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本文是本公眾號推出的第三篇介紹柏原正樹（Masaki Kashiwara，2025年阿貝爾獎得主）的文章，授權(quán)譯自EMS Magazine歐洲數(shù)學(xué)會雜志（第137期），是頒獎前夕兩位采訪者代表挪威數(shù)學(xué)會和歐洲數(shù)學(xué)會對柏原正樹的專訪。另請參閱：

采訪者簡介

比約恩?伊恩?鄧達斯（Bj?rn Ian Dundas，下文簡稱BID），挪威卑爾根大學(xué)數(shù)學(xué)教授，研究領(lǐng)域包括代數(shù)K-理論、同倫類型論和代數(shù)拓撲。

克里斯蒂安?F?斯考（Christian F. Skau，下文簡稱CFS），挪威科技大學(xué)特隆赫姆校區(qū)的榮譽退休數(shù)學(xué)教授，研究領(lǐng)域包括 C*- 代數(shù)及其與符號動力系統(tǒng)的相互作用。他還對阿貝爾的數(shù)學(xué)著作抱有濃厚興趣，發(fā)表過多篇相關(guān)論文。

作者：比約恩?伊恩?鄧達斯（Bj?rn Ian Dundas）、克里斯蒂安?F?斯考（Christian F. Skau）EMS Magazine 2025-11-10

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2025-11-20

[BID/CFS]：柏原（Kashiwara）教授，祝賀您榮獲2025年阿貝爾獎！

2025年阿貝爾獎得主柏原正樹

圖源：Liwlig Norway AS / 阿貝爾獎

柏原正樹（MK）：非常感謝。

[BID/CFS]：阿貝爾獎委員會的頒獎詞如下：“…… 表彰他在代數(shù)分析與表示論領(lǐng)域的基礎(chǔ)性貢獻；尤其表彰他對D-模理論的發(fā)展以及晶體基（crystal bases）的發(fā)現(xiàn)?！泵魈?，您將從挪威國王陛下手中接過這一獎項。

早年生活

您是首位獲得阿貝爾獎的日本公民，也是首位來自北美、歐洲或以色列以外地區(qū)的獲獎?wù)?。我們的第一個問題是：最初是什么點燃了您對數(shù)學(xué)的興趣？您何時發(fā)現(xiàn)自己在數(shù)學(xué)方面有特殊天賦？

MK：這個問題不太容易回答。我從小就喜歡數(shù)學(xué)，或許比其他孩子更擅長這門學(xué)科 —— 這是事實，但我并非像許多天才數(shù)學(xué)家那樣是神童，我和他們不一樣。我之所以走上數(shù)學(xué)之路，是因為我認為數(shù)學(xué)既極具邏輯性，又對人類有著特殊的吸引力。這就是我開始喜歡數(shù)學(xué)的原因。

[BID/CFS]：我們之前聊到過 “鶴龜算”（tsurukamezan，即雞兔同籠）問題。請您描述一下這個問題，以及它是何時、如何引起您關(guān)注的？

MK：正如你們所知，這是一個關(guān)于鶴和龜?shù)膯栴}：鶴有兩條腿，龜有四條腿，已知鶴和龜?shù)目倲?shù)量以及總腿數(shù)，求鶴和龜各自的數(shù)量。我學(xué)會了如何求解這個問題，但實際上它非常巧妙。第一次接觸這個問題時，我一點也不喜歡，因為它太繞了。

后來我發(fā)現(xiàn)，用 x 和 y（代數(shù)方法）可以輕松解決這個問題，根本不需要特殊技巧，解法非常自然。我認為這在某種程度上正是數(shù)學(xué)的目標所在。

[BID/CFS]：您是否因此被數(shù)學(xué)吸引？

MK：是的。

[BID/CFS]：在您進入大學(xué)之前的成長階段，有沒有人對您產(chǎn)生過影響？

MK：并沒有特別的人。但有一位老師讓我注意到一本射影幾何（projective geometry）相關(guān)的書，我可以從圖書館借來閱讀。我研究后發(fā)現(xiàn)，在三維以上的維度中，某個問題只有一個解，而在二維維度中卻有多個解。我記得這給我留下了深刻的印象。

