第一次危機(jī)：無理數(shù)悖論
* 發(fā)生時間： 公元前5世紀(jì)
* 核心矛盾： 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派被認(rèn)為是西方數(shù)理學(xué)的起源。這個學(xué)派認(rèn)為“萬物皆數(shù)”，萬物和宇宙的本質(zhì)是數(shù)字。認(rèn)為宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比例（有理數(shù)）。畢氏創(chuàng)立了幾何學(xué)的畢達(dá)哥拉斯定理（中國人的勾股定理）。然而，這個學(xué)派弟子希帕索斯Hippasus發(fā)現(xiàn)，邊長為1的正方形，其對角線長度（即√2）是無理數(shù)，因?yàn)樗鼰o法表示為兩個整數(shù)的比，且其十進(jìn)制展開是無限不循環(huán)的 ）無法表示為兩個整數(shù)之比。
* 危機(jī)本質(zhì)： 幾何量的不可公度性與“一切皆為有理數(shù)”信條的沖突。
* 結(jié)果：
1、建立了比例理論，通過幾何方法回避了無理數(shù)的直接代數(shù)定義。
2、危機(jī)前的數(shù)域認(rèn)知（畢達(dá)哥拉斯學(xué)派）：只有有理數(shù)（整數(shù)和整數(shù)之比，分?jǐn)?shù)）
認(rèn)為"宇宙的任何度量都是可公度的"。"自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)"這些概念，都被視為有理數(shù)的特例。
危機(jī)后的數(shù)域認(rèn)知得到擴(kuò)展：
認(rèn)識到無理數(shù)的存在。數(shù)域認(rèn)知擴(kuò)展為實(shí)數(shù)（有理數(shù) + 無理數(shù)），從而奠定基礎(chǔ)可以構(gòu)造現(xiàn)代意義上完整的"數(shù)量連續(xù)統(tǒng)"（康托爾連續(xù)統(tǒng)）。
19世紀(jì)，隨著實(shí)數(shù)理論的完善（例如戴德金分割），無理數(shù)方被賦予了現(xiàn)代定義和邏輯基礎(chǔ)。

第二次危機(jī)：無窮小悖論
* 發(fā)生時間： 17世紀(jì)末至18世紀(jì)
核心矛盾： 牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立了微積分，但在理論基礎(chǔ)中，“無窮小量”概念含混不清。
愛爾蘭主教貝克萊提出了著名的“貝克萊悖論”，批評無窮小量在推導(dǎo)過程中既被當(dāng)作非零量作為除數(shù)，又被當(dāng)作零消去，是“消失之量的鬼魂（幽靈）”。
* 危機(jī)本質(zhì)： 微積分算法的合理性與其邏輯基礎(chǔ)之間發(fā)生矛盾。
* 結(jié)果： 19世紀(jì)6柯西（Cauchy）和魏爾斯特拉斯（Weierstrass）等人建立了嚴(yán)格的極限理論，引入了 varepsilon-delta 語言，將無窮小量定義為“以零為極限的變量”，從而表面上消除了無窮小量的神秘感和邏輯矛盾。

第三次危機(jī)：集合論悖論
* 發(fā)生時間： 20世紀(jì)初（1902年）
* 核心矛盾： 康托爾創(chuàng)立的集合論被視為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。但羅素（Russell）提出了著名的“羅素悖論”：設(shè)集合 S 由一切不包含自身的集合所組成，那么問 S 集合是否包括其自身？這個問題引出自相矛盾的兩種答案即悖論。這一悖論直接動搖了集合論的概念根基。
* 危機(jī)本質(zhì)： 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（集合論）出現(xiàn)了邏輯矛盾，威脅到整個數(shù)學(xué)體系的構(gòu)造。
* 結(jié)果： 數(shù)學(xué)家們通過公理化來限制集合的定義。
策梅洛（Zermelo）和弗蘭克爾（Fraenkel）等人建立了ZFC公理系統(tǒng)。
悖論本身在ZF等公理系統(tǒng)中被成功避免，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的絕大部分工作可以建立在ZF公理系統(tǒng)上。

但是，1931年奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾提出不完備定理，認(rèn)為：任何數(shù)學(xué)系統(tǒng)都無法證明自己內(nèi)在無矛盾，包括ZFC公理系統(tǒng)。
［庫爾特·哥德爾（Kurt G?del，1906-1978），美籍奧地利數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家，被公認(rèn)為亞里士多德之后最偉大的邏輯學(xué)家。
1931年發(fā)表哥德爾不完備性定理，證明任何包含算術(shù)的形式系統(tǒng)都必然存在真假無法判定的真命題。不完備性定理，顛覆了數(shù)學(xué)與邏輯學(xué)的基礎(chǔ)。］
哥德爾（G?del）不完備性定理深刻揭示了形式化系統(tǒng)的局限性。最終打破了“數(shù)學(xué)是具備嚴(yán)密性、邏輯自足自洽，完美無缺科學(xué)體系”的傳統(tǒng)觀念。

根本性影響： 現(xiàn)代數(shù)學(xué)家們認(rèn)識到：數(shù)學(xué)不是關(guān)于客觀真理的發(fā)現(xiàn)，而是人類理性的構(gòu)造物。
數(shù)學(xué)邏輯只是在設(shè)定公理和規(guī)則下進(jìn)行的形式推理游戲。
數(shù)學(xué)的“真理”在于建立邏輯自洽，而不在于必須尋求與現(xiàn)實(shí)世界物理實(shí)相之對應(yīng)。