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本訪談是歐洲研究理事會(huì)（ERC）受資助者系列訪談的一部分，旨在探討受資助者的研究經(jīng)歷與學(xué)術(shù)成果。

受訪者簡(jiǎn)介

喬瓦尼?S?阿爾貝蒂（Giovanni S. Alberti，下文簡(jiǎn)稱GA），生于1987年，曾在熱那亞攻讀數(shù)學(xué)專業(yè)，2014年獲牛津大學(xué)博士學(xué)位。2014-2015年，他在巴黎高等師范學(xué)院擔(dān)任博士后；2015-2016年，于蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院從事博士后研究。2016 年起，他任職于熱那亞大學(xué)數(shù)學(xué)系，先后擔(dān)任助理教授、副教授（2022年），2024年起晉升為正教授。他是熱那亞機(jī)器學(xué)習(xí)中心（Machine Learning Genoa Center, MaLGa）成員，2018年獲歐亞反問(wèn)題協(xié)會(huì)青年科學(xué)家獎(jiǎng)（Eurasian Association on Inverse Problems Young Scientist Award），2025年獲卡爾德龍獎(jiǎng)（Calderón Prize，歷屆得主詳細(xì)名單見(jiàn)下文）。其研究領(lǐng)域包括偏微分方程（PDE）分析、反問(wèn)題、泛函分析、應(yīng)用調(diào)和分析、小波分析、壓縮感知及機(jī)器學(xué)習(xí)，目前主持一項(xiàng)歐洲研究理事會(huì)（ERC）啟動(dòng)基金項(xiàng)目（2022-2027年）。

采訪者簡(jiǎn)介

瑪麗 - 特蕾澤?沃爾夫拉姆（下文簡(jiǎn)稱[MTW]），目前是華威大學(xué)數(shù)學(xué)研究所正教授。此前，她曾在維也納大學(xué)、林茨拉東計(jì)算與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所和劍橋大學(xué)擔(dān)任研究職位。2023年，她因 “在應(yīng)用偏微分方程、社會(huì)經(jīng)濟(jì)與生命科學(xué)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)建模，以及偏微分方程數(shù)值分析方面的開(kāi)創(chuàng)性貢獻(xiàn)” 獲得倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)懷特黑德獎(jiǎng)（Whitehead prize）。2022年起，她擔(dān)任歐洲數(shù)學(xué)會(huì)（EMS）應(yīng)用與跨學(xué)科關(guān)系委員會(huì)（Committee for Applications and Interdisciplinary Relations, CAIR）成員。

馬克?E?普費(fèi)奇（下文簡(jiǎn)稱[MP]），2002年獲柏林工業(yè)大學(xué)博士學(xué)位，1998-2002年在該校擔(dān)任助教，2002-2008年在柏林祖斯研究所擔(dān)任博士后。2008年，他獲柏林工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)habilitation學(xué)位（德國(guó)學(xué)術(shù)職稱，相當(dāng)于教授資格），2008-2012年擔(dān)任布倫瑞克工業(yè)大學(xué)（TU Braunschweig）數(shù)學(xué)最優(yōu)化正教授，2012年起擔(dān)任達(dá)姆施塔特工業(yè)大學(xué)（TU Darmstadt）離散最優(yōu)化教授。其研究領(lǐng)域包括壓縮感知、混合整數(shù)非線性優(yōu)化、最優(yōu)化中的對(duì)稱性處理及能源網(wǎng)絡(luò)。2003年起，他參與開(kāi)發(fā)了如今的開(kāi)源求解器框架SCIP。2018年起，他擔(dān)任歐洲數(shù)學(xué)會(huì)（EMS）應(yīng)用與跨學(xué)科關(guān)系委員會(huì)（CAIR）成員。

關(guān)于卡爾德隆獎(jiǎng)（Calderón Prize）

在應(yīng)用數(shù)學(xué)方面，卡爾德隆獎(jiǎng)（Calderón Prize）由國(guó)際反問(wèn)題協(xié)會(huì)（Inverse Problems International Association, IPIA）頒發(fā)，獎(jiǎng)勵(lì)40歲以下在反問(wèn)題領(lǐng)域做出了杰出貢獻(xiàn)的研究人員。獎(jiǎng)項(xiàng)為紀(jì)念阿根廷數(shù)學(xué)家Alberto Calderón而設(shè)，是反問(wèn)題領(lǐng)域的最高榮譽(yù)。