2025年阿貝爾獎頒獎典禮

圖源：Thomas Brun (NTB) / 阿貝爾獎）

早期合作和1970年碩士論文

[BID/CFS]：您在大學(xué)時的潛在導(dǎo)師佐藤干夫（Mikio Sato，1928–2023）教授曾說，您在18、19歲時就自學(xué)了布爾巴基（Bourbaki，學(xué)派名，譯者注）、格羅滕迪克（Grothendieck）等人的理論，而且沒有老師指導(dǎo)。您為何早年就對這類抽象數(shù)學(xué)如此著迷？

MK：事情是這樣的：我當(dāng)時正在上一門數(shù)學(xué)課，應(yīng)該是代數(shù)課程。教授告訴我有《代數(shù)幾何基礎(chǔ)》（éléments de géométrie algébrique，簡稱 EGA）和布爾巴基學(xué)派的著作。我開始閱讀《代數(shù)幾何基礎(chǔ)》，發(fā)現(xiàn)這本書其實非常易懂 —— 撰寫非常出色，我很高興能讀到它。

[BID/CFS]：書中的法語內(nèi)容對您來說沒有障礙嗎？

MK：有障礙的。我進入大學(xué)后學(xué)過一些法語，除了英語，還必須學(xué)習(xí)另一門外語，我選擇了法語。但我的法語并不太好。

[BID/CFS]：佐藤干夫（Mikio Sato）教授被描述為一位富有遠見的數(shù)學(xué)家。您1970年（當(dāng)時23歲）的碩士論文發(fā)展了佐藤的D-模思想，被稱為具有劃時代意義。請您談?wù)勥@一點，以及您是如何、為何選擇佐藤教授作為導(dǎo)師的？

MK：那時候，佐藤教授在數(shù)學(xué)界已經(jīng)很有名氣，而且他是一位極具個人魅力的數(shù)學(xué)家。小松彥三郎（Hikosaburo Komatsu，1935–2022）是一位年輕教授，剛從美國回來，我參加了他和佐藤教授組織的研討會。當(dāng)時佐藤教授正著手創(chuàng)建所謂的微局部分析（microlocal analysis）。微局部分析不僅研究空間上的函數(shù)，還研究帶有余方向的空間 —— 也就是余切叢（cotangent bundle）上的函數(shù)。

這是他的想法，一個非常新穎的想法。佐藤認為可以從微局部的角度研究函數(shù)，他開始創(chuàng)建這一理論，而幸運的是，我當(dāng)時恰好在場。我參與了他的研討會，并開始與他合作 —— 這對我來說非常幸運。我還與另一位學(xué)生河合隆裕（Takahiro Kawai，1945–）合作，共同構(gòu)建微局部分析理論。那是一段非常愉快且順利的時光。正是因為佐藤教授，我學(xué)到了許多寶貴的知識，這在某種程度上促成了我獲得阿貝爾獎。

[BID/CFS]：您曾經(jīng)說過 “佐藤希望將等式世界帶入分析領(lǐng)域”。這是否意味著代數(shù)與分析的結(jié)合？

MK：是的，可以這么說，還包括幾何。眾所周知，數(shù)學(xué)通常分為幾何、代數(shù)和分析三大主要分支，而我認為D-模理論在某種程度上融合了這三者。佐藤教授正是出于這個原因開始研究D-模的。所以，我很幸運能從D-模理論開始我的研究。

[BID/CFS]：這真是幸運的機遇！您說過是大學(xué)的一位講師建議您閱讀《代數(shù)幾何基礎(chǔ)》，這是讓您為跟隨佐藤教授學(xué)習(xí)做準備嗎？

MK：不，完全不是。我當(dāng)時根本沒有考慮過這件事。佐藤教授以他獨特的方式發(fā)展了同調(diào)代數(shù)（homological algebra）—— 當(dāng)然，同調(diào)代數(shù)早已存在，由格羅滕迪克等人開創(chuàng)，但我認為佐藤教授當(dāng)時并不知道這一點，他是獨立發(fā)現(xiàn)這些內(nèi)容的。

[BID/CFS]：您1970年的碩士論文包含了許多基礎(chǔ)性內(nèi)容。例如，您證明了柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理（Cauchy–Kovalevskaya theorem），該定理與局部解的存在性有關(guān)。但您提出了自己的版本，當(dāng)然，這個版本契合我們現(xiàn)在討論的理論框架。您能給我們描述一下嗎？

