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小樂數(shù)學科普：盤點2025年數(shù)學家們好奇的玩物Top 5

1、三維掛谷集的掛谷針

將一根針任意方向旋轉(zhuǎn)，可以劃出的最小體積是多少？

2、折紙與振幅多面體 amplituhedron

折紙與粒子碰撞計算中的振幅多面體，看似無關(guān)卻共享同一幾何結(jié)構(gòu)

3、非魯珀特體 noperthedron

第一個被發(fā)現(xiàn)無法“穿透自身”的凸多面體

4、四面體不倒翁

數(shù)學家證明存在并把它造出來了，物理實在印證了康威的猜測

5、切割等邊三角形重新拼成正方形

一百多年前的問題得以解決，數(shù)學家證明等邊三角形至少切割4塊，才能重新拼出正方形。

1、三維掛谷集的掛谷針

將一根針任意方向旋轉(zhuǎn)，可以劃出的最小體積是多少？

這就是今年引發(fā)了全網(wǎng)熱議的王虹和約書亞·扎爾（Joshua Zahl）證明的三維掛谷猜想問題的起點。

圖源：DVDP | Quanta Magazine

1917年，掛谷宗一（Sōichi Kakeya，1886 - 1947）提出了這個問題，只是要求用一支無限細的鉛筆。針對二維平面情況，他找到了一種滑動鉛筆的方法（下圖右），使鉛筆覆蓋的面積比人們第一反應(yīng)的圓周運動（下圖左）要小。

上圖右側(cè)的三角旋輪線所圍面積是圖左側(cè)圓面積的一半

并且兩根針都在平面上的各個方向旋轉(zhuǎn)

圖源：Merrill Sherman | Quanta Magazine

掛谷想知道鉛筆能掃過多小的面積。兩年后，俄羅斯數(shù)學家艾布拉姆·貝西科維奇（Abram Besicovitch，1891 - 1970）找到了答案：一組復雜的狹窄轉(zhuǎn)彎，與直覺相反，它們根本不覆蓋任何面積。那問題推廣到三維呢？

數(shù)學家更喜歡用一種略微不同（但等價）的方式來描繪這個問題。不是在空間中移動鉛筆，而是同時想象出鉛筆軌跡上的每一個位置。你得到的是一個幽靈般的、重疊的管子指向四面八方的配置，稱為掛谷集合（Kakeya set，簡稱掛谷集）。你可以滑動管子，但不能旋轉(zhuǎn)它們。你的目標是形成一個重疊最多的配置。

數(shù)學家查爾斯·費弗曼（Charles Fefferman）發(fā)現(xiàn)，即使是重疊最多的掛谷集也必須占據(jù)一些空間。最小體積取決于管子的厚度。數(shù)學家使用一個稱為閔可夫斯基維數(shù)（Minkowski dimension）的數(shù)字來量化管子厚度與集合體積之間的關(guān)系。閔可夫斯基維數(shù)越小，通過稍微減薄管子可以減少集合體積的幅度就越大。

三維掛谷（集合）猜想認為一個集合的閔可夫斯基維數(shù)一定是3。這構(gòu)成了一個非常弱的關(guān)系——例如，如果你將管子的厚度減半，你最多只能減少一小部分體積。然而，即使是這么溫和的限制也幾乎難以被一眾數(shù)學家證明。更為迫切的是，許多重要猜想都最終蘊含掛谷猜想，一旦掛谷猜想被證否，很多問題會變得更加棘手無措。

王虹表示，這一猜想的證明將為數(shù)學開辟新前景?！八仨毜玫浇鉀Q”。

圖源：Rickinasia/Wikimedia Commons

調(diào)和分析（涉及傅里葉變換工具）中的三個重要猜想組成的塔樓位于掛谷猜想之上。塔樓中的每一層都需要堅固，以便上面的樓層能夠屹立不倒。如果（三維）掛谷猜想被證明是錯誤的——即假如王虹和扎爾找到了反例——整座塔樓就會倒塌。

“針尖上的猜想之塔”，若下一層不成立，則上層的猜想都將不成立。幸運的是，三維掛谷猜想獲得了證明，因此上層的一系列猜想都得以喘息。

不列顛哥倫比亞大學的數(shù)學家Joshua Zahl（約書亞·扎爾）是新證明的共同作者

圖源：Quanta Magazine

四維的掛谷猜想仍未得到解決，其上方還有一座四維猜想之塔。王虹的導師拉里·古斯（Larry Guth）表示，新的困難將會出現(xiàn)，但他認為從二維躍升到三維是最困難的，而王虹和扎爾的證明很可能適用于這座塔，甚至更遠。

2、折紙與振幅多面體 amplituhedron

康奈爾大學數(shù)學家帕維爾?加拉辛（Pavel Galashin）發(fā)現(xiàn) https://arxiv.org/abs/2410.09574 ，粒子物理學中的核心幾何形狀 “振幅多面體”，竟能通過折紙折痕圖案轉(zhuǎn)化而來 —— 折紙中滿足特定邊界約束的折痕圖案，可編碼為振幅多面體中的點，兩種看似無關(guān)的事物共享同一幾何結(jié)構(gòu)。

