|作 者：曹則賢

(中國科學(xué)院物理研究所)

本文選自《物理》2025年第12期

杳杳波濤閱古今，四邊無際莫知深。

——［宋］蘇頔《望太湖》

摘要薛定諤1926年的“量子化作為本征值問題”一文締造了量子力學(xué)的波力學(xué)形式。此為該文的部分摘錄。

關(guān)鍵詞波方程，波函數(shù)/場標(biāo)量函數(shù)，q-空間，權(quán)重函數(shù)

薛定諤1926年構(gòu)造波力學(xué)的文章Quantisierung als Eigenwertproblem (量子化作為本征值問題)，分四部分發(fā)表在

Annalen der Physik

雜志上，分別為：(I) 79,361—376(1926)； (II) 79,489—527(1926)； (III) 80,437—490(1926)； (IV) 81,109—139(1926)。這篇論文總長達(dá)140頁，此處只就波力學(xué)創(chuàng)造的關(guān)鍵處作部分摘錄。公式標(biāo)號按照原文，未予摘錄部分的公式標(biāo)號空缺。

在量子力學(xué)的世界中，滿天飄著一個詞：波。水有皮，水表面的分子密度比體內(nèi)的要大，故水有超常的表面能。水的表面能足夠大故能支撐起水的波動，又不是很大故很小的昆蟲都能在水面引起波動，這就讓波的觀念充斥了我們的文化。然而，不同語境中的波指代的是完全不同的事物。如薛定諤一再強調(diào)的，他的波函數(shù)

涉及的波是構(gòu)型空間(

q

-空間)里的波。薛定諤波函數(shù)表示的量子波不是德布羅意的相波(物質(zhì)波)，更不是三維物理空間里電子、分子啥的干涉、衍射花樣所演示的波。以為用電子的晶體衍射所得到的所謂波干涉花樣證實了薛定諤波方程描述的是粒子的德布羅意物質(zhì)波，這里面的波概念折了三折。

再強調(diào)一遍，此篇是對薛定諤的140頁長文的摘錄。讀者朋友未來如果引用此處的內(nèi)容，請注意這是部分摘錄，不是逐句逐字的翻譯。

第一部分

首先處理非相對論、非擾動的氫原子問題，通常的量子化步驟將用別的要求替代，其中不再會提及“整數(shù)”。整數(shù)性會以振動弦波節(jié)數(shù)的整數(shù)性(Ganzzahligkeit der Knotenzahl einer schwingenden Saite)那樣的自然方式出現(xiàn)。新的表述深刻地觸及量子規(guī)則的真正實質(zhì)(das wahre Wesen der Quantenvorschriften)。

量子規(guī)則的一般形式聯(lián)系著哈密頓偏微分方程：

擬找尋該方程的函數(shù)和形式的解，而每一個單個函數(shù)都是獨立變量

q

的函數(shù)。

引入形式為

的函數(shù)

S

，其中常數(shù)

K

有作用(Wirkung, action)的量綱，而

是變量

q

的函數(shù)。{此時你一定想起了玻爾茲曼方程

S

k

lg

W

}由此得到方程：

我們不試圖解方程(1')，而是提出如下的條件。不考慮相對論，對單電子問題，方程(1')有如下形態(tài)，即為

的二次型且其一階導(dǎo)數(shù)為0。我們找尋在整個構(gòu)型空間上為實的{原文如此}、單值的且二階連續(xù)可微的函數(shù)

，其將前述的二次型在整個構(gòu)型空間上的積分弄成一個極值。量子條件用這個變分問題替代(Durch dieses Variationsproblem ersetzen wir die Quantenbedingungen)。

函數(shù)

H

先采用開普勒問題的哈密頓函數(shù)，會發(fā)現(xiàn)所列條件只對一簇分立的負(fù)的

E

值成立，這表明，這里的變分問題有分立的和連續(xù)的本征值譜。分立譜對應(yīng)巴爾末項，而連續(xù)能量對應(yīng)雙曲軌道。數(shù)值吻合則要求