MK：其中一些內(nèi)容已經(jīng)包含在佐藤的思想中。佐藤開創(chuàng)了D-模理論，但遺憾的是他沒有進一步發(fā)展它。我認為他擅長開創(chuàng)理論，但自己從未完成過任何一個理論。所以我確實是從他的思想出發(fā)，但一旦掌握了核心思想，后續(xù)的推進就變得非常容易 —— 這就像爬山：你知道山的位置，只需尋找一條路線，總能找到。情況就是這樣，佐藤教授指出了那座山的存在，在這一點上，他的影響非常大。

[BID/CFS]：用您的話來說，您的成果是 “如果函數(shù)是非特征的，那么相關(guān)的逆像函子與解函子可交換”。

MK：是的，沒錯。

[BID/CFS]：我們之后會更詳細地討論D-模，但您能否用更基礎(chǔ)的術(shù)語，將您的成果與原始的柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理聯(lián)系起來，讓我們看到其中的關(guān)聯(lián)？微分方程及其解體現(xiàn)在哪里？

MK：我認為這很難說清楚。我們存在于實世界中，對應(yīng)著實流形（real manifold）。但佐藤的一個核心思想是，這并不是一個理想的視角 —— 理想的視角是，實世界被一個復(fù)世界（complex world）包圍，而實世界是由這個包圍它的復(fù)世界所決定的。我認為這是佐藤的主要思想，而且復(fù)世界實際上比實世界更重要：了解了復(fù)世界，就能了解實世界。這正是佐藤超函數(shù)理論（hyperfunction theory）的起點。而柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理的核心部分，就與復(fù)世界有關(guān)。接下來的想法是將復(fù)世界與實世界聯(lián)系起來。佐藤、河合隆裕和我成功構(gòu)建了微局部分析，這對于我們通過復(fù)世界理解實世界至關(guān)重要。

早期職業(yè)生涯：SKK論文與指標定理

[BID/CFS]：這些研究最終促成了1973年那篇具有開創(chuàng)性的 “SKK 論文”（與佐藤、河合隆裕合著）。余切叢 —— 或者用物理學(xué)家的話說，相空間（包含位置和動量）—— 在這一理論中占據(jù)著核心地位。您提到了波前（wave front），也剛剛談到了實世界與復(fù)世界之間的關(guān)聯(lián)。您能解釋一下為什么余切叢會扮演如此重要的角色嗎？

MK：當(dāng)然，這個想法早已存在，例如在傅里葉分析（Fourier analysis）中。我們可以說它是辛幾何（symplectic geometry）的某種體現(xiàn)，正如您所提到的，在物理學(xué)中也有應(yīng)用。余切叢的重要性不在于全局意義，而在于局部意義。在此之前，我們認為 “辛幾何” 的思想只適用于全局，而佐藤的偉大想法是，它也可以以余切叢的形式應(yīng)用于局部世界。

[BID/CFS]：我們可以插入一個有趣的事實嗎？您23歲時手寫完成了這篇碩士論文，而且是用日語寫的。這份重要的手稿過了25年才被翻譯成英文，這非常引人注目。

2025年挪威國家劇院招待會

圖源：Thomas Brun (NTB) / 阿貝爾獎

MK：現(xiàn)在再看我的碩士論文，我能發(fā)現(xiàn)其中蘊含著一個思想的萌芽，這個萌芽對后續(xù)的理論發(fā)展至關(guān)重要。

[BID/CFS]：這些思想產(chǎn)生了深遠的影響，但由于它們最初只以日語手寫稿的形式存在，是如何傳播開來的？是通過1973年的SKK論文嗎？

MK：我的碩士論文中，微局部視角的內(nèi)容并不多。但在SKK論文中，微局部理論得到了充分發(fā)展。我與佐藤、河合隆裕合作了大約五年，在那段時間里，微局部視角被完全確立。

[BID/CFS]：在1973年的論文中，您、佐藤和河合隆裕證明了微微分系統(tǒng)特征的對合性（involutivity of characteristics of microdifferential systems）。1970年，吉勒明（Guillemin）、奎倫（Quillen）和斯特恩伯格（Sternberg）曾觸及這一問題，1981年，加伯（Gabber）通過純代數(shù)方法完成了證明。請您解釋一下：什么是微微分系統(tǒng)特征的對合性？

