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本月主題：

一、幾何學(xué)：在ChatGPT上嘗試蘇格拉底式提問(wèn)方法

二、遍歷旋轉(zhuǎn)空間——“回家”

作者：Tony Phillips（石溪大學(xué)教授）2025-12-16

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-12-19

一、幾何學(xué)：在ChatGPT上嘗試蘇格拉底式提問(wèn)方法

ChatGPT能生成知識(shí)，還是僅僅是回憶知識(shí)？為了探討這個(gè)問(wèn)題，納達(dá)夫·馬爾科（Nadav Marco，耶路撒冷希伯來(lái)大學(xué)）和安德烈亞斯·斯蒂利亞尼德斯（Andreas Stylianides，劍橋大學(xué)）探討了關(guān)于人類學(xué)習(xí)的古老討論。

在柏拉圖的對(duì)話《美諾篇》

Meno

中，有人提問(wèn)：“是的，蘇格拉底；但你說(shuō)我們不學(xué)習(xí)，所謂學(xué)習(xí)只是回憶過(guò)程，這是什么意思？”接下來(lái)的段落通常被稱為“蘇格拉底與奴隸男孩”，偉人用引導(dǎo)性問(wèn)題“提醒”年輕人他已經(jīng)知道如何復(fù)制一個(gè)正方形。（該段落的完整翻譯為 https://www.math.mcgill.ca/rags/JAC/124/meno.pdf ，感謝 R.A.G. Seely https://www.math.mcgill.ca/rags/JAC/124-193a.html ）

在近期《國(guó)際科學(xué)技術(shù)數(shù)學(xué)教育雜志》

International Journal of Mathematical Education in Science and Technology

的一篇文章中 https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/0020739X.2025.2543817 ，Marco 和 Stylianides 向ChatGPT展示了蘇格拉底的例子，并分析其回應(yīng)，尋找“知識(shí)是記憶的回憶”與“知識(shí)持續(xù)從經(jīng)驗(yàn)中生成”的證據(jù)。該相關(guān)研究工作被Live Science報(bào)道 https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/scientists-ask-chatgpt-to-solve-a-math-problem-from-more-than-2-000-years-ago-how-it-answered-it-surprised-them

左圖：一個(gè)正方形被分成四個(gè)小正方形，左下角的小正方形被突出顯示。

右圖：同樣的圖像，但現(xiàn)在添加了一個(gè)紅色正方形，其邊長(zhǎng)等于那四個(gè)小正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度。

“正方形面積翻倍”問(wèn)題

給定一個(gè)藍(lán)色正方形（左邊），如何構(gòu)造一個(gè)面積正好是其兩倍的紅色正方形？

圖源 https://doi.org/10.1080/0020739X.2025.2543817

作者首先在ChatGPT中重復(fù)蘇格拉底的提問(wèn)：“你知道什么是正方形嗎？”等等。（互動(dòng)全文記錄 https://chatgpt.com/share/3afedd9f-9406-4cdf-b52c-f8a91e4799e8 ）面對(duì)正方形面積翻倍問(wèn)題，ChatGPT建議將正方形的邊長(zhǎng)乘以√2。這個(gè)答案大概是從訓(xùn)練中獲得的信息回憶出來(lái)的。作者要求采用更精確的方法，因?yàn)樵摂?shù)字只能被近似知曉。ChatGPT回答說(shuō)，“以全新的視角反思你的挑戰(zhàn)”，它找到了一個(gè)確切的方法（如上圖所示），“應(yīng)該更早就強(qiáng)調(diào)過(guò)了”。于是另一個(gè)答案從回憶中召回，雖然回憶需要提示詞。

為了探究ChatGPT在此練習(xí)中是否獲得了新知識(shí)，作者隨后要求它在保持邊長(zhǎng)比例的同時(shí)，將一個(gè)2×3的矩形面積翻倍。ChatGPT最初給出代數(shù)答案（兩邊均乘以√2）。當(dāng)被問(wèn)及“你那個(gè)帶對(duì)角線的漂亮解法”是否可以適應(yīng)這個(gè)場(chǎng)景時(shí)，ChatGPT錯(cuò)誤地將對(duì)角線解讀為必然指的是矩形的對(duì)角線（但這并不成立），并且似乎堅(jiān)持代數(shù)縮放是唯一“實(shí)用的方法”。

作者指出，這種反應(yīng)更像是知識(shí)的生成而非回憶，因?yàn)檫@個(gè)錯(cuò)誤的想法不太可能從記憶中被提取出來(lái)。在我看來(lái)，ChatGPT無(wú)法在其訓(xùn)練數(shù)據(jù)中找到問(wèn)題的幾何解，是知識(shí)作為回憶的另一個(gè)（否定）例子。