K

值為

h

/2π。

變分問題不依賴坐標(biāo)系的選擇，故為此可選擇直角坐標(biāo)系。方程(1')變?yōu)?/p>

相應(yīng)的變分問題為

可推導(dǎo)出：

故首先必有：

再者，關(guān)于在無窮大閉合表面上的積分應(yīng)有：

(因為這個要求，變分問題可以用對

δψ

在無窮遠(yuǎn)處的行為的要求加以補充，由此前面提到的連續(xù)本征值譜存在。詳情見下)。

方程(5)的解可用極坐標(biāo)系來示范，為此將

設(shè)定為關(guān)于

r

的函數(shù)的積。關(guān)于極角的依賴關(guān)系得到球面函數(shù)(Kugelfl?chenfunktion)；關(guān)于

r

的依賴關(guān)系，函數(shù)表示為

，得到如下微分方程：

欲使關(guān)于極角的依賴性是單值的，為此限制

n

取整數(shù)，眾所周知這是必須的。我們要求對于非負(fù)的、實的

r

-值，方程(7)的解是有限的。方程(7)在復(fù)

r

-平面內(nèi)有兩個奇點，

r

=0和

r

=∞，其中第二個是實質(zhì)性奇點(wesentlich singul?re Stelle)，而第一個不是{注意，薛定諤在此處加了一個腳注，就如何處理方程(7)致謝了外爾}。這兩個奇點構(gòu)成了實積分的邊界點(Randpunkte)。{參見復(fù)變函數(shù)積分的相關(guān)知識。}方程一般不存在在兩個邊界點上都是有限的積分，而是只是針對方程中常數(shù)的某些特殊值才存在這樣的積分。

上面闡述的事實是整個研究的起跳點(Der eben hervorgehobene Sachverhalt ist der springende Punkt in der ganzen Untersuchung)。

先考察奇點

r

=0。確定積分在這個位置上行為的決定性基本方程為

其根為

在這個奇點上的兩個正則積分屬于指數(shù)

n

和-(

n

+1)。所找尋的解是單值的超越函數(shù)，其在

r

=0處屬于指數(shù)

n

作替代：

其中

取兩個根中的一個。方程(7)變?yōu)?br/>

{接下來是一通關(guān)于方程解的討論，純數(shù)學(xué)的內(nèi)容。此處略。感興趣的讀者請參考原文或者英譯本。更詳細(xì)的討論見索末菲的《原子構(gòu)造與譜線之波力學(xué)增補卷》。}

方程的解要求：

記為

與此同時在無窮遠(yuǎn)處，本征函數(shù)按照趨于0，球面上的按照趨于0。如果要求包含連續(xù)本征值譜，還有如下條件：

δψ

在無窮遠(yuǎn)處為0，或 者至少是個與方向無關(guān)的常數(shù)。

條件(15)意味著：

這就是玻爾能級，當(dāng)?。?/p>

時對應(yīng)巴爾末項。這樣則有：

這里的

l

是主量子數(shù)。

n

+1可類比于方位角量子數(shù)，其在確定球面函數(shù)時進一步的分解可同方位角量子分解為“赤道量子”和“極角量子”相類比。這個數(shù)決定球面上的節(jié)線系統(tǒng)(das System der Knotenlinien)。徑向量子數(shù)

l

n

-1決定“節(jié)球(Knotenkugeln)”的數(shù)目。正的能量

E

對應(yīng)雙曲軌道的連續(xù)體，某種意義上可賦予其徑向量子數(shù)∞，相對應(yīng)的解函數(shù)一直振蕩直到無窮遠(yuǎn)處。

記：

a

l

是第

l

-個橢圓軌道的半軸(能量表示為

E

l

= )。

自然地想把函數(shù)

