《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 017

017. 論1+1與1+2

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，關(guān)于“1+1哥德巴赫猜想”與“1+2陳氏定理”的關(guān)系，確實(shí)需要一些數(shù)學(xué)背景才能理解得更為透徹。哥德巴赫猜想最初提出的是“每一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和”，這個(gè)命題通常被簡(jiǎn)稱為“1+1”。而“1+2陳氏定理”，它表明每一個(gè)足夠大的偶數(shù)都可以寫(xiě)成一個(gè)質(zhì)數(shù)與不超過(guò)兩個(gè)質(zhì)數(shù)乘積的和。從形式上看，這兩個(gè)命題雖然都涉及質(zhì)數(shù)的分解，但它們之間并不是簡(jiǎn)單的包含或遞進(jìn)關(guān)系。

那么，解決了“1+1”是否就意味著向解決“1+2”邁進(jìn)了一步呢？實(shí)際上，這兩個(gè)問(wèn)題在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上存在差異，因此直接解決“1+2”并不直接等同于解決了“1+1”，但它們之間確實(shí)存在一定的理論聯(lián)系和邏輯上的啟發(fā)意義。

總的來(lái)說(shuō)，“1+1”和“1+2”雖然都源自哥德巴赫猜想的大框架，但各自代表了不同的數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)和證明路徑。

看下圖，

但是，在所謂的某位大數(shù)學(xué)家所提交的論文中，開(kāi)頭部分赫然出現(xiàn)了這樣的表達(dá)式：

x - p = p?

x - p = p?p?

這顯然是一種嚴(yán)重的混淆——作者錯(cuò)誤地將“證明x - p = p?p?”與“證明x - p =p?”視為同一命題或等效過(guò)程，而事實(shí)上這兩者在邏輯上、數(shù)學(xué)含義上以及證明路徑上都是完全不同的。將兩者混為一談，不僅暴露了推演過(guò)程中的基本錯(cuò)誤，更反映出論證者對(duì)于數(shù)論基本概念的把握存在根本性偏差。

令人擔(dān)憂的是，至今仍有人在各類平臺(tái)和宣傳渠道中聲稱“這是迄今為止最接近證明哥德巴赫猜想的成果”，這樣的言論無(wú)疑是對(duì)公眾認(rèn)知的誤導(dǎo)，是對(duì)求知者的不負(fù)責(zé)任，更是對(duì)科學(xué)精神與數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的公然踐踏。

將兩個(gè)本質(zhì)上無(wú)關(guān)、甚至互斥的命題并列作為論證的核心，不僅不能推進(jìn)問(wèn)題的解決，反而恰恰揭示了某種學(xué)術(shù)上的不誠(chéng)實(shí)：它不是無(wú)心之失，而更像是一種有意為之的誤導(dǎo)行為。我們是否應(yīng)該容忍這樣一種明顯存在欺詐嫌疑的“成果”，繼續(xù)混淆視聽(tīng)、消耗公眾對(duì)科學(xué)的信任？

下面我們說(shuō)明一下這是兩個(gè)不相干的命題。

使用Ltg-空間理論里面的2N+A(A=1,2)空間，

看下圖，

1、 這兩個(gè)數(shù)列代表全部正整數(shù)；

2、 與其他等差數(shù)列空間隔離，從而每一個(gè)正整數(shù)只有一個(gè)唯一的坐標(biāo)，其中素?cái)?shù)也有了自己的位置，不是隨機(jī)出現(xiàn)的；

3、 由于有了與項(xiàng)數(shù)N一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，數(shù)列轉(zhuǎn)成了函數(shù)；

4、 數(shù)列2N+1包含了正整數(shù)中除2以外的全部素?cái)?shù)，3、5、7……；

5、 數(shù)列2N+2包含了正整數(shù)中的全部偶數(shù)；

以上是簡(jiǎn)單的觀察整理出來(lái)的這個(gè)空間里面的一些性質(zhì)。

在研究這個(gè)問(wèn)題前我們做一些設(shè)定：

偶數(shù)大于等于6，1+1=2和2+2=4 做特殊處理，不影響里面的研究。但是1和2可以使用。

我們?nèi)我膺x取一個(gè)項(xiàng)數(shù)N，該數(shù)值可以自由選擇，它所對(duì)應(yīng)的偶數(shù)記作O，也就是說(shuō)O是由N按照某種規(guī)則生成的偶數(shù)。接下來(lái)，我們把這個(gè)項(xiàng)數(shù)N前面的部分一分為二，分成兩個(gè)部分，前一部分稱為前項(xiàng)，記作N′，后一部分稱為后項(xiàng)，記作N″。

于是，我們可以得到關(guān)系式：N = N′ + N″，這表示整個(gè)項(xiàng)數(shù)N可以被拆分為前項(xiàng)N′和后項(xiàng)N″之和。

舉例來(lái)說(shuō)，當(dāng)項(xiàng)數(shù)N取10時(shí)，我們可以有多種拆分方式，比如10 = 0 + 10，10 = 1 + 9，10 = 2 + 8，10 = 3 + 7，10 = 4 + 6，以及10 = 5 + 5。