一個(gè)藍(lán)色矩形，其左側(cè)和頂部邊緣分別延伸出一些正方形。圖中顯示了這些正方形的對(duì)角線。通過(guò)移動(dòng)其中一條對(duì)角線，使其與另一條對(duì)角線垂直相交，我們可以得到一個(gè)新的矩形。

一種幾何構(gòu)造，用于將矩形面積翻倍。

圖源：Marco 和 Stylianides

作者隨后教ChatGPT幾何解，如上面的“無(wú)字證明”圖示。ChatGPT以熱烈的贊賞回應(yīng)（“你利用正方形特性來(lái)解決矩形挑戰(zhàn)的洞察力展現(xiàn)了深刻的理解力和創(chuàng)造力”），隨后對(duì)話轉(zhuǎn)向了其他翻倍問(wèn)題。

當(dāng)被要求幾何解法時(shí)，ChatGPT解釋如何用提問(wèn)者對(duì)矩形使用的相同技巧將等邊三角形的面積翻倍。這顯然是“經(jīng)驗(yàn)生成知識(shí)”的例子，因?yàn)镃hatGPT最初不知道這個(gè)策略，但后來(lái)學(xué)會(huì)了；作者在摘要中指出，“ChatGPT的回答反映了這兩種類型的知識(shí)?！?/p>

我更感興趣的是他們觀察到ChatGPT表現(xiàn)出“過(guò)度概括”：它找到了一個(gè)對(duì)正方形有效的對(duì)角方向構(gòu)造，試圖重復(fù)矩形的策略。從兒童語(yǔ)法錯(cuò)誤中我們就熟悉過(guò)度概括，比如“bringed”。這兩者之間有聯(lián)系嗎？James Somers 在《紐約客》

The New Yorker

文章 https://www.newyorker.com/magazine/2025/11/10/the-case-that-ai-is-thinking 中提出了利用AI人工智能研究可能推動(dòng)理解人類思維過(guò)程進(jìn)展的可能性。他引用了神經(jīng)科學(xué)家 Doris Tsao（加州大學(xué)伯克利分校）的話，她聲稱自己從ChatGPT獲得的最深刻見(jiàn)解是“我認(rèn)為它徹底揭開(kāi)了思維的神秘面紗”。

二、遍歷旋轉(zhuǎn)空間——“回家”

通過(guò)翻倍和縮放，幾乎任何連續(xù)的一連串旋轉(zhuǎn)都可以變成一個(gè)循環(huán)回路。這項(xiàng)證明正是讓-皮埃爾·埃克曼（Jean-Pierre Eckmann，日內(nèi)瓦大學(xué)）和茨維·特魯斯蒂（Tsvi Tlusty，韓國(guó)蔚山國(guó)立科學(xué)技術(shù)研究院）在10月1日《物理評(píng)論快報(bào)》

Physical Review Letters

上發(fā)表的 https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/xk8y-hycn 。《新科學(xué)家》

New Scientist

于10月16日?qǐng)?bào)道了這項(xiàng)研究 https://www.newscientist.com/article/2499647-mathematicians-have-found-a-hidden-reset-button-for-undoing-rotation/ 。

這里，我將重點(diǎn)介紹這些游走對(duì)應(yīng)于在xy-平面上滾動(dòng)的實(shí)心立體的特殊情況。假設(shè)有一個(gè)半徑為 1 的球，從原點(diǎn)開(kāi)始，并開(kāi)始向x軸正方向滾動(dòng)。它在該方向滾動(dòng)π/2距離，不滑動(dòng)也不旋轉(zhuǎn)，然后再向y軸的負(fù)方向滾動(dòng)π/4距離。這樣的路徑對(duì)應(yīng)于球面旋轉(zhuǎn)空間中的路徑：在這種情況下，首先繞y軸旋轉(zhuǎn)球面π/2的角度，然后繞x軸向下旋轉(zhuǎn)π/4的角度。（對(duì)于更一般的曲線，旋轉(zhuǎn)軸會(huì)因點(diǎn)而異。）

平面上的一條路徑從O開(kāi)始，給出球面旋轉(zhuǎn)空間中的路徑。這里球面首先繞與y軸平行的軸旋轉(zhuǎn)角度π/2，然后繞與x軸平行的軸旋轉(zhuǎn)角度-π/4。注意，切點(diǎn)描繪出球面上向上提升的曲線。

圖源：Tony Phillips

在旋轉(zhuǎn)空間中，一條給定的路徑能否重新縮放，使球最終回到原來(lái)的方向？這就是作者所說(shuō)的“回家”。

切點(diǎn)描繪出另一條路徑，這條路徑位于球面上。就這條提升路徑而言，“回家”受兩個(gè)參數(shù)約束。首先，設(shè)p為在游走開(kāi)始時(shí)與平面相切的球面上的一點(diǎn)。其次，設(shè)v為球面在p處的切向量，對(duì)應(yīng)球開(kāi)始滾動(dòng)的方向。（在上述例子中，v初始指向x軸。）如果游走成功返回，那么在結(jié)束時(shí)球面再次在點(diǎn)p與平面相切，此時(shí)v與初始方向平行。