看作原子里的振動過程。我原來也打算以這種更直觀的方式建立量子步驟的新表示，不過還是更偏愛上述中性的數(shù)學(xué)形式，因為它更清楚地揭示(問題的)實質(zhì)。我看到的實質(zhì)是，在量子規(guī)則中出現(xiàn)的不是神秘的“整數(shù)性的要求(Ganzzahligkeitsforderung)”，而是可以更往前回溯一步：其理由在于某個空間函數(shù)的有限性與單值性 (sie hat ihren Grund in der Endlichkeit und Eindeutigkeit einer gewissen Raumfunktion)。

在以這種表述成功地計算某些復(fù)雜情形之前，我不打算進一步闡述關(guān)于這種振蕩過程的表示可能性。不排除其結(jié)果是常見量子論的成功(的再現(xiàn))。比方說，如果按照所給步驟計算相對論開普勒問題，說不定能得到半整數(shù)的部分量子(halbzahlige Teilquanten)。

關(guān)于振動表示，首先我必須提及，我感謝德布羅意充滿智慧的論文以及那個關(guān)于相波在空間中分布的想法給了我上述思考以啟發(fā)。德布羅意指出，若沿軌道測量，對于電子的周期或者準(zhǔn)周期軌道總有一個整數(shù){指軌道長度是相波波長的整數(shù)倍}。不同之處在于，德布羅意想的是相波，而當(dāng)把我們的公式置于振動表示之下，我們指向的是駐留的本征振動(stehende Eigenschwingungen)。不久前我曾表明，愛因斯坦的氣體理論可基于此等駐留的本征振動的處理，對其可運用德布羅意相波的色散關(guān)系。關(guān)于原子的上述處理可看作是那里關(guān)于氣體模型的思考的推廣。{薛定諤這里引用了一篇他即將發(fā)表的文章，猜測應(yīng)是Erwin Schr?dinger, Zur Einsteinschen Gastheorie (論愛因斯坦的氣體理論),

Physikalische Zeitschrift

27(4-5),95—101(1926)。}

能量

E

必須與所涉及的過程的頻率有關(guān)。人們已經(jīng)習(xí)慣了在振動問題中參數(shù)(一般稱為

)與頻率的平方成正比。首先這樣的預(yù)設(shè)在當(dāng)前的情形下對于負(fù)的E值會帶來虛頻率；其二，量子理論家有種感覺(zweitens sagt dem Quantentheoretiker sein Gefühl)，能量須與頻率本身而非其平方成正比。

矛盾可如此消解。對于變分方程(5)中的參數(shù)

E

，暫時不設(shè)自然的零能級，特別是未知的函數(shù)

除了

E

以外看似還和一個

r

的函數(shù)相乘，后者針對

E

的零點的變化會改變一個常數(shù)。振動理論家們期待，不是

E

本身，而是

E

加上某個常數(shù)與頻率平方成正比。設(shè)若這個常數(shù)比所有出現(xiàn)的

E

值都大得多，則一來頻率是實的，二來

E

值因為只對應(yīng)相對較小的頻率差而事實上非常接近與頻率差成正比。只要能量的零位不確定，這是量子理論家的自然感覺所能期待的全部。{能量不能為負(fù)。負(fù)能量與為了其他方便所設(shè)立的能量零位有關(guān)，這個問題在很多情形中出現(xiàn)。參見：。}

如下的振動過程的頻率表示：

其中

C

相較于

E

是個很大的常數(shù)，還有另外一個非常有價值的優(yōu)點：它帶來了對玻爾頻率條件的理解。發(fā)射頻率與

E

的差成正比，且根據(jù)(22)式正比于那個假設(shè)的振動過程的本征頻率

的差。發(fā)射頻率看起來是高頻的本征振動的“調(diào)差(Differenzt?ne)”。能量從一種正規(guī)振動到另一種正規(guī)振動時出現(xiàn)的不管是啥，算是光波吧，其頻率為那個頻率差，也就好理解了。光波同躍遷時在每個時空位置上必須出現(xiàn)的有節(jié)奏運動(Schwebungen，beats)相聯(lián)系，光的頻率由每秒鐘這個顫動過程的最大強度重現(xiàn)的頻次所決定。