國(guó)際反問(wèn)題協(xié)會(huì) (IPIA，Inverse Problems International Association) 致力于促進(jìn)反問(wèn)題領(lǐng)域的研究，并在數(shù)學(xué)界、科學(xué)界以及公眾中推廣該領(lǐng)域。為此，IPIA 組織并支持各類會(huì)議、暑期學(xué)校和獎(jiǎng)項(xiàng)，并發(fā)布相關(guān)信息。特別是，IPIA 負(fù)責(zé)協(xié)調(diào)每?jī)赡昱e辦一次的應(yīng)用反問(wèn)題 (AIP) 會(huì)議和卡爾德隆獎(jiǎng)的評(píng)選工作。

歷屆卡爾德隆獎(jiǎng)得主（每?jī)赡暌淮危?/strong>

• 2025 Giovanni Alberti（本文受訪者）、Ali Feizmohammadi

• 2023 Angkana Rüland

• 2021 Fran?ois Monard

• 2019 Lauri Oksanen、Carola Sch?nlieb

• 2017 任奎（哥倫比亞大學(xué)）、劉宏宇（香港城市大學(xué)）

• 2015 李培軍（中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院）

• 2013 Mikko Salo

• 2011 Guillaume Bal

• 2009 Martin Burger

• 2007 Matti Lassas

關(guān)于反問(wèn)題（也稱逆問(wèn)題 Inverse Problem）

反問(wèn)題是一個(gè)跨學(xué)科的研究領(lǐng)域，致力于從間接觀測(cè)中識(shí)別感興趣的量。自然科學(xué)中的反問(wèn)題通常可以被描述為尋找觀測(cè)結(jié)果的原因，例如，在地球物理勘探、無(wú)損檢測(cè)或相干衍射成像中，從散射波中尋找散射障礙物形狀的對(duì)比函數(shù)；或者在計(jì)算機(jī)斷層掃描中，從拉東變換中尋找吸收系數(shù)。

即使未知量能夠通過(guò)理想的無(wú)噪聲數(shù)據(jù)唯一確定，反問(wèn)題通常也是不適定的，因?yàn)榻獠⒉贿B續(xù)地依賴于數(shù)據(jù)。因此，除非在重建過(guò)程中以某種方式利用先驗(yàn)信息（例如使用正則化技術(shù)），否則微小的測(cè)量誤差會(huì)導(dǎo)致巨大的重建誤差。

反問(wèn)題研究涉及偏微分方程、微分幾何、數(shù)據(jù)科學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)值分析、優(yōu)化、成像科學(xué)、不確定性量化和高性能計(jì)算等領(lǐng)域的技術(shù)。

作者：瑪麗 - 特蕾澤?沃爾夫拉姆（Marie-Therese Wolfram）、馬克?E?普費(fèi)奇（Marc E. Pfetsch） 2025-11-10

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-11-19

[MTW]：我們從一個(gè) “借自” 馬丁?海勒（Martin Hairer，參閱以及）的問(wèn)題開(kāi)始吧：如果你有一根能實(shí)現(xiàn)愿望的數(shù)學(xué)魔法棒，你想證明什么樣的成果？

GA：我是一名應(yīng)用數(shù)學(xué)家，而應(yīng)用數(shù)學(xué)家在某種程度上就是試圖將現(xiàn)實(shí)生活與抽象數(shù)學(xué)成果結(jié)合起來(lái)。這兩者通常很難緊密相融，原因如下：理論可能很美，或許也極具深度，但它們往往只在簡(jiǎn)化的場(chǎng)景中適用，而現(xiàn)實(shí)并非總是如此。我的學(xué)術(shù)背景主要集中在分析領(lǐng)域，我經(jīng)常研究函數(shù)空間，并嘗試運(yùn)用這些技術(shù)去理解現(xiàn)實(shí)世界中的信號(hào)。函數(shù)空間通常在處理光滑函數(shù)和光滑信號(hào)時(shí)表現(xiàn)出色，但一旦遇到帶有奇點(diǎn)的信號(hào)，分析難度就會(huì)大幅增加。如今，人們直接使用機(jī)器學(xué)習(xí)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它們能很好地表示現(xiàn)實(shí)世界中的信號(hào)，但相關(guān)理論卻非常有限。另一方面，如果你使用傳統(tǒng)技術(shù)和函數(shù)空間，雖然對(duì)其特性了如指掌，但它們與現(xiàn)實(shí)的契合度并不高。