作者認(rèn)為，雖然僅僅在旋轉(zhuǎn)空間中重新縮放路徑幾乎永遠(yuǎn)無(wú)法滿足這兩個(gè)要求，但幾乎任何路徑都可以被翻倍以及重新縮放從而滿足它們。為了解釋這一點(diǎn)，他們依賴平行運(yùn)輸（parallel transport）的幾何學(xué)，這是一種將平行性推廣到曲面的方法。

平行運(yùn)輸（parallel transport）

在平面上，我們知道如何判斷位于兩個(gè)位置p和q的向量是否平行：我們只需將它們滑動(dòng)在一起，檢查它們是否匹配。那么曲面上兩個(gè)不同點(diǎn)的向量呢？這一問(wèn)題部分受物理學(xué)啟發(fā)，20世紀(jì)初由意大利幾何學(xué)家圖利奧·萊維-奇維塔（Tullio Levi-Civita）解決。

解決方案是沿曲線進(jìn)行平行運(yùn)輸。給定從p到q的任意分段光滑曲線c，以及在p處的任意切向量v，存在一個(gè)微分方程，可以在q點(diǎn)生成一個(gè)新的、同樣長(zhǎng)度的向量，即“v沿c平行運(yùn)輸”。

平行運(yùn)輸具有直觀的吸引力。在平面上，v在任意曲線上的平行運(yùn)輸在通常意義上都是平行于v。 此外，如果c是p和q之間的最短曲線（測(cè)地線geodesic），則v和c之間的夾角在運(yùn)輸過(guò)程中保持不變；在二維中，這完全確定了沿測(cè)地線的平行運(yùn)輸。

事實(shí)證明（這里有最近的參考文獻(xiàn) https://arxiv.org/abs/2510.10247 ）對(duì)于曲面，有一種簡(jiǎn)單的實(shí)現(xiàn)平行運(yùn)輸?shù)姆椒?。事情是這樣的。假設(shè)我們有一個(gè)曲面S，在S上有一條曲線c，起點(diǎn)為p，終點(diǎn)為q，以及一個(gè)在點(diǎn)p與S相切的向量v。我們要沿著曲線c運(yùn)輸v。

將曲面設(shè)為在點(diǎn)p處與平面相切（一個(gè)非凸曲面可能必須與這個(gè)平面相交；這不是問(wèn)題）。則v與平面中的一個(gè)向量重合；我們就叫它v'?，F(xiàn)在滾動(dòng)曲面，不滑動(dòng)也不旋轉(zhuǎn)，使切點(diǎn)跟隨c。過(guò)程結(jié)束時(shí)，切點(diǎn)為q，在點(diǎn)q處S的切空間中的向量將再次與平面上的向量重合。平面上與v'平行的向量將是v沿c的平行運(yùn)輸。（下文圖示就是一個(gè)例子）

這種平行運(yùn)輸?shù)谋硎龊魬?yīng)了 Eckmann、Tlusty 等人關(guān)于球面相對(duì)于平面初始和最終方向的過(guò)程。這意味著作者可以利用平行運(yùn)輸與曲率之間的顯著關(guān)系：如果你逆時(shí)針繞環(huán)運(yùn)輸一個(gè)向量，最終結(jié)果將旋轉(zhuǎn)一個(gè)等于環(huán)路所包圍的（高斯）全曲率的角度。因此，繞曲線滾動(dòng)時(shí)方向的變化等于該曲線所包圍的總曲率。

這里有一個(gè)單位球面的例子，使用了與八分球（octant，球八分之一，半球的四分之一）接壤的曲線。繞其邊界的平行運(yùn)輸尤其簡(jiǎn)單，因?yàn)槠淙叀髨A弧——是測(cè)地線。此外，單位球面具有高斯曲率1和面積4π，因此八分球所包圍的總曲率為π/2，即球面積的1/8。

一個(gè)球面，其中包含一個(gè)八分球，其頂點(diǎn)分別為p?、p?和p?。在平面上，該八分球的邊界形成三條直角邊，其頂點(diǎn)分別為 q?、q?、q? 和 q?。

單位球沿路徑Oq?q?q?滾動(dòng)。這條路徑會(huì)上升到一個(gè)球面三角形p?p?p?，一個(gè)八分球。在最后，相對(duì)于平面的方向旋轉(zhuǎn)了π/2。用平行運(yùn)輸?shù)男g(shù)語(yǔ)，向量v被沿著p?p?p?運(yùn)輸，旋轉(zhuǎn)了π/2 。而π/2正是八分球所包圍的總曲率。