左上：8個膠子的粒子碰撞的振幅多面體的圖解（Hamed手稿）

左下：帕維爾·加拉辛 （Pavel Galashin） 在折紙和粒子物理學之間建立了聯(lián)系

中上：折紙折痕圖案得到一只鶴

中下：藝術(shù)插圖（插畫家 Ibrahim Rayintakath | Quanta Magazine）

右上：雅羅斯拉夫·特恩卡 Jaroslav Trnka

右下：尼瑪·阿卡尼-哈米德 Nima Arkani-Hamed

右上、右下兩位共同推出振幅多面體 amplituhedron

圖源：Quanta Magazine

這一發(fā)現(xiàn)還解決了困擾學界多年的 “振幅多面體三角剖分猜想”：加拉辛通過設(shè)計算法，證明振幅多面體可拆解為與折紙折痕圖案對應(yīng)的獨立區(qū)域，這些區(qū)域無縫拼接、無重疊，恰好對應(yīng)粒子碰撞計算所需的 “積木”，驗證了振幅多面體作為粒子散射振幅計算工具的合理性。

此前物理學家計算粒子碰撞概率（散射振幅）的方法（如費曼圖、BCFW 遞推法）存在計算量大、冗余項多的問題，振幅多面體的提出本就為簡化計算提供了幾何思路，而此次與折紙的關(guān)聯(lián)，不僅為理解振幅多面體開辟了全新視角，也為后續(xù)更廣泛的物理與數(shù)學研究提供了新方向。

3、非魯珀特體noperthedron

第一個被證明不具備（nope）魯珀特（Rupert）性質(zhì)（“穿透自身”）的凸多面體（-hedron）。

圖源：https://www.mapleprimes.com/art/42-The-Noperthedron

它由90個頂點、150個（側(cè)面）三角形（共5層，每層由上下倒置的30個三角形組成）和兩個（底面）正十五邊形組成，外形像一個圓潤的水晶花瓶，底部和頂部較寬。

魯珀特（Rupert）性質(zhì)，是指可以“穿透自身”（自身上打個隧道，讓另一個跟原來自己一模一樣的多面體穿過），得名于17世紀末英國魯珀特親王的一次打賭，能否讓兩個大小相同的骰子，其中一個鉆一條通道，讓另一個骰子穿過去？魯珀特親王賭贏了！

圖源：Mark Belan | Quanta Magazine

那其他類型的多面體是否可以”穿透自身“呢？

形狀的種類繁多，難以全面研究，因此數(shù)學家們通常聚焦于凸多面體——這類形狀像立方體一樣，面是平面，沒有凸起或凹陷。如果某種凸多面體在某些方向上的寬度明顯大于其他方向，通常很容易找到能讓另一個相同形狀穿過的直隧道。但許多著名的凸多面體（例如十二面體、足球形狀的截角二十面體）對稱性極高，分析難度很大。奧地利聯(lián)邦統(tǒng)計局的數(shù)學家雅各布·施泰寧格（Jakob Steininger）表示：“數(shù)百年來，我們只知道立方體具備這種特性?！?/p>

圖源：Quanta Magazine

https://www.quantamagazine.org/first-shape-found-that-cant-pass-through-itself-20251024/

直到1968年，Christoph Scriba證明了四面體（tetrahedron）和八面體（octahedron）也具備這種特性——如今數(shù)學家們稱之為“魯珀特性質(zhì)”。在過去十年間，相關(guān)研究迎來爆發(fā)式進展，專業(yè)數(shù)學家和數(shù)學愛好者們在眾多被廣泛研究的凸多面體中都找到了魯珀特隧道，包括十二面體（dodecahedron）、二十面體（icosahedron）和足球形狀的多面體。

魯珀特性質(zhì)的普遍性讓數(shù)學家們提出了一個普遍猜想：所有凸多面體都具備魯珀特性質(zhì)。一直以來，沒人能找到反例——直到現(xiàn)在被兩位業(yè)余數(shù)學家（Sergey Yurkevich、Jakob Steininger）通過算法找到。https://arxiv.org/abs/2508.18475v1

尤爾凱維奇 Sergey Yurkevich，左圖

施泰寧格 Jakob Steininger，右圖

圖源：Florentina Stadlbauer、Jakob Steininger | Quanta Magazine

這兩位分別是29歲的尤爾凱維奇（Sergey Yurkevich）和30歲的施泰寧格（Jakob Steininger），從青少年時期參加數(shù)學奧林匹克競賽時就成了朋友。盡管兩人最終都離開了學術(shù)界（尤爾凱維奇獲得博士學位，施泰寧格獲得碩士學位），但他們?nèi)岳^續(xù)一起探索未解決的數(shù)學問題。