2023年，喬瓦尼?S?阿爾貝蒂在奧伯沃爾法赫（Oberwolfach）

圖源：奧伯沃爾法赫數(shù)學(xué)研究所檔案館

因此，如果我有這根魔法棒，我會(huì)嘗試將這兩者結(jié)合起來(lái)，從理論角度全面理解那些與現(xiàn)實(shí)高度貼近的模型。

[MTW]：你說(shuō)你的研究關(guān)注簡(jiǎn)化后的問(wèn)題，而現(xiàn)實(shí)要復(fù)雜得多。所以在某種程度上，你希望讓自己的模型更貼近現(xiàn)實(shí)，同時(shí)讓分析工具更先進(jìn)。

GA：沒(méi)錯(cuò)。以香農(nóng)定理為例：如果有一個(gè)帶限函數(shù)（bandlimited function，也稱有限帶寬函數(shù)），你可以按特定間隔對(duì)其采樣，就能完美重建該函數(shù)。但現(xiàn)實(shí)中的信號(hào)并非帶限信號(hào)，那該怎么辦？一種常用技術(shù)是壓縮感知（compressed sensing），當(dāng)時(shí)人們主要關(guān)注稀疏信號(hào) —— 即只有少數(shù)非零系數(shù)的信號(hào)。但隨著機(jī)器學(xué)習(xí)的興起，這些技術(shù)已經(jīng)完全過(guò)時(shí)了。然而，我們對(duì)機(jī)器學(xué)習(xí)的理解仍然十分有限，所以問(wèn)題在于：是否能找到一種理想的函數(shù)模型，一方面像神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所追求的那樣貼近現(xiàn)實(shí)，另一方面又能從數(shù)學(xué)角度被完全理解。

[MTW]：再回到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用上。你說(shuō)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)現(xiàn)在的表現(xiàn)已經(jīng)超越了傳統(tǒng)方法，這讓我有些驚訝。比如我本身研究偏微分方程（PDE），有同事致力于開(kāi)發(fā)復(fù)雜的偏微分方程有限元求解器，這是一種 “經(jīng)典方法”。如今，人們用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解偏微分方程，但說(shuō)句公道話，它們?cè)诤芏鄳?yīng)用場(chǎng)景中表現(xiàn)并不理想。我并不是說(shuō)使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)本身不好，但它們真的優(yōu)越很多嗎？

GA：如果是偏微分方程，比如帶有特定源項(xiàng)的三維泊松方程（Poisson equation in 3D），有限元求解器很可能表現(xiàn)出色 —— 它線性、簡(jiǎn)單，速度也相當(dāng)快。但如果是更復(fù)雜的偏微分方程，比如與時(shí)間相關(guān)、高維且可能涉及粒子的方程，傳統(tǒng)求解器可能需要數(shù)小時(shí)甚至數(shù)天才能完成求解，而經(jīng)過(guò)訓(xùn)練集訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)則要好得多。

核心區(qū)別在于：傳統(tǒng)求解器和經(jīng)典函數(shù)空間對(duì)實(shí)際場(chǎng)景完全 “無(wú)差別對(duì)待”—— 用有限元求解泊松方程時(shí)，右側(cè)的任何源項(xiàng)都能處理。而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)勢(shì)在于，它們能捕捉數(shù)據(jù)中額外的結(jié)構(gòu)特征。例如，天氣預(yù)報(bào)中的初始數(shù)據(jù)存在特定結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)無(wú)法用索伯列夫空間（Sobolev）或貝索夫空間（Besov）等經(jīng)典函數(shù)空間建模 —— 這些空間的設(shè)計(jì)初衷是量化光滑性。而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，尤其是卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（convolutional neural networks），能夠更好地表示這類結(jié)構(gòu)。

[MTW]：但與此同時(shí)，如果給神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入一些它未曾見(jiàn)過(guò)的、不符合預(yù)期的數(shù)據(jù)，它的表現(xiàn)可能會(huì)非常糟糕。

GA：確實(shí)如此。這就涉及到另一個(gè)話題 ——泛化能力（generalisation）：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)如何突破所學(xué)內(nèi)容的局限，處理未見(jiàn)過(guò)的數(shù)據(jù)。

[MTW]：你對(duì)人工智能（AI）整體有何看法？它將如何改變數(shù)學(xué)？

GA：首先，我的大部分研究仍處于人工智能和機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域之外。在研究反問(wèn)題和應(yīng)用調(diào)和分析的學(xué)者中，我可能是少數(shù)沒(méi)有將人工智能作為主要研究方向的人，因?yàn)槲胰匀幌矚g傳統(tǒng)課題。我認(rèn)為，人工智能對(duì)數(shù)學(xué)可能會(huì)有幫助，比如提供證明工具，或是助力開(kāi)發(fā)一些難以捉摸的思路，但這方面我確實(shí)了解不多。