{接下來是一通關(guān)于原子的本征振動，節(jié)奏運動，是否輻射等問題的討論。略。}

補充：在保守體系經(jīng)典力學(xué)情形{這是首次使用經(jīng)典力學(xué)一詞嗎？}，變分任務(wù)可如下表達(dá)而無需顯式地引用哈密頓偏微分方程。若

T

q

p

)是動能，

V

是勢能，d

是構(gòu)型空間“理性測量(rationell gemessen)”的體積元，這意思是積 dq 1d

q

2 …dqn要除以

T

q

p

) 二次型的determinante{一般譯為矩陣值}的平方根。函數(shù)

應(yīng)使得哈密頓積分：

在歸一化輔助條件：

下取極值。這個變分問題的本征值是(23)式積分的穩(wěn)態(tài)值，根據(jù)我們的論點它給出能量的量子能級。

{這里的ψ2未來會修正為

，在狄拉克理論那里會被改造為更復(fù)雜的 。此外，薛定諤的這篇論文還有一個更嚴(yán)重的問題。在(23)式中，

T

q

p

)是二次型， 是動量，故

是無量綱的。但是，(24)式中的

，特別是考慮到其詮釋的時候，是有量綱的。這個問題在狄拉克的經(jīng)典著作中也一直存在著。參見：。}

第二部分

§1 力學(xué)與光學(xué)的哈密頓類比

在繼續(xù)處理一些特殊系統(tǒng)的量子論的本征值問題之前，先討論一下力學(xué)問題的哈密頓偏微分方程與從屬的波方程(“zugeh?rigen” Wellengleichung)，對于開普勒問題就是第一部分里的方程(5)，之間的一般聯(lián)系。暫時我們只是簡短地把這個聯(lián)系依其外在解析結(jié)構(gòu)描述了，利用的是作用于其上的莫名其妙的變換(2)以及同樣是莫名其妙的從讓一個表達(dá)式為0到要求這個表達(dá)式的空間積分是極值的轉(zhuǎn)變。

哈密頓理論同波傳播過程之間的內(nèi)在聯(lián)系不是什么新鮮事物。那是哈密頓構(gòu)造從他的“非均勻介質(zhì)光學(xué)”生長出來的力學(xué)理論的出發(fā)點{此處薛定諤建議參閱E. T. Whittaker,

Analytische Dynamik

(分析動力學(xué)), Springer(1924)一書}。哈密頓變分原理可理解為在構(gòu)型空間(

q

-空間)中波傳播的費馬原理{愛因斯坦當(dāng)初提議用分子束證明粒子的波動性可能不清楚量子力學(xué)談?wù)摰牟ㄊ窍嗖ㄅc構(gòu)型空間里的波}，對于波傳播哈密頓原理表達(dá)的就是惠更斯原理?？上У氖牵诋?dāng)代被重現(xiàn)的時候，哈密頓的這個有力的、意義深遠(yuǎn)的思想之漂亮、直觀的外衣被當(dāng)作多余的零碎給扒掉了(seines sch?nen anschaulichen Gewandes als eines überflüssigen Beiwerks beraubt)，讓位于關(guān)于解析聯(lián)系的索然無味的表示。{此處薛定諤建議參考Felix Klein的力學(xué)講義及論文。筆者當(dāng)前尚未能獲取原文。}

考察保守體系經(jīng)典力學(xué)的一般問題，哈密頓原理意味著：

其中

W

是作用函數(shù)，即拉格朗日函數(shù)

T

V

沿系統(tǒng)軌道——作為終點位置與時間的函數(shù)——的時間積分。

q

k

代表位置坐標(biāo)的表示者(Repr?sentant der Lagekoordinaten){等量子力學(xué)算符理論成型時，方見“表示”與“表示物”在量子力學(xué)里的意義}。引入 預(yù)設(shè)