4、四面體不倒翁

一個數(shù)學家團隊設(shè)計和制造出了一個幾乎完全空心的四面體不倒翁。它重120克，最長邊長50厘米，由一個輕質(zhì)碳纖維框架和一小部分由碳化鎢（密度比鉛高）制成的部件組成。為了盡可能減輕較輕部分的重量，就連碳纖維框架也必須是空心的。

此四面體形狀只能立在底面上（視頻中陰影三角形所在面）

另外三個面放倒之后都會發(fā)生翻轉(zhuǎn)而恢復原狀

視頻源：Gábor Domokos

1966年，數(shù)學家約翰·康威（John Conway）和理查德·蓋伊（Richard Guy）提出了一個問題：是否有可能構(gòu)造一個由均勻材料制成的四面體不倒翁——其重量均勻分布——并且只能豎立在其中一個面上（如果你將這樣一個“單穩(wěn)態(tài)”形狀放置在它的任何其他三個面上，它總是會翻轉(zhuǎn)到那個穩(wěn)定的面上。）。幾年后，兩人回答了自己的問題，證明了這種均勻單穩(wěn)態(tài)四面體不可能存在。但如果允許其重量不均勻分布呢？康威認為這樣的四面體應(yīng)該存在，但一直沒人證明存在甚至把它物理制造出來。

2023年，匈牙利數(shù)學家多莫科斯（Gábor Domokos，他于2006年發(fā)現(xiàn)一種不倒翁形狀 g?mb?c 岡布茨）與他的研究生格爾戈·阿爾馬迪（Gerg? Almádi）和克里斯蒂娜·雷格斯（Krisztina Reg?s），以及加拿大圣瑪麗大學的羅伯特·道森（Robert Dawson）一起證明了，操縱一個四面體的重量分布讓它只能穩(wěn)定立在一個面上是可行的，至少在理論上是可行的。

左上：格爾戈·阿爾馬迪 Gerg? Almádi

左下：克里斯蒂娜·雷格斯 Krisztina Reg?s

中上：四面體不倒翁 tetrahedron tumbler

中下：岡布茨不倒翁 g?mb?c

右上：羅伯特·道森 Robert Dawson

右下：加博爾·多莫科斯 Gábor Domokos

圖源：Quanta Magazine

但阿爾馬迪、道森和多莫科斯想要建造這個東西，而這項任務(wù)遠比他們預(yù)想的要艱巨得多。如今，在發(fā)布到網(wǎng)上的預(yù)印本中 https://arxiv.org/abs/2506.19244 ，他們展示了該形狀的第一個可操作的物理模型。這個四面體重120克，最長邊長50厘米，由輕質(zhì)碳纖維和致密碳化鎢制成。為了使其能夠有效，其精度必須達到十分之一克和十分之一毫米以內(nèi)。但最終的構(gòu)造總是能夠恰好在一個面上翻轉(zhuǎn)，就像它應(yīng)該的那樣?？低菍Φ摹?/p>

5、切割等邊三角形重新拼成正方形

要把一個等邊三角形切成多少塊，才能重新拼成一個正方形？1902年，一位數(shù)學愛好者找到了用 4 塊完成的方法，而此后再也沒有人能以更少的塊數(shù)做到這一點。

圖源：https://www.maplesoft.com/applications/Preview.aspx?id=6499

現(xiàn)在，研究人員終于證明：將等邊三角形切成少于 4 塊（例如3塊、2塊），無法拼成正方形。 https://arxiv.org/pdf/2412.03865

圖源： Mark D. Meyerson | 科學美國人

許多欣賞數(shù)學的人都會同意，未解的問題看起來越簡單，對熱愛數(shù)學的人來說就越能吸引人。

為解決這個問題，團隊根據(jù)切割線與等邊三角形邊的交點對可能情況進行了分類。首先，研究人員將切割等邊三角形的無數(shù)種方法分為五個獨特分類。然后他們對一個正方形重復了這個分類過程，發(fā)現(xiàn)了38個不同的分類。

圖源：Jen Christiansen | 科學美國人

接下來，研究人員嘗試為三角形和正方形分別繪制圖形表示，追蹤每種形狀中所有可能的路徑，并對比由此得到的邊長和角度集合。要是其中某個正方形的路徑與三角形的路徑完全匹配，就意味著他們找到了用3塊完成拼接的解決方案。

這種方法幾乎將一個連續(xù)問題轉(zhuǎn)化成了離散問題。最終，研究團隊推導出一系列復雜的引理（即定理證明中的中間步驟），結(jié)合之前的分類，通過反證法證明了不存在匹配的路徑。

若研究者能簡化這份證明，這種 “圖形匹配技術(shù)” 或許能破解一系列類似折紙的開放性問題。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/first-shape-found-that-cant-pass-through-itself-20251024/

https://www.scientificamerican.com/article/the-top-10-math-discoveries-of-2025/

https://www.quantamagazine.org/the-year-in-mathematics-20251218/

https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-make-surprising-breakthrough-in-3d-geometry-with-noperthedron/

https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-find-proof-to-122-year-old-triangle-to-square-puzzle/

https://www.maplesoft.com/applications/Preview.aspx?id=6499

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