另一方面，我們可以運(yùn)用數(shù)學(xué)技術(shù)分析人工智能。例如，通過(guò)數(shù)學(xué)分析研究神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的函數(shù)特性 —— 當(dāng)然，這么說(shuō)有些過(guò)于簡(jiǎn)化了。數(shù)學(xué)中的另一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是穩(wěn)定性：如果對(duì)問(wèn)題的輸入做微小改變，輸出會(huì)發(fā)生什么變化？穩(wěn)定性是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究中的一個(gè)重要課題，因此在這方面，數(shù)學(xué)應(yīng)該能發(fā)揮作用。

2023年，喬瓦尼?阿爾貝蒂在哥廷根舉辦的應(yīng)用反問(wèn)題會(huì)議上。

圖源：馬庫(kù)斯?奧斯特霍夫博士（Dr. Markus Osterhoff）拍攝

[MP]：能給我們介紹一下你的歐洲研究理事會(huì)（ERC）項(xiàng)目嗎？

GA：我的項(xiàng)目標(biāo)題是 “偏微分方程反問(wèn)題的樣本復(fù)雜度”（Sample complexity for inverse problems in PDEs）。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，這個(gè)項(xiàng)目并非求解偏微分方程，而是在已知方程解或解的相關(guān)信息（例如邊界數(shù)據(jù)）的情況下，推斷方程的系數(shù)。傳統(tǒng)上，這類問(wèn)題主要通過(guò)偏微分方程理論或計(jì)算技術(shù)進(jìn)行研究。

由于大多數(shù)問(wèn)題都涉及信號(hào)，我的項(xiàng)目旨在將信號(hào)分析、應(yīng)用調(diào)和分析與偏微分方程理論結(jié)合起來(lái)，運(yùn)用采樣、壓縮感知技術(shù)，以及機(jī)器學(xué)習(xí)與偏微分方程理論相結(jié)合的方法開(kāi)展研究。

以橢圓型偏微分方程的一個(gè)簡(jiǎn)化問(wèn)題為例：我們希望通過(guò)方程的解求出其未知系數(shù)。你可以從偏微分方程的角度研究這個(gè)問(wèn)題，也可以將 “從解到系數(shù)的映射” 視為函數(shù)空間之間的映射?？赡艿膯?wèn)題包括：如果已知未知系數(shù)的某些特性呢？如果它具有額外的結(jié)構(gòu)呢？能否用更少的測(cè)量數(shù)據(jù)恢復(fù)出該系數(shù)？這類問(wèn)題可以通過(guò)偏微分方程技術(shù)解決，但對(duì)未知系數(shù)的假設(shè)，在應(yīng)用調(diào)和分析、采樣理論或壓縮感知中更為常見(jiàn) —— 這些領(lǐng)域通常會(huì)基于稀疏性做出假設(shè)。

[MP]：你提到了壓縮感知，它在過(guò)去非常熱門，對(duì)吧？但我感覺(jué)這個(gè)領(lǐng)域的發(fā)展似乎放緩了 —— 你認(rèn)為它未來(lái)的發(fā)展方向是什么？

GA：我認(rèn)為，過(guò)去99%研究壓縮感知類問(wèn)題的人，現(xiàn)在都轉(zhuǎn)向了機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域。壓縮感知研究似乎已經(jīng)達(dá)到了成熟階段，相關(guān)成果已相對(duì)飽和。但我覺(jué)得，其中很多思想還沒(méi)有在有趣的場(chǎng)景中得到應(yīng)用 —— 這正是我的歐洲研究理事會(huì)ERC項(xiàng)目的核心切入點(diǎn)之一。

壓縮感知的核心思想是，通過(guò)對(duì)未知量的先驗(yàn)假設(shè)減少測(cè)量數(shù)據(jù)量。這一核心思想完全可以應(yīng)用于反問(wèn)題：如何利用對(duì)未知量的先驗(yàn)知識(shí)來(lái)減少測(cè)量次數(shù)？遺憾的是，現(xiàn)有的壓縮感知方法無(wú)法實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。因此，我的項(xiàng)目旨在推廣、擴(kuò)展現(xiàn)有的壓縮感知成果，并可能開(kāi)發(fā)新的壓縮感知理論，使其足夠通用，能夠應(yīng)用于偏微分方程的反問(wèn)題。