方程過渡到：

其中

E

是任意的積分常數(shù)，為系統(tǒng)的能量。在式(1')中，一般會代入 。

采用赫茲(Heinrich Hertz，1857—1894)的做法，引入借助動能的非歐測度。若
作為速度函數(shù)的動能：

接下來所有在

q

-空間的幾何論斷都按照非歐幾何的意義來理解。不過，這帶來一個重要的改變，即矢量或者張量要區(qū)分協(xié)變的和逆變的。d

q

k是逆變矢量的原型。形式2中依賴于

q

k 的系數(shù)有協(xié)變的特征，構(gòu)成協(xié)變基本張量。2

T

是從屬于2的逆變形式，動量構(gòu)成從屬于速度 的協(xié)變矢量。動量是協(xié)變形態(tài)的速度矢量(der Impuls ist der Geschwindigkeitsvektor in kovarianter Gestalt)?！缬玫接幸饬x的結(jié)果，即不變量，則在逆變形式中只應(yīng)納入?yún)f(xié)變的矢量分量。

{接下來是大段論述面系統(tǒng)或曰面簇

W

const

的構(gòu)造及其直觀意義的內(nèi)容，略。}面簇

W

const

可以理解為一個往前傳播的波面系統(tǒng)，不過是

q

-空間的穩(wěn)態(tài)波運動，空間每一點上的相速度為

作用函數(shù)在波系統(tǒng)中扮演了相(phase)的角色。哈密頓原理就是惠更斯原理。費馬原理可表述如下：

可直接將哈密頓原理表示成莫珀替形式(in der Maupertiusschen Form)。射線，即與波面正交的軌跡，是系統(tǒng)能量值為

E

的軌道，與如下方程組相吻合：

這意思是，從作用函數(shù)

W

可導(dǎo)出一個系統(tǒng)軌道的簇，恰如從速度勢導(dǎo)出流(矢量)。

力學(xué)系統(tǒng)的粒子不是以波的速度

u

往前挪動，而是與1/

u

成正比。由(3)式可得表達(dá)式：

上述內(nèi)容不可以看作是力學(xué)與波光學(xué)(Wellenoptik)的類比，而是與幾何光學(xué)的類比。波學(xué)(Wellenlehre)的重要概念，如振幅、波長和頻率，還沒有力學(xué)的平行存在(mechanische Parallele)。對于波來說，

W

只有相的意義。

如果把全面平行(的要求)僅看作是個令人開心的直觀工具，則這個缺失一點兒也不鬧心。力學(xué)只是同幾何光學(xué)這個最原初的波光學(xué)相類比，而不是同全面發(fā)育的波光學(xué)之間的類比。應(yīng)該構(gòu)造波理論意義上的

q

-空間光學(xué)(Ausbau der

q

-Raumoptik in wellentheoretischem Sinn)。

設(shè)計一個波理論的嘗試立馬就帶來了驚人的內(nèi)容。我們現(xiàn)在知道，經(jīng)典力學(xué)在小軌道尺度和強烈軌道彎曲的情形下失效。這個失效或許與幾何光學(xué)的失效可相類比。我們的經(jīng)典力學(xué)或許是幾何光學(xué)的完全類比(Vielleicht ist unsere klassische Mechanik das volle Analogon der geometrischen Optik)，跟幾何光學(xué)一樣，在軌道曲率半徑和尺度相對于某個波長不夠大的時候就失效了。有必要找尋一種“波力學(xué)(undulatorische Mechanik)”，而舉手可得的途徑就是哈密頓圖像的波理論設(shè)計(die wellentheoretische Ausgestaltung des Hamiltonschen Bildes)。

§2 “幾何的”與“波的”力學(xué)

作為類比的有效構(gòu)造，首先假設(shè)上述波系統(tǒng)可理解為正弦波。這是最簡單、最明顯的，不過因為這個假設(shè)的基礎(chǔ)意義，其中包含的任意性要強調(diào)一下。波函數(shù)只能用一個sin(···)因子的形式依賴于時間，其變元是

