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只需向左跳一下，然后再向右邁一步。本文涉及Oliver Johnson教授對群的討論。

作者：奧利弗·約翰遜 (Oliver Johnson，布里斯托大學數(shù)學學院信息論教授，兼任統(tǒng)計科學研究所所長）2025-11-8

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學科普公眾號）2025-11-10

本周，《紐約客》在一篇（原本相當有趣的）關于人工智能和數(shù)據(jù)中心的文章中 https://www.newyorker.com/magazine/2025/11/03/inside-the-data-centers-that-train-ai-and-drain-the-electrical-grid ，夾雜著對數(shù)學的看法：

“美是首要的檢驗標準：丑陋的數(shù)學在這個世界上沒有一席之地，”數(shù)學家G. H. 哈代在1940年寫道。然而，我們文明如今投入如此多資源的矩陣乘法，卻如同釘釘子般笨拙不堪。它既不美觀，也不對稱：事實上，在矩陣乘法中， a乘以b并不等于b乘以a 。”

我今天要告訴你，這種想法完全錯誤：如果a乘以b總是等于b乘以a，那其實相當無趣。允許其他可能性存在，能讓我們領略到遠超作者想象的美感和對稱性。這是一個關于量子力學、探索深空的衛(wèi)星以及打包 23 維行李箱的故事。讓我來解釋一下。

我謹代表群（group）向大家表示感謝

想象一個三臂指尖陀螺放在桌子上，其中一臂指向正北，三臂兩側分別標有數(shù)字 1、2 和 3。以下兩種操作不會改變陀螺的形狀，但會改變數(shù)字的順序：

我們可以將指尖陀螺順時針旋轉 120 度。

我們可以把它翻過來放在桌子上，只需保持指向北方的那根臂不動即可。

希望你能明白，如果你先做步驟 1 再做步驟 2（上圖），最終得到的轉盤形狀會和先做步驟 2 再做步驟 1（下圖）的結果不同。順序很重要！

這就像《紐約客》雜志之前批評過的黑客帝國一樣。這也沒什么不好！事實上，這兩種情況都符合同樣的規(guī)律，這絕非巧合。

我向你們展示的是對稱群（symmetric group）S3（S 代表對稱，3 代表指尖陀螺的三個臂）。數(shù)字有六種可能的組合——希望你們能明白，通過以不同的順序執(zhí)行步驟 1 和 2，可以得到所有這六種組合。我們稱這個群為六階群。

我說這并非巧合的原因是，我們可以用矩陣以各種方式構建這個群的某種形式 https://groupprops.subwiki.org/wiki/Linear_representation_theory_of_symmetric_group:S3 。我們可以選擇一個矩陣作為運算1，再選擇一個矩陣作為運算2，而各種矩陣乘積都與陀螺的位置一致。這就是所謂的群的表示（representation），而這種矩陣表示是理解量子力學最常用方法之一的基礎——更多信息請參見維基百科上關于泡利矩陣的頁面 https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices ！

總的來說，思考群及其表示使我們能夠理解從晶格 https://en.wikipedia.org/wiki/Molecular_symmetry 和伊斯蘭瓷磚圖案 https://archive.bridgesmathart.org/2014/bridges2014-183.pdf 到多項式方程 https://nrich.maths.org/articles/introduction-galois-theory 的解和音階 https://libres.uncg.edu/ir/asu/f/Kennedy,%20Kristie%20Spring%202015.pdf 等一切事物。

事實上，我描述的并非唯一的六階群。另一個例子是，一根時鐘指針可以指向數(shù)字 1 到 6。這根指針就具有《紐約客》雜志的性質：順時針旋轉兩格，再順時針旋轉三格，指針就會指向 6。如果先旋轉三格再旋轉兩格，結果也一樣。但這沒什么意思。

即使是最好哄的小孩，玩一會兒也會對這個游戲感到厭倦，而指尖陀螺似乎更有趣——比如，每次轉動2格，數(shù)字的順序就會從順時針變?yōu)槟鏁r針，然后再變回順時針。但實際上，S3 是具有這種“順序改變很重要”性質的最簡單的群，群更大，情況就越復雜。

重申我的假設。一：數(shù)學是自然的語言。

再想象一下另一個畫面：想象一個三維立方體，然后在兩個對角上粘上一團橡皮泥。

用坐標表示，我們可以把橡皮泥塊的位置分別寫成 000 和 111。但這同時也為我們提供了一種通信方式。如果我們把 000 和 111 看作是用二進制編寫的消息，并通過一個容易出錯的調制解調器發(fā)送，那么其中一位數(shù)字可能會翻轉。例如，如果我發(fā)送 000，而第二位數(shù)字翻轉了，那么接收方會看到 010。但 010 仍然比 111 更接近 000，所以他們很可能會合理地認為發(fā)送的消息是 000。