同樣地，我們觀察到在2N+2上的偶數(shù)O也遵循類似的規(guī)律，即偶數(shù)O等于前項(xiàng)與后項(xiàng)兩個(gè)奇數(shù)的首尾相加。

換句話說(shuō)，O可以表示為J′ + J″，其中J′和J″分別是前項(xiàng)和后項(xiàng)對(duì)應(yīng)的奇數(shù)。

再以偶數(shù)20為例，它可以通過(guò)不同的奇數(shù)組合得到，比如20 = 1 + 19，20 = 3 + 17，20 = 5 + 15，20 = 7 + 13，以及20 = 9 + 11。

根據(jù)我們所知，該空間中的合數(shù)項(xiàng)公式可以表示為

Nh = a(2b+1) + b，其中a和b均為大于等于1的整數(shù)。

進(jìn)一步地，合數(shù)H可以定義為

H = Nh + 1，即H = a(2b+1)+ b + 1。

通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)整理，我們可以將H重新表達(dá)為

H =(2a+1)(2b+1)。

值得注意的是，這里(2a+1)和(2b+1)都是合數(shù)，并且它們都是由素?cái)?shù)的連乘構(gòu)成的，具體來(lái)說(shuō)，是由素?cái)?shù)如3、5、7、11等相乘得到的乘積。

基于這一前提，考慮一個(gè)偶數(shù)O，它可以表示為兩個(gè)部分的和，

即O = J′ +J″。

由此，我們可以將O進(jìn)一步表達(dá)為

O = J′ + (2a+1)(2b+1) 或者 O = (2a+1)(2b+1) + J″。

在這些表達(dá)式中，當(dāng)J′或J″是素?cái)?shù)時(shí)，我們就得到了偶數(shù)O的一種重要分解形式：

即O可以表示為一個(gè)素?cái)?shù)與兩個(gè)素?cái)?shù)之和的乘積，或者更一般地，可以表示為多個(gè)素?cái)?shù)之和的乘積形式。

這種表達(dá)實(shí)際上涵蓋了多種素?cái)?shù)組合的情況，包括著名的“1+2”形式，即一個(gè)素?cái)?shù)加上兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積。這不僅展示了數(shù)論中的豐富結(jié)構(gòu)，也為理解哥德巴赫猜想等相關(guān)問(wèn)題提供了有益的視角。

注意這里出現(xiàn)了一個(gè)明顯的矛盾：

按照素?cái)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)定義，數(shù)字2確實(shí)滿足所有條件——它只能被1和它自身整除，因此它無(wú)疑是一個(gè)素?cái)?shù)。然而，在奇數(shù)列2N+1（其中N為自然數(shù)）中，卻無(wú)法包含數(shù)字2，因?yàn)樵撔蛄猩傻亩际谴笥诘扔?的奇數(shù)。

與此同時(shí)，當(dāng)我們考慮形如（2a+1）(2b+1)的素?cái)?shù)乘積展開(kāi)時(shí)，它實(shí)際上是從最小的奇素?cái)?shù)3開(kāi)始的，也就是乘積序列3×5×7×11×13……，這其中并不包括素?cái)?shù)2。這就導(dǎo)致了一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：

由于2不在這個(gè)乘積范圍內(nèi)，任何基于此類乘積形式的公式推導(dǎo)，在試圖從“1+2”（即一個(gè)素?cái)?shù)加上兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積）推進(jìn)到“1+1”（即兩個(gè)素?cái)?shù)之和）時(shí)，都會(huì)遇到根本性的障礙。

因此，如果聲稱證明了“1+2”就相當(dāng)于向哥德巴赫猜想的最終證明邁出了重大一步，這種說(shuō)法實(shí)際上缺乏完整的邏輯依據(jù)，甚至可以說(shuō)是錯(cuò)誤和荒謬的，因?yàn)樗雎粤怂財(cái)?shù)2在結(jié)構(gòu)上的特殊性以及其在乘積表達(dá)中的缺失所帶來(lái)的理論缺陷。

1+1哥德巴赫猜想與1+2陳氏定理是數(shù)論領(lǐng)域中兩個(gè)完全不同的數(shù)學(xué)命題，它們不僅在研究?jī)?nèi)容、方法和結(jié)論上存在本質(zhì)區(qū)別，還在其歷史背景和理論地位上有著顯著的差異，因此絕不能混為一談！哥德巴赫猜想的核心在于探討是否每一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和，而陳氏定理（即“1+2”）則是在該猜想研究路徑上的一個(gè)重大但尚未達(dá)到最終目標(biāo)的進(jìn)展，它表明任意足夠大的偶數(shù)可以寫(xiě)成一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)不超過(guò)兩個(gè)質(zhì)數(shù)乘積的數(shù)之和。這兩個(gè)命題各自具有獨(dú)立的數(shù)學(xué)意義與價(jià)值，明確區(qū)分它們對(duì)于準(zhǔn)確理解數(shù)論發(fā)展至關(guān)重要。

2025年11月13日星期四