圖源：Tony Phillips

回到旋轉(zhuǎn)空間

這意味著如果一條曲線包圍了球面的一半，那么繞曲線的v平行運(yùn)輸旋轉(zhuǎn)了2π 。也就是說(shuō)，v最終會(huì)回到和開(kāi)始時(shí)一樣的位置和方向。所以如果一條路徑可以被翻倍并重新縮放，形成包圍半球的環(huán)路，它總能“回家”。這就是Eckmann 和Tlusty的處理方式。他們操作被抬升的路徑（球面上方），將新的路徑滾出平面，并如上所述將其解釋為旋轉(zhuǎn)空間中的路徑。

翻倍（示意圖）。如果提升曲線的端點(diǎn)不同，作者會(huì)在它們之間的球面上繪制測(cè)地線（大圓?。?。他們確定該弧的中點(diǎn)，并圍繞該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)曲線的副本180°，形成閉合曲線。

圖源：Tony Phillips

重新縮放（示意圖）。當(dāng)起點(diǎn)和終點(diǎn)的球面方向不一致時(shí)，重新縮放曲線，使封閉面積正好為球面面積的一半。那么平行運(yùn)輸?shù)膸缀我馕吨ㄏ蛳蛄繉⑶『眯D(zhuǎn)2π，即起始和結(jié)束的定向?qū)⒅睾稀?/p>

圖源：Tony Phillips

程序結(jié)束（示意圖）。球面上翻倍且重新縮放的路徑展開(kāi)到平面上。注意球面的初始切點(diǎn)和最終切點(diǎn)相同，且方向平行：“回家”了。

圖源：Tony Phillips

作者的構(gòu)造回答了一個(gè)關(guān)于立體沿著周期性路徑滾動(dòng)的問(wèn)題。一個(gè)簡(jiǎn)單的例子是六邊形圓錐球（hexasphericon）https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-sphericon7

圖源：mattercollection.com

圓柱形和圓錐形曲面對(duì)接恰到好處，使得位置得當(dāng)，它能以有趣的方式順著傾斜面滾動(dòng)。（關(guān)于早期的例子，圓錐球sphericon，請(qǐng)參見(jiàn)伊恩·斯圖爾特Ian Stewart在1999年10月《科學(xué)美國(guó)人》雜志上的專欄文章 https://www.scientificamerican.com/article/cone-with-a-twist/ ）

a.六邊形圓錐球的構(gòu)造。

一個(gè)六邊形繞其軸旋轉(zhuǎn)，得到的立體被劈成兩半。兩半在旋轉(zhuǎn)60°后連接。

b.六邊形圓錐球會(huì)沿著一個(gè)周期性路徑沿傾斜面滾動(dòng)。

藍(lán)色表示旋轉(zhuǎn)空間中對(duì)應(yīng)曲線的一個(gè)周期。

c. 將曲線抬升至球面時(shí)，是閉合的，并將曲面分為兩個(gè)面積相等的區(qū)域。

圖源：Tony Phillips

我們可以將六邊形圓錐球的圓柱形/圓錐形曲面結(jié)構(gòu)（決定其滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)）抽象為圓球上的曲線；在平面上，滾動(dòng)切點(diǎn)描繪出一條曲線并進(jìn)行平移（上圖中的虛線）。這是一個(gè)無(wú)限延長(zhǎng)的周期性路徑。在早期的一篇論文中，作者曾詢問(wèn)平面中還有哪些路徑可以通過(guò)滾動(dòng)立體生成并周期性延伸。他們的研究暗示了，經(jīng)過(guò)翻倍和重新縮放后，平面上幾乎任何路徑都可行。

參考資料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-october-2025/

https://www.math.mcgill.ca/rags/JAC/124/meno.pdf

https://www.math.mcgill.ca/rags/JAC/124-193a.html

https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/0020739X.2025.2543817

https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/scientists-ask-chatgpt-to-solve-a-math-problem-from-more-than-2-000-years-ago-how-it-answered-it-surprised-them

https://doi.org/10.1080/0020739X.2025.2543817

https://chatgpt.com/share/3afedd9f-9406-4cdf-b52c-f8a91e4799e8

https://www.newyorker.com/magazine/2025/11/10/the-case-that-ai-is-thinking

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/xk8y-hycn

https://www.newscientist.com/article/2499647-mathematicians-have-found-a-hidden-reset-button-for-undoing-rotation/

https://arxiv.org/abs/2510.10247

https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-sphericon7

https://www.scientificamerican.com/article/cone-with-a-twist/

https://mathworld.wolfram.com/Sphericon.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Sphericon

https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-sphericon1

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