舉個(gè)例子：壓縮感知的主要應(yīng)用之一是磁共振成像（magnetic resonance imaging），其原理基于傅里葉變換（Fourier transform）。計(jì)算機(jī)斷層掃描（computerised tomography）中另一個(gè)非常重要的反問(wèn)題，則基于拉東變換（Radon transform）。但令人驚訝的是，此前沒(méi)有任何一篇理論論文解釋為何壓縮感知能應(yīng)用于拉東變換 —— 而這正是我們大約一年前完成的研究成果。

[MTW]：醫(yī)學(xué)成像領(lǐng)域有很多相關(guān)研究。你說(shuō)你們?nèi)〉昧艘恍├碚摮晒窟@些成果對(duì)改進(jìn)醫(yī)學(xué)成像算法的性能和效果有幫助嗎？

GA：壓縮感知技術(shù)已在實(shí)踐中得到應(yīng)用，比如斷層掃描（tomography）。但在此之前，沒(méi)有任何一項(xiàng)理論成果證明：如果假設(shè)信號(hào)是稀疏的，那么所需的測(cè)量數(shù)據(jù)量與稀疏性相關(guān)。對(duì)于拉東變換，這類成果此前完全空白。而對(duì)于磁共振成像，答案無(wú)疑是肯定的：壓縮感知理論確實(shí)提升了其性能。

[MTW]：那么你是如何想到這個(gè)歐洲研究理事會(huì)ERC項(xiàng)目的？

GA：這是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，并非某天早上醒來(lái)突然決定 “好，我要寫一份歐洲研究理事會(huì)ERC項(xiàng)目申請(qǐng)書(shū)”。正如我所說(shuō)，我的博士研究聚焦于偏微分方程的反問(wèn)題，碩士階段主要研究小波分析。在博士后期間，我開(kāi)始探索將這兩個(gè)領(lǐng)域結(jié)合起來(lái)的思路，開(kāi)辟一條其他人未曾涉足的研究路徑。后來(lái)我們意識(shí)到，這個(gè)方向存在很多未解決的問(wèn)題，所以我想，或許可以申請(qǐng)歐洲研究理事會(huì)ERC基金。

[MP]：回顧申請(qǐng)過(guò)程，你有沒(méi)有注意到什么特別的地方？對(duì)于想要申請(qǐng)的同事，你有什么建議？

GA：我想，如果你是頂尖數(shù)學(xué)家，可能不需要擔(dān)心我所面臨的那些問(wèn)題。對(duì)我來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì)項(xiàng)目花了很長(zhǎng)時(shí)間 —— 實(shí)際撰寫和打磨申請(qǐng)書(shū)用了大概幾個(gè)月，但項(xiàng)目設(shè)計(jì)本身才是最關(guān)鍵的部分。我用幻燈片梳理了項(xiàng)目的核心思路，并與朋友、同事等人分享，這幫助我盡可能合理地構(gòu)建了整個(gè)項(xiàng)目框架。但我申請(qǐng)了兩次才成功：第一次是在新冠疫情期間，我通過(guò)了第一輪篩選，但當(dāng)時(shí)沒(méi)有面試環(huán)節(jié)，最終沒(méi)有獲批。不過(guò)，由于通過(guò)了第一階段，我可以在第二年提交修訂版申請(qǐng)書(shū)。這份修訂版基于第一輪收到的反饋，我認(rèn)為這給了我很大優(yōu)勢(shì)。第二次參加面試時(shí)，我已經(jīng)預(yù)判到了很多可能的批評(píng)意見(jiàn)。

我認(rèn)為關(guān)鍵在于時(shí)間：你不能突然某天決定申請(qǐng)歐洲研究理事會(huì)ERC基金，這是一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程。我覺(jué)得從開(kāi)始構(gòu)思到最終提交申請(qǐng)書(shū)，至少需要一年時(shí)間 —— 一年是比較合理的周期，不宜倉(cāng)促行事。

[MP]：我能想象，有些反饋可能是相互矛盾的。咨詢的人越多，得到的意見(jiàn)就越多，對(duì)吧？這些意見(jiàn)都有價(jià)值，但你不可能全部采納 —— 畢竟申請(qǐng)書(shū)篇幅有限，時(shí)間也有限。你是如何處理這個(gè)問(wèn)題的？

GA：確實(shí)如此。評(píng)審報(bào)告中也能看到這種情況。我不知道評(píng)審委員會(huì)是如何運(yùn)作的，但我想他們肯定需要找到一個(gè)平衡點(diǎn)。