MK：這部分內(nèi)容非常重要。在余切叢內(nèi)部存在一些子空間，但并非任意子集都重要，只有對合子集才是關(guān)鍵 —— 它們是與辛結(jié)構(gòu)相容的 “良好” 子集。另一個相關(guān)的術(shù)語是可積性（integrability）。

[BID/CFS]：同樣在1973年 —— 對您來說一定是非常棒的一年！您證明了一個指標定理（index theorem），我們了解到這是您特別引以為傲的成果。您多次重新研究這個定理，例如1985年，以及2014年與皮埃爾?沙皮拉（Pierre Schapira）合作的研究。您為什么如此喜歡這個成果？

MK：我們最好稍微回顧一下。我在碩士論文中證明了一維情形下的指標定理，但對于高維情形，我當(dāng)時不知道該如何處理，這讓我很困擾。指標定理是一個全局定理，表面上看，你似乎需要知道每個點的局部信息，但我的指標定理并非如此 —— 只需知道一些通有部分（generic part）就足夠了。當(dāng)我意識到這一點并證明了這個定理時，感到非常驚訝。當(dāng)然，由于對合性的存在，這在某種程度上是可以預(yù)料的：不會出現(xiàn)任意子集，只有對合子集才會出現(xiàn)，而不存在小型的對合子集，這意味著通有部分決定了整體。事后回想起來，或許這是可以預(yù)料的，但當(dāng)時仍然令人意外。

黎曼-希爾伯特對應(yīng)

[BID/CFS]：讓我們轉(zhuǎn)向您的另一項重大成就。1980年，您證明了黎曼-希爾伯特對應(yīng)（Riemann–Hilbert correspondence），在您的框架中，它建立了特定D-模的導(dǎo)出范疇（derived categories）與可構(gòu)造層（constructible sheaves）之間的等價關(guān)系。

十年前，皮埃爾?德利涅（Pierre Deligne）完成了代數(shù)情形的證明；佐格曼?梅布胡特（Zoghman Mebkhout）與您同時取得了非常相似的成果；此外，亞歷山大?貝林森（Alexander Beilinson）和約瑟夫?伯恩斯坦（Joseph Bernstein）也值得一提。

我們的理解是否正確：其中最困難的部分是確定如何限制條件，使您的解函子成為完全忠實的（fully faithful）？這是核心問題嗎？

MK：看待這個問題的角度有很多，但我認為最困難的部分是正則性（regularity）。黎曼-希爾伯特對應(yīng)是拓撲部分與代數(shù)部分之間的對應(yīng)：代數(shù)部分對應(yīng)D-模，拓撲部分對應(yīng)單值化（monodromy）。這里的代數(shù)部分并非針對所有D-模，而是特指所謂的正則型D-模（regular type D-modules）—— 這是一個非常復(fù)雜的概念。

事實上，正則性很難處理，這部分工作極具挑戰(zhàn)性。我花了很長時間才正確定義出正則和樂D-模（regular holonomic D-modules， holonomic譯為和樂或完整，請注意與單詞holomorphic全純的區(qū)別，譯者注）。

[BID/CFS]：或許我們可以回到希爾伯特第21問題，并將其與您的成果聯(lián)系起來。希爾伯特第21問題中的哪一部分對應(yīng)D-模，哪一部分對應(yīng)可構(gòu)造層？希爾伯特第21問題具體是什么？

MK：原始問題與所謂的單值化有關(guān)。線性常微分方程的解并非單值的，而是多值的。因此，當(dāng)你圍繞奇點繞行時，就會出現(xiàn)所謂的單值化。原始問題關(guān)注的是單值化與具有正則奇點的線性常微分算子之間的聯(lián)系。其中，D-模對應(yīng)微分方程，可構(gòu)造層對應(yīng)單值化。

[BID/CFS]：這么說，如果 x 是您的流形，?是微分算子代數(shù)，這就解釋了控制微分方程的D-模。但可構(gòu)造層究竟如何與單值化聯(lián)系起來？

MK：它們完全是一回事！局部結(jié)構(gòu)很簡單，而層正是將局部簡單結(jié)構(gòu)連接起來形成全局圖景的工具。我認為如今人們正是通過層來理解單值化的——層將各個部分拼接起來，從而實現(xiàn)繞奇點的環(huán)路。