W

的線性函數(shù)。

W

的系數(shù)必須是作用倒數(shù)的量綱(Dimension einer reziproken Wirkung)。我們假設(shè)這個系數(shù)是普適的，與能量以及力學(xué)系統(tǒng)的本性無關(guān)。我們選擇這個因子為2π/

h

，故時間因子為

由此有波的頻率：

這樣，

q

-空間波的頻率就毫不勉強地與系統(tǒng)能量成正比了。這樣的

E

有絕對的意義，不象在經(jīng)典力學(xué)里只是決定到一個可加的常數(shù)。根據(jù)式(6)和式(11)，波長與這個可加常數(shù)無關(guān)：

{注意這里的表達(dá)式根號里缺質(zhì)量

m

將(6)式中的E根據(jù)(11)式用

表達(dá)，有：

這個波(相)速度對能量的依賴關(guān)系，也即對頻率的依賴關(guān)系就是色散律。這個色散律有些兒意思?！鶕?jù)式(9)，(11)和(6′)，系統(tǒng)的速度

v

這意思是說，系統(tǒng)點對象的速度(Geschwindigkeit des Systempunktes)是一個波群(Wellengruppe)的速度，占據(jù)一個小的頻率范圍。

這個事實可以用來建立起波傳播與點對象運動之間的更深層的關(guān)系(eine viel innigere Verbindung)?？梢試L試構(gòu)造一個波群，期待其運動遵循力學(xué)系統(tǒng)的點對象所遵循的同樣的規(guī)律，即可看作一個點對象的替代物。{接下來是一大段關(guān)于波群，也即波包，進而是關(guān)于光學(xué)里的光錐以及光束的討論，從光學(xué)情形到

q

-空間波的移植；力學(xué)系統(tǒng)里的點對象同波系統(tǒng)的相位契合的位置如何有同樣的規(guī)律運動的問題，等等。略。}

我有把握作如下猜測：實際的力學(xué)事件可以以合適的方式用

q

-空間里的波過程而非這個空間里的點對象的運動來理解或表達(dá)。……我這樣來理解德布羅意的伴隨電子軌道的“相波”：“在原子中，電子軌道自身沒有什么特別的意義，軌道上的電子位置的意義就更少了”。其一，原子中電子運動的相有真正的意義(der Phase der Elektronenbewegungen im Atom die reale Bedeutung abzusprechen sei)；其二，人們不能說電子在某時刻處于用量子條件所規(guī)定的某個確定的量子軌道上；其三，真正的量子力學(xué)定律不在于針對單一軌道的那些規(guī)則，在其真正的定律中一個系統(tǒng)的整個軌道流形的各單元通過方程聯(lián)系起來，仿佛不同的軌道之間存在某種相互作用。

……人們將以何種方式將力學(xué)的波形態(tài)(undulatorische Ausgestaltung der Mechanik)用于那些需要用到它的地方？從

q

-空間的波函數(shù)出發(fā)去考察據(jù)其可能發(fā)生的過程。波方程并不必然是二階的，而是對簡單性的追求讓我們首先如此嘗試?？深A(yù)設(shè)如下的波方程：

對以因子e2πiνt的形式依賴于時間的過程成立。根據(jù)式(6)，(6′)和(11)這意思是：

以及：

微分操作是針對(3)式里的線元。

§3 應(yīng)用舉例

{這節(jié)跨14頁。在這節(jié)中，薛定諤解了幾個特殊問題中的波方程，包括普朗克的諧振子/退化問題，固定空間軸的轉(zhuǎn)子，自由軸的剛性轉(zhuǎn)子，非剛性轉(zhuǎn)子(雙原子分子)。相關(guān)內(nèi)容在一些量子力學(xué)教科書或者習(xí)題集中都常見到。此處略。}

第三部分

{第三部分跨54頁。在這部分中，薛定諤介紹了擾動論這個來自天體力學(xué)的、玻恩等人在量子論中深度發(fā)展了的方法及其在巴爾末線的斯塔克效應(yīng)上的應(yīng)用。略。}

第四部分

§1 能量參數(shù)從振動方程的消除，本征波方程，非保守系統(tǒng)

第二部分中的波方程(18)及(18″)，即：

以及：

此構(gòu)成力學(xué)新筑基(Neubegründung der Mechanik)的基礎(chǔ)，卻遭遇了如下不自在，其不能統(tǒng)一地、一般地表達(dá)“力學(xué)場標(biāo)量”