舉個(gè)例子：我在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的經(jīng)驗(yàn)并不多，雖然在優(yōu)質(zhì)期刊和會(huì)議上發(fā)表過(guò)兩三篇相關(guān)論文，但這并非我的主要研究方向。當(dāng)時(shí)面臨的問(wèn)題是：如果將機(jī)器學(xué)習(xí)的比重壓得極低，避免別人說(shuō) “你不是這方面的專家”，但這樣又可能會(huì)有人質(zhì)疑 “都2022年了，你怎么還只做壓縮感知？”。所以我必須找到一個(gè)中間立場(chǎng)。我的做法是，坦誠(chéng)自己并非完全出身于機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，并邀請(qǐng)了熱那亞一位在機(jī)器學(xué)習(xí)方面非常資深的同事作為額外合作者。我是這么做的，但我覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有簡(jiǎn)單的解決方案。

[MTW]：我們換個(gè)話題吧。你是何時(shí)、如何決定學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的？

GA：高中時(shí)我就喜歡數(shù)學(xué)，但也喜歡物理和工程學(xué)等更實(shí)用的學(xué)科。在意大利，教育體系允許學(xué)生在課程開(kāi)始前最后一刻才確定大學(xué)專業(yè)。我是在開(kāi)學(xué)前五天做出決定的。高中畢業(yè)那年夏天，我買了一些物理、數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域的書(shū)籍，閱讀后發(fā)現(xiàn)自己覺(jué)得數(shù)學(xué)比其他學(xué)科更容易。多年來(lái)，這種感覺(jué)越來(lái)越強(qiáng)烈 —— 很多人認(rèn)為數(shù)學(xué)很難，但我恰恰相反：數(shù)學(xué)很簡(jiǎn)單。它基于很少的幾條規(guī)則，而每當(dāng)我思考物理問(wèn)題時(shí)，都會(huì)覺(jué)得復(fù)雜得多；如果是經(jīng)濟(jì)學(xué)、政治學(xué)或醫(yī)學(xué)等非STEM（科學(xué)、技術(shù)、工程、數(shù)學(xué)）學(xué)科，我會(huì)覺(jué)得更難。這就是我選擇學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的原因 —— 因?yàn)樗芎?jiǎn)單。

[MTW]：那為什么不選擇純數(shù)學(xué)呢？

GA：我最初是純數(shù)學(xué)方向的，本科和碩士階段基本都在研究純數(shù)學(xué)。但我也修了一些應(yīng)用數(shù)學(xué)課程，一直對(duì) “介于純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)之間” 的領(lǐng)域很感興趣 —— 這也是我現(xiàn)在的研究定位。在純數(shù)學(xué)家看來(lái)，我可能是一名應(yīng)用數(shù)學(xué)家；而在應(yīng)用數(shù)學(xué)家看來(lái)，我又偏向純數(shù)學(xué)。所以我覺(jué)得自己處于兩者之間。

[MTW]：你認(rèn)為應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)該向哪個(gè)方向發(fā)展？

GA：我不知道。正如我多次提到的，我不太熱衷于跟風(fēng)。我無(wú)法預(yù)測(cè)十年后會(huì)發(fā)生什么 —— 或許到那時(shí)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)沒(méi)人使用了。所以我不確定應(yīng)用數(shù)學(xué)的未來(lái)方向。

[MP]：你如何看待數(shù)學(xué)的相關(guān)領(lǐng)域？我認(rèn)為應(yīng)用數(shù)學(xué)非常成功，但也存在一個(gè)弊端：相關(guān)領(lǐng)域會(huì)將應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法引入自身領(lǐng)域，他們也會(huì)做數(shù)學(xué)研究，因此很難區(qū)分一篇論文是信號(hào)處理領(lǐng)域的人寫給數(shù)學(xué)家的，還是反之。你對(duì)此有何看法？保持?jǐn)?shù)學(xué)的整體性重要嗎？這種 “分散” 的狀態(tài)是好事嗎？

GA：我很高興數(shù)學(xué)能夠被其他領(lǐng)域應(yīng)用和普及，但我也認(rèn)為，深入理解數(shù)學(xué)抽象理論至關(guān)重要。我的意思是，比如在進(jìn)行偏微分方程數(shù)值計(jì)算時(shí)，你可能不需要掌握泛函分析或弱解理論，但我堅(jiān)信，要理解這些方法的特性，就必須具備深厚的理論知識(shí)。

這一點(diǎn)適用于所有領(lǐng)域。例如，如果你想求拉東變換的逆，只需應(yīng)用經(jīng)典的濾波反投影法（filtered back projection）即可。但理解其中涉及的函數(shù)空間、拉東變換的不適定性（ill posed）及其逆變換的不連續(xù)性，也同樣重要 —— 只有這樣，才能完全理解這些問(wèn)題。