[BID/CFS]：黎曼-希爾伯特對應(yīng)被稱為德拉姆上同調(diào)（de Rham cohomology）與貝蒂上同調(diào)（Betti cohomology）或奇異上同調(diào)（singular cohomology）之間等價關(guān)系的平行推廣，這種觀點是否合理？

MK：不，不，不，我不這么認為。我覺得換一個稍微不同的視角會更好。德拉姆層（de Rham sheaf）確實占據(jù)重要地位，但背景設(shè)定有所不同。雖然德拉姆上同調(diào)與貝蒂上同調(diào)之間存在對應(yīng)關(guān)系，但D-模與之截然不同，而黎曼-希爾伯特對應(yīng)本身才是關(guān)鍵。格羅滕迪克曾希望將這些統(tǒng)一在motive（動機）理論中：存在一種名為 motive 的概念，貝蒂上同調(diào)與德拉姆上同調(diào)是它的兩個方面，你可以從不同角度看待它們，看到兩種不同的東西。但我認為這與你提出的觀點略有不同。

[BID/CFS]：但就像德拉姆上同調(diào)與奇異上同調(diào)之間的對應(yīng)一樣，黎曼-希爾伯特對應(yīng)一方面與微分相關(guān)，另一方面與可構(gòu)造層形式的拓撲相關(guān)，對嗎？

MK：在某種程度上，你說的是對的，但在另一種程度上又不對。當(dāng)然，如今它們已經(jīng)相互融合，例如在齋藤盛彥（Morihiko Saito）的工作中，他們將兩者聯(lián)系起來，從而獲得了更多信息。

安德烈亞?達尼奧洛（Andrea D’Agnolo）—— 意大利帕多瓦大學(xué)教授，與柏原正樹共同出席了在奧斯陸大學(xué)舉辦的阿貝爾獎講座。

圖源：Thomas Eckhoff / 阿貝爾獎

[BID/CFS]：后來 ——2016年發(fā)表的研究中，您與安德里亞?達尼奧洛（Andrea D’Agnolo）成功移除了正則性條件，代價是用歸納層（Ind-sheaves，其中Ind表示Inductive limit歸納極限，譯者注）替代了層。那么，歸納層如何幫助您 “解決”—— 如果可以這么說的話 —— 奇點問題？

MK：現(xiàn)在，這一理論不僅適用于正則情形，也適用于非正則情形（irregular case）。在正則情形下，解在奇點處的行為相對容易理解，但在非正則情形下則復(fù)雜得多，我花了很長時間才弄清楚如何控制非正則情形下函數(shù)的奇點 —— 這是一個相當(dāng)棘手的部分，花了20年才找到解決方案。

歸納層的雛形早已出現(xiàn)在我關(guān)于正則情形下黎曼-希爾伯特對應(yīng)的論文中。在那篇論文中，我引入了某種運算，能夠從可構(gòu)造層出發(fā)構(gòu)造正則和樂D-模。沙皮拉注意到我們可以進一步發(fā)展這種運算，于是我們提出了歸納層的概念，以捕捉 “層” 無法捕捉的現(xiàn)象。為了解決非正則黎曼-希爾伯特對應(yīng)，我們還需要一個額外的想法：增加一個變量。

[BID/CFS]：用歸納層替代層似乎并不是什么戲劇性的變化，但移除正則性條件在我們看來是非常重大的突破。您是否感到驚訝，這樣一個 “微小” 的擴展竟然能解決這個問題？

MK：是的，但這有著漫長的歷程。起初，我與沙皮拉合作，是為了控制函數(shù)的奇點 —— 這是歸納層的起點，但它逐漸發(fā)展壯大，過程相當(dāng)漫長。

[BID/CFS]：另一方面，黎曼-希爾伯特對應(yīng)和D-模在幾何朗蘭茲綱領(lǐng)（geometric Langlands conjecture）中占據(jù)著核心地位；最近，蓋茨戈里（Gaitsgory）及其合作者提出的證明中也涉及到了它們。您對此有何看法？它們?yōu)楹文芴幱谌绱撕诵牡奈恢茫?/strong>