的變化規(guī)律。方程(1)含有能量參數(shù)或者頻率參數(shù)

E

{原文如此}，對于確定的

E

-值，其對通過確定的周期因子

依賴于時間的那些過程成立。

如果我們把方程(1)或者(1′)偶爾當(dāng)作“波方程(Wellengleichung)”，這實際上顯得不對，當(dāng)作振動方程或者(波)幅方程說不定更正確。這個方程同Sturm—Liouville本征值問題相聯(lián)系——恰如數(shù)學(xué)上完全可類比的弦或膜自由振動問題，而非聯(lián)系著一個特征波方程(nicht an dieeigentliche Wellengleichung)。{筆者以為振動是單參數(shù)問題，而波是兩參數(shù)問題，且兩參數(shù)的量綱差一個速度量綱。}

至今我們一直假設(shè)勢能

V

是純坐標(biāo)函數(shù)，不顯含時間。有急切的需求要將理論推廣到非保守系統(tǒng)，這樣才能處理在外力作用下系統(tǒng)的行為。不過，若

V

顯含時間，則顯然按照(2)依賴于時間的函數(shù)

不能滿足方程(1)和(1′)。(波)幅方程已不足用，必須依靠特征波方程。

對于保守體系，方程(2)與

有相同的意義。

由方程(1′)和(3)消去

E

，得到方程：

對于任意的

E

根據(jù)(2)式依賴于時間的

都滿足這個方程；因此每一個

也可用傅里葉級數(shù)展開(自然地，系數(shù)為坐標(biāo)的函數(shù))。方程(4)顯然是關(guān)于場標(biāo)量

的統(tǒng)一的、一般的場方程。

這已不是振動膜那種簡單類型的，而是四階的、類似許多彈性理論問題那種類型的方程了。無需對此恐懼，也無需修改同方程(1′)相聯(lián)系的方法。若

V

不含時間，可以采用預(yù)設(shè)(2)，將(4)式中的算符作如下分解：

可以將這個方程分解為(1′)式，和一個將(1′)式作替換

E

E

得到的方程；從(2)式來看，這沒帶出新的解。{這樣的表述，會被錯誤地詮釋什么正、負(fù)能量解的問題。從根本上講，這是i, -i作為 應(yīng)同時出現(xiàn)的問題。能量這個物理量要么為正，要么為負(fù)，二者只能取其一。} 方程(4')的分解不是硬性的，因為對于算符來說，沒有積為0則必有一個因子為0的法則。

波方程(4)，其攜帶著色散律，實際上可看作是保守體系理論的基本方程。將其推廣到含時的勢函數(shù)要特別小心，因為會出現(xiàn)

V

的時間導(dǎo)數(shù)。下面我會嘗試另一條路徑，計算上很簡單，且我認(rèn)為原理上是正確的。

方程(1′)成立所要求的

的時間依賴，作為(3)式的替代，可表示為

由此得到如下兩個方程：

我們要求，復(fù)波函數(shù)

滿足此兩方程之一。因為復(fù)共軛函數(shù)滿足另一個方程，若有必要可將

的實部看作實波函數(shù)。對于保守體系的情形，(4″)和(4)實質(zhì)上是等價的，因為

V

不是含時的，一個實的算符可以分解(zerlegen)為兩個共軛復(fù)的(算符)之積。{方程(4″)，這個方程出現(xiàn)在這篇140頁論文的第113頁上，其中的

就成了后來的薛定諤
很多量子力學(xué)教科書可能都沒注意咋兩個方程就剩一個了。此文中薛定諤提到，不能硬性地分成兩個方程這事兒與完備性有關(guān)，但未作進一步說明。}