你可以把翻轉數(shù)字的過程想象成沿著立方體的棱走。立方體上有一些角點比 111 更接近 000，如果我們收到其中任何一個角點，我們就假定發(fā)送的是 000。這是糾錯碼（error-correcting code）最簡單也最有趣的例子。事實上，它被稱為完全碼（perfect code）：我們收到的任何消息都與 000 或 111 相差不超過一步。

但最有趣的是思考我們可以對這個立方體做什么。想象一下，交換坐標軸，同時保持兩團橡皮泥不動。我們可以做兩件事：

1. 將立方體繞著角點 000 旋轉，使每個軸都移動 1（ x 軸旋轉到y(tǒng) 軸， y 軸旋轉到z 軸， z 軸旋轉到x 軸）。

2. 保持z軸固定，并在一個平面內進行反射，使x軸和y軸互換。

我們能夠移動坐標軸，同時保持橡皮泥團塊位置不變的這些方法的集合，被稱為代碼的自同構群（automorphism group）。更有趣的是，我們在魔方上的步驟 1 和 2 與指尖陀螺上的步驟 1 和 2 完全對應，并且坐標軸的六種排列方式也完全相同。換句話說，我們的群 S3 又出現(xiàn)了！

但這只是小兒戲，是時候認真起來了。

可怕的魔怪，超級怪胎

想象一個不是三維的，而是二十三維的立方體。而且，不要在立方體上放兩團橡皮泥，而是放4096團。馬塞爾·戈萊（Marcel Golay）在1949年發(fā)表了一篇只有一頁紙的論文 https://pierre-hyvernat.apps.math.cnrs.fr/data/Enseignement/2223/info602/TP-Golay/golay_paper.pdf ，其中就闡述了一種非常巧妙的實現(xiàn)方法。（我們現(xiàn)在為什么還要浪費時間讀長篇論文呢？）

戈萊擺放橡皮泥的方法簡直妙不可言。他找到了一種方法，可以將這些橡皮泥塊均勻地分布在23維立方體上。以前，我們只要翻轉一個數(shù)字就行了，但在戈萊的構造中，你可以從4096塊橡皮泥中的任意一塊出發(fā)，走最多三步，最終到達的位置仍然比到達任何其他橡皮泥塊的位置都更接近起點。換句話說，戈萊的算法可以糾正3個錯誤——而這正是旅行者1號和2號探測器 https://www.quantamagazine.org/sphere-packing-solved-in-higher-dimensions-20160330/ 在行星飛掠中傳回照片時所使用的程序。

此外，就像我們在立方體例子中所做的那樣，我們可能收到的任何長度為 23 的消息，都距離我們的一塊橡皮泥不超過 3 步。我們對任何消息的處理方式都沒有任何歧義。再次強調，這是一個完美的編碼：在某種意義上，我們已經發(fā)現(xiàn)了如何用類似球體的東西完美地填充 23 維空間。（你可能已經注意到，4096 是 2 的冪（十二次方）。事實上，通過最多三步，你可以到達立方體的 2048 個角，而 2048 也是 2 的冪（十一次方）。十二加十一等于二十三，也就是立方體的維度數(shù)。這表明戈萊堆積在理論上是可行的，但并不能證明它在實踐中存在。）

三十年前在數(shù)學第三部分https://en.wikipedia.org/wiki/Part_III_of_the_Mathematical_Tripos 學習這些內容，真是我一生中最激動人心的智力探索之一，因為真正精彩的部分還在后面。（譯者注：Part III of the Mathematical Tripos，數(shù)學榮譽學位課程第三部分，正式名稱為數(shù)學碩士/高級研究碩士，是劍橋大學數(shù)學系開設的一門為期一年的碩士級別數(shù)學課程。 它被認為是世界上最難、最密集的數(shù)學課程。 大約三分之一的學生在完成數(shù)學榮譽學位課程第一部分、第二部分和第二部分后，選擇在劍橋大學繼續(xù)攻讀該課程，最終獲得綜合碩士學位MMath；其余三分之二的學生是校外學生，他們選擇攻讀該課程，獲得一年制碩士學位MASt。）

我曾將群的概念描述為對稱性的集合，一種交換對象順序的方法。人們自然會好奇，究竟有多少種不同的方法可以做到這一點。我們可以將每一種化合物分解成少量基本元素，也可以將每個整數(shù)分解成一系列質數(shù)（prime numbers，即素數(shù)）。

事實證明，群也具有類似的特性。所有可能的群都可以分解成所謂的單群（simple groups），數(shù)學家們可以列出所有單群的完整列表。這項工作浩大無比 https://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups ，涉及數(shù)萬頁的學術論文，并有數(shù)百位作者的參與。即使是簡化版的數(shù)學版“人類基因組計劃”，也已經出版到第十卷（最新一卷長達570頁 https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=SURV%2F40.10 ），而且絲毫沒有放緩的跡象。