MK：對于幾何朗蘭茲綱領(lǐng)來說，D-模當(dāng)然是必不可少的 —— 它是一個非?；A(chǔ)的工具，但僅靠它來解決幾何朗蘭茲綱領(lǐng)是不夠的，還需要更多其他理論。

Kazhdan-Lusztig卡茲丹-盧斯提格猜想（及合作的作用）

[BID/CFS]：您與約50位合作者共同發(fā)表了超過250篇論文，這對數(shù)學(xué)家來說是一個異常龐大的數(shù)字。您能談?wù)勥@一點嗎？尤其是1979年您與讓-呂克?布里林斯基（Jean-Luc Brylinski）的合作，最終證明了卡茲丹-盧斯提格猜想（Kazhdan–Lusztig conjecture）。

MK：盡管D-模理論在1970年代就已建立，但我一直沒有機會將其直接應(yīng)用。1979年我在巴黎時，數(shù)學(xué)家讓-呂克?布里林斯基給我打電話，提議見面，因為他有一個與D-模相關(guān)的想法。我們見面后，他談到了前一年提出的卡茲丹-盧斯提格猜想，并建議可以應(yīng)用D-模來證明這個猜想。這個最初的建議極具成果，D-模在我們證明卡茲丹-盧斯提格猜想的過程中起到了關(guān)鍵作用。

值得注意的是，證明中還運用了黎曼-希爾伯特對應(yīng)的一個重要應(yīng)用。貝林森和伯恩斯坦也通過不同的方法獨立證明了這一猜想。該猜想本身指出，所謂的卡茲丹-盧斯提格多項式（Kazhdan-Lusztig polynomials）提供了關(guān)于典范表示分解為不可約表示的完整信息。關(guān)于你提到的“有許多合作者” 這一更普遍的問題，我認為自己很幸運能有這么多聯(lián)合發(fā)表的論文。通過這些合作者，我學(xué)到了很多數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域的知識。

晶體基與量子群

[BID/CFS]：大約在1990年，盧斯提格的名字再次出現(xiàn)。他為有理函數(shù)域?(q)上向量空間中量子群（quantum groups）的表示引入了典范基（canonical basis），而您引入了晶體基（crystal basis）的概念 —— 這是當(dāng)參數(shù) q（溫度）趨于零時的基。這一成果通過您所謂的 “晶體圖”（crystal graph）給出了組合描述，是一項非凡的組合壯舉，被稱為 “大環(huán)論證”（grand loop argument），包含約20個相互關(guān)聯(lián)的步驟。您能談?wù)勥@一點嗎？

MK：我曾與佐藤合作研究微局部分析，后來他開始研究數(shù)學(xué)物理中所謂的可積模型（exactly solvable models，也稱精確可解模型），并與三輪哲二（Tetsuji Miwa）和神保道夫（Michio Jimbo）合作。我與他們兩人都很熟，有時也會合作。神保道夫獨立于德林費爾德（Drinfeld）引入了所謂的量子群。

量子群理論涉及一個參數(shù) q，它對應(yīng)溫度。我認為當(dāng)q等于零時，情況應(yīng)該會簡化 —— 事實確實如此：當(dāng) q 趨于零時，會出現(xiàn)理想的結(jié)果。我花了至少幾個月的時間才讓這個想法得以實現(xiàn)。由此產(chǎn)生了 “晶體基” 的概念 —— 類比物理學(xué)中物質(zhì)在低溫下結(jié)晶的現(xiàn)象。我們可以通過純組合的方法對其進行分析，并描述表示本身。表示的分析相當(dāng)困難，但組合層面的分析并不復(fù)雜。

2025年5月21日，柏原正樹在奧斯陸大學(xué)發(fā)表演講

圖源：Thomas Eckhoff / 阿貝爾獎

[BID/CFS]：這種性質(zhì)如何從 q（溫度）等于零的情況推廣到正溫度下的基？

MK：之后是可以推廣的。我是從 q=0 開始的，在這一點上存在一個理想的基，然后再考慮擴展的情況。

[BID/CFS]：您多次回到這個主題。例如，2018年，您與Seok-Jin Kang（姜錫真，音譯）和Myungho Kim（金明浩，音譯）合作，發(fā)現(xiàn)了量子仿射代數(shù)（quantum affine algebras）與某些箭圖赫克代數(shù)（quiver Hecke algebras）之間的對偶性。您預(yù)計會繼續(xù)研究這個方向嗎？