{接下來的§2—§6處理具體問題。此處略。}

§7 場標(biāo)量的物理意義

…… 是 系統(tǒng)構(gòu)型空間上的某種權(quán)重函數(shù)(ist eine Art Gewichtsfunktion im Konfigurati onenraum des Systems)。波力學(xué)的系統(tǒng)構(gòu)型是所有的運動力學(xué)可能的點力學(xué)構(gòu)型的疊加 (eine Superposition vieler, streng genommen aller, kinematisch m?glichen punktmechanischen Konfigurationen)。每一個點力學(xué)構(gòu)型以某一權(quán)重散落于波力學(xué)空間，此權(quán)重也由 給出。要是喜歡反正話(Paradoxien，一般譯為悖論)的話，也可以說，系統(tǒng)同時處于運動學(xué)可設(shè)想的所有位置上，但不是以相同的強度。針對宏觀運動，權(quán)重函數(shù)同一個與位置不可分辨的小區(qū)域相聯(lián)系，其在構(gòu)型空間上的重心占據(jù)一個可感知的范圍。針對微觀運動，在這個小區(qū)域上變動的分布也要關(guān)注。

至今我們都是以直觀具體的形式將“

-振蕩(

-Schwingungen)”當(dāng)作某種完全實在的事物在談?wù)?，故這個詮釋粗看來令人震驚。某種可觸摸的實在按照當(dāng)前的理解是其基礎(chǔ)，具體地是高度真實的、起到電動力學(xué)作用的電的空間密度的漲落(Fluktuation der elektrischen Raumdichte)。

函數(shù)應(yīng)該不多不少地就是或者是扮演了這樣的角色，使得這個漲落的全部(Gesamtheit，系綜，集合)可用一個偏微分方程支配以及加以審視。

函數(shù)自身一般不能且不應(yīng)該直接“三維空間地”詮釋——單電子問題會往這個方向上引誘——因為一般來說其是構(gòu)型空間上的函數(shù)。這事兒已不停地強調(diào)多次了。{后來的量子力學(xué)傳播的現(xiàn)實表明，這沒有什么用。}

從上述權(quán)重函數(shù)的意義上，人們期望其在整個構(gòu)型空間上的積分是一個不變的常數(shù)，最好就是1。容易相信，這很有必要，根據(jù)這樣的定義{指乘上電荷是電的構(gòu)型空間密度}系統(tǒng)的總電荷就能保持不變。對于非保守系統(tǒng)，這個要求也是自明的。

現(xiàn)在的問題是，是否這個歸一的要求，會得到

要滿足的變化方程(4″)的保證？如果不是這樣，這對我們整個的理論是災(zāi)難性的。幸運地是這一點確實得到了保證。構(gòu)造：

由，所滿足的方程，有：

根據(jù)格林定理這個積分為0。

由方程(4″)還可以得到：

為了更徹底地改造(39)式的右側(cè)，采用多維非歐空間拉普拉斯算符的顯式形態(tài)：

可見

{薛定諤此處建議參考他的“論關(guān)系”一文中的方程(31)?！罢撽P(guān)系”一文在“矩陣力學(xué)與波力學(xué)的等價性問題”一節(jié)中有摘錄。}右式看起來象一個實的多維矢量的散度，可以詮釋為構(gòu)型空間上權(quán)重函數(shù)的流密度。方程(41)是權(quán)重函數(shù)的連續(xù)性方程……

毫無疑問地，采用復(fù)波函數(shù)還有一個難處。若其從根本上是不可避免的且不只是計算上的便宜，這也許意味著根本上存在兩個波函數(shù)，它們一起得出關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)的結(jié)論。這或許有個討人喜歡的詮釋，系統(tǒng)的狀態(tài)由一個實函數(shù)及其時間導(dǎo)數(shù)給出……{薛定諤的這個詮釋有點兒太隨意了。復(fù)數(shù)不是簡單的兩個實數(shù)的組合，它是二元數(shù)，遵從完全不同的代數(shù)}

建議閱讀

[1] Mehra J. Foundations of Physics，I，1987，17：1051；II，1987，17：1141

[2] Bitbol M. Schr?dinger’s Philosophy of Quantum Mechanics. Kluwer Academic Publishers，1996

《物理》50年精選文章