但暫且不談證明過程，我可以描述一下這些作者的發(fā)現(xiàn) https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_simple_groups 。這些簡單的群大多屬于某些眾所周知的族。例如，我們可以考慮一個等價于我的時鐘群的群，只不過圓周上的點數(shù)可以是任意質數(shù)。但并非所有群都能歸入一個清晰的族：有26個奇怪的例外，即所謂的散在單群（sporadic groups）。

其中最大的是魔群（Monster group https://en.wikipedia.org/wiki/Monster_group ），它不像指尖陀螺那樣只有六種變換，而是有808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000（= 32!·10!·4!2·2·7·13·41·47·59·71 = 2??·32?·5?·7?·112·133·17·19·23·29·31·41·47·59·71 ≈ 8.08 × 10?3）種變換。這真是一個龐大的數(shù)字。

理解這些結構的研究項目吸引了大眾數(shù)學界的廣泛關注：你可以在《西蒙：我地下室里的天才》 https://www.amazon.co.uk/Simon-Genius-Basement-Alexander-Masters/dp/0385341083 、 《天才玩家-康威的好奇心靈》 https://www.amazon.co.uk/Genius-At-Play-Curious-Horton/dp/1620405938 等書中讀到部分內容。 還有馬庫斯·杜·索托伊（Marcus Du Sautoy）的《尋找月光 - 一位數(shù)學家的對稱發(fā)現(xiàn)之旅》 https://www.amazon.co.uk/Finding-Moonshine-Mathematicians-Journey-Symmetry/dp/0007214626/ 。這些都是意義深遠且精美的作品，與數(shù)學和物理學的許多領域都有聯(lián)系 https://en.wikipedia.org/wiki/Monstrous_moonshine ，無論《紐約客》怎么想，都值得人們畢生研究。

但現(xiàn)在我可以解釋為什么學習戈萊代碼讓我如此震撼。就像我們可以交換原始立方體的三個軸一樣，我們也可以問，如何在保持橡皮泥團塊位置不變的情況下，交換23維立方體的23個軸。

事實證明（我們在課堂上學習了如何證明這一點，可現(xiàn)在別讓我做了。我不如以前那么聰明了。我認為構造這個碼的證明需要用多項式定義循環(huán)碼，利用BCH定理證明 https://en.wikipedia.org/wiki/BCH_code 距離足夠大，但天知道，你最終會得到自同構群?。?，我們實現(xiàn)這一目標的方法對應于另一個散在群。

它雖然不如“魔群”那么龐大，但馬蒂厄群（Mathieu group） M23 也擁有相當可觀的 10,200,960 個移動。最初看似只是為了滿足集郵愛好者的好奇心而產生的數(shù)學奇觀，最終卻揭示了一個基本且重要對象的對稱性。

當然，在這個M23群中， a乘以b遠不等于b乘以a。但這又有什么關系呢？描述這些完美填充23維空間的點的對稱性，遠比任何人在時鐘算術這種更簡單的世界里所能做的任何事情都更美妙。事實上，正是這種結構的豐富性，使得矩陣和人工智能能夠如此出色地近似模擬我們所生活的世界，而數(shù)學正是所有這些現(xiàn)代奇跡的基石。

參考資料

https://bristoliver.substack.com/p/ai-symmetry-and-beauty

https://www.newyorker.com/magazine/2025/11/03/inside-the-data-centers-that-train-ai-and-drain-the-electrical-grid

https://groupprops.subwiki.org/wiki/Linear_representation_theory_of_symmetric_group:S3

https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices

https://en.wikipedia.org/wiki/Molecular_symmetry

https://archive.bridgesmathart.org/2014/bridges2014-183.pdf

https://nrich.maths.org/articles/introduction-galois-theory

https://libres.uncg.edu/ir/asu/f/Kennedy,%20Kristie%20Spring%202015.pdf

https://pierre-hyvernat.apps.math.cnrs.fr/data/Enseignement/2223/info602/TP-Golay/golay_paper.pdf

https://www.quantamagazine.org/sphere-packing-solved-in-higher-dimensions-20160330/

https://en.wikipedia.org/wiki/Part_III_of_the_Mathematical_Tripos

https://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups

https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=SURV%2F40.10

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_simple_groups

https://en.wikipedia.org/wiki/Monster_group

https://www.amazon.co.uk/Simon-Genius-Basement-Alexander-Masters/dp/0385341083

https://www.amazon.co.uk/Genius-At-Play-Curious-Horton/dp/1620405938

https://www.amazon.co.uk/Finding-Moonshine-Mathematicians-Journey-Symmetry/dp/0007214626/

https://en.wikipedia.org/wiki/Monstrous_moonshine

https://en.wikipedia.org/wiki/BCH_code

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