在里約熱內(nèi)盧舉辦的2025年應(yīng)用反問(wèn)題會(huì)議上，喬瓦尼?S?阿爾貝蒂發(fā)表卡爾德龍獎(jiǎng)（Calderón Prize）獲獎(jiǎng)感言。

轉(zhuǎn)載自：FGV EMAp，照片由安娜?圣地亞哥（Ana Santiago）拍攝

我很高興工程師們能使用數(shù)學(xué)工具，但我認(rèn)為，對(duì)我們而言，捍衛(wèi)理論在理解這些現(xiàn)象中的重要性至關(guān)重要。

[MTW]：這個(gè)回答非常精彩。

[MP]：你如何看待文化背景的影響？我感覺(jué)，數(shù)學(xué)家說(shuō)幾句話就能被輕易識(shí)別出來(lái)，或許電氣工程師會(huì)使用完全不同的語(yǔ)言。你認(rèn)為這種差異重要嗎？

GA：當(dāng)然，我并不認(rèn)為數(shù)學(xué)家比其他人更優(yōu)秀。但我喜歡數(shù)學(xué)的一點(diǎn)是，抽象性使數(shù)學(xué)比其他領(lǐng)域更具通用性。所以我覺(jué)得，數(shù)學(xué)的核心文化優(yōu)勢(shì)在于，憑借基礎(chǔ)的知識(shí)和工具，我們能夠理解和分析各種截然不同的現(xiàn)象 —— 這一點(diǎn)對(duì)工程師來(lái)說(shuō)可能很難實(shí)現(xiàn)。

順便說(shuō)一句：我并非數(shù)學(xué)教育專家，所以不確定中小學(xué)學(xué)生最需要什么樣的數(shù)學(xué)教育。但如今，至少在意大利，有一種趨勢(shì)是避免數(shù)學(xué)抽象性：“讓一切都具體化，多舉例子”。當(dāng)然，我理解并重視數(shù)學(xué)中的例子和實(shí)用性內(nèi)容，但我也同樣重視其抽象性。

[MTW]：在某種程度上，我同意你的觀點(diǎn)。但與此同時(shí)，我常常對(duì)工程師們能想出切實(shí)可行的點(diǎn)子感到驚訝 —— 他們往往擁有極強(qiáng)的直覺(jué)。他們可能無(wú)法告訴你這個(gè)點(diǎn)子為何有效，但他們是如何想到的呢？我不是在為任何一方辯護(hù)或評(píng)判，只是覺(jué)得兩種方法各有其優(yōu)點(diǎn)。

[MP]：我想就相關(guān)問(wèn)題聽(tīng)聽(tīng)你的看法。我完全同意抽象性的重要性，但它也有一個(gè)弊端：數(shù)學(xué)往往隱藏在應(yīng)用背后。至少在外界看來(lái)，通常只能看到應(yīng)用成果，而我們所做的基礎(chǔ)工作卻不為人知。我認(rèn)為，這一點(diǎn)也反映在資金支持上 —— 除了歐洲研究理事會(huì)（ERC），在歐洲層面，資金往往與應(yīng)用掛鉤，而非基礎(chǔ)研究。你對(duì)此有何看法？

GA：這是一個(gè)很難回答的問(wèn)題 —— 你應(yīng)該提前把這個(gè)問(wèn)題發(fā)給我。（笑）

這讓我想到，我的歐洲研究理事會(huì)ERC基金項(xiàng)目（我向數(shù)學(xué)評(píng)審組提交的申請(qǐng)）中，大部分內(nèi)容是關(guān)于定理和理解現(xiàn)象的，這些成果肯定不會(huì)直接應(yīng)用于實(shí)踐。但每當(dāng)我向非專業(yè)人士解釋這個(gè)項(xiàng)目時(shí)，我都會(huì)從醫(yī)學(xué)成像等應(yīng)用入手 —— 因?yàn)檫@樣人們更容易理解。

重要的是，人們需要明白，我們?cè)趯W(xué)校學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（比如算術(shù)和幾何）在生活中無(wú)處不在：這些基本構(gòu)建塊是至關(guān)重要的。如今，世界以及我們描述世界的科學(xué)都有了很大發(fā)展。同理，我認(rèn)為，理解現(xiàn)代世界的新構(gòu)建塊正是由純數(shù)學(xué)提供的 —— 它既是工具，也是語(yǔ)言。但話雖如此，我對(duì)此并沒(méi)有明確的解決方案。