MK：是的，我仍在從事這方面的研究。

[BID/CFS]：這是您目前的主要研究方向，還是您還有其他正在探索的想法？

MK：這是我正在研究的方向之一，此外還有所謂的簇代數(shù)（cluster algebras）。簇代數(shù)由謝爾蓋?福明（Sergey Fomin）和安德烈?澤列維奇（Andrei Zelevinsky）引入，這是我目前最感興趣并正在研究的領(lǐng)域。事實上，這也是我將在周三的阿貝爾獎演講中要闡述的內(nèi)容。

[BID/CFS]：我們非常期待！

工作風(fēng)格、展望與遺產(chǎn)

[BID/CFS]：我們知道這樣問可能不太公平，但如果一定要讓您選擇，您最引以為傲的數(shù)學(xué)成就是什么？

MK：我想應(yīng)該是黎曼-希爾伯特對應(yīng)和晶體基的相關(guān)成果。

[BID/CFS]：另一個問題：您更喜歡獨自工作還是合作研究？

MK：簡短的回答是：兩者都喜歡。不過，現(xiàn)在合作的意義與我年輕時有所不同。如今我與一些年輕的數(shù)學(xué)家合作，從他們身上獲得了不少能量。

[BID/CFS]：2006年阿貝爾獎得主倫納特?卡爾松（Lennart Carleson）在接受阿貝爾獎訪談時說：要證明一個難題，堅信什么是對、什么是錯至關(guān)重要。你不能在兩者之間搖擺不定，因為這種信念是必不可少的。您同意這種觀點嗎？

MK：我部分同意。我可以舉一個例子：我曾與佐藤合作研究微局部分析，后來與皮埃爾?沙皮拉合作研究層理論的微局部方面。與佐藤合作時，我認為微局部分析只能應(yīng)用于函數(shù)的奇點 —— 這個假設(shè)并不好，限制了想象力。后來與沙皮拉合作時，我們發(fā)現(xiàn)微局部分析還可以應(yīng)用于其他領(lǐng)域。

與皮埃爾?沙皮拉（Pierre Schapira）合影

圖源：Liwlig Norway AS / 阿貝爾獎

數(shù)學(xué)之外

[BID/CFS]：在訪談的最后，我們通常會問：除了數(shù)學(xué)，您還有其他特殊愛好嗎？

MK：沒有太多，但我喜歡音樂。

[BID/CFS]：您喜歡哪種類型的音樂？

MK：現(xiàn)在，我非常喜歡印度音樂。印度音樂主要分為兩種：卡納提克音樂（Carnatic）和印度斯坦音樂（Hindustani）。印度斯坦音樂來自北方，卡納提克音樂來自南方。西塔琴（sitar）在印度斯坦音樂中使用較多，而在卡納提克音樂中則不常用。我是在金奈（Chennai）時開始喜歡印度音樂的。金奈有一個音樂季，長達一個月。整個12月都是音樂節(jié)，每天晚上我都會去各個劇院聽音樂（必須說一下，那里有很多蚊子?。?/p>

[BID/CFS]：還有傳言說您乒乓球打得相當(dāng)好。您現(xiàn)在還打乒乓球嗎？

MK：不打了，我的膝蓋不好。

[BID/CFS]：但您曾經(jīng)有一段時間經(jīng)常打乒乓球，對嗎？

MK：是的，有一段時間。順便說一下，我曾經(jīng)和讓-皮埃爾?塞爾（Jean-Pierre Serre）打過乒乓球，他打得很好，我輸給了他。

[BID/CFS]：代表挪威數(shù)學(xué)會、歐洲數(shù)學(xué)會以及我們兩人，感謝您接受這次非常有趣的訪談。

與現(xiàn)任及未來的阿貝爾獎采訪者合影

從左至右：克里斯蒂安?斯考、比約恩?伊恩?鄧達斯、柏原正樹、凱瑟琳?赫斯（Kathryn Hess）、湯姆?林斯特倫（Tom Lindstr?m）

圖源：Liwlig Norway AS / 阿貝爾獎

MK：非常感謝。

參考資料

https://ems.press/content/serial-article-files/51839

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