入矩陣代數(shù)作為核心工具；主導(dǎo)構(gòu)建了理論的數(shù)學(xué)框架（公理化體系、運動方程）；發(fā)現(xiàn)并確立了揭示量子世界根本特征的非對易關(guān)系；不遺余力地闡釋理論物理意義，堅定捍衛(wèi)其與實驗的緊密聯(lián)系；并通過教學(xué)培養(yǎng)人才，推動理論傳播。

圖4 馬克斯·玻恩（Max Born）在哥廷根的墓碑上刻著正則交換關(guān)系（圖片來源：Wikipedia）

矩陣力學(xué)的成功建立，標(biāo)志著量子力學(xué)從經(jīng)驗規(guī)則飛躍為系統(tǒng)理論。玻恩主導(dǎo)構(gòu)建的這套以可觀測量為核心、以非對易代數(shù)為特征的數(shù)學(xué)“骨架”，為量子世界建立了普適的描述框架。它不僅直接解釋了原子光譜，更成為后續(xù)所有量子理論發(fā)展的基石——波動力學(xué)的等價性、概率詮釋的提出、不確定性原理乃至量子場論，無不建立在此基礎(chǔ)之上。沒有玻恩奠定的“骨架”，現(xiàn)代量子物理學(xué)的宏偉大廈就無從建立。

參考文獻:

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[3] Born M, Jordan P. Zur quantenmechanik[J]. Zeitschrift für Physik, 1925, 34(1): 858-888.

[4] Schr?dinger E. Quantisierung als eigenwertproblem[J]. Annalen der physik, 1926, 385(13): 437-490.

[5] Born M. Born-Einstein Letters: Friendship, politics, and physics in uncertain times.(1971)[J].

[6] Rechenberg H. The historical development of quantum theory[M]. Springer Science & Business Media, 1982.

出品：科普中國

作者：欒春陽、王雨桐

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