[MTW]：回顧自己的職業(yè)生涯，你有什么建議可以分享？

GA：一個(gè)簡(jiǎn)單且可能顯而易見(jiàn)的建議是：盡可能享受自己所做的事情。試著在工作中找到樂(lè)趣，不要只把它當(dāng)成一份差事。

還有一個(gè)你可能不常聽(tīng)到的建議：獨(dú)立的重要性。即使是博士生，尤其是博士后，也應(yīng)該盡快擺脫對(duì)導(dǎo)師的依賴。我認(rèn)為，與導(dǎo)師形成差異化、找到自己的研究方向非常重要。

我一直認(rèn)為這一點(diǎn)很重要，原因有二：首先，這樣一來(lái)，你的研究成果會(huì)更具獨(dú)特性，人們不會(huì)把你僅僅視為 “X的學(xué)生” 或 “做了與Y類似工作的人”；其次，這是做出真正創(chuàng)新成果的唯一途徑 —— 你可以嘗試探索其他人未曾涉足的新方向。

另一個(gè)建議是關(guān)于科學(xué)傳播的：我認(rèn)為，無(wú)論是年輕研究者還是資深研究者，往往更關(guān)注自己的研究?jī)?nèi)容，而不太重視論文寫作和向他人解釋研究成果的方式。我相信，對(duì)于年輕的博士生和博士后來(lái)說(shuō)，理解撰寫優(yōu)質(zhì)論文的價(jià)值至關(guān)重要 —— 讓讀者讀完后能說(shuō) “啊，我明白了”。同樣，做好學(xué)術(shù)報(bào)告也很重要，讓聽(tīng)眾能夠理解報(bào)告內(nèi)容。但人們往往不太重視這一點(diǎn)，尤其是在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域。我聽(tīng)過(guò)很多報(bào)告，通常只關(guān)注成果本身 ——“這個(gè)定理很美，就這樣”?；蛟S “就這樣” 就夠了，但成果也需要通過(guò)良好的傳播方式讓他人知曉。

[MTW]：過(guò)去，是什么幫助你培養(yǎng)了這種獨(dú)立性？

GA：對(duì)我來(lái)說(shuō)，是在博士二年級(jí)結(jié)束時(shí)，我的導(dǎo)師來(lái)找我說(shuō)：“明年我要去巴黎（當(dāng)時(shí)我在英國(guó)），所以我們大概只能見(jiàn)三四次面，之后就全靠你自己了?！?這在無(wú)形中促使我變得獨(dú)立。當(dāng)然，這是一種比較極端的方式。（笑）

[MTW]：那你之后是不是更多地與其他人合作了？

GA：是的，比如在會(huì)議上認(rèn)識(shí)一些人，然后開(kāi)展一些副業(yè)項(xiàng)目 —— 不過(guò)這在博士后階段可能更多一些。

[MTW]：關(guān)于學(xué)術(shù)寫作，這確實(shí)是個(gè)不錯(cuò)的建議，但學(xué)習(xí)起來(lái)并不容易。

GA：嗯，現(xiàn)代機(jī)器學(xué)習(xí)的方法是分類學(xué)習(xí) —— 多看例子，包括糟糕的論文和優(yōu)秀的論文，多聽(tīng)報(bào)告，包括糟糕的報(bào)告和精彩的報(bào)告，從這些例子中學(xué)習(xí)。但我同意，這并不容易。

[MP]：但如果沒(méi)有做好這件事的動(dòng)力，就很難有所提升。

GA：沒(méi)錯(cuò)?；蛟S存在這樣一種風(fēng)險(xiǎn)：一旦定理證明完成，動(dòng)力就消失了，只是把結(jié)果寫下來(lái)，確認(rèn)其正確性就完事了。

獲得歐洲研究理事會(huì)ERC項(xiàng)目后，我讀了一些同事的申請(qǐng)書(shū)。有些申請(qǐng)書(shū)的作者在數(shù)學(xué)領(lǐng)域比我強(qiáng)得多，項(xiàng)目本身在數(shù)學(xué)層面也非常出色。但如果寫作方式枯燥到讓讀者讀第一頁(yè)就犯困，那么很可能無(wú)法獲得歐洲研究理事會(huì)ERC基金支持。

[MTW、MP]：感謝你帶來(lái)的深刻見(jiàn)解。

參考資料

https://ems.press/content/serial-article-files/51836

https://ipia.site/wp/calderon-prizes/

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