《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 003

003.如何尋找大素?cái)?shù)

如何尋找大素?cái)?shù)是一個(gè)古老的問題，最早采用的方法是埃拉托色尼篩法。該方法未借助數(shù)學(xué)公式，因而在從理論層面研究素?cái)?shù)規(guī)律時(shí)存在一定的局限性。

如今，我運(yùn)用Ltg - 空間理論來解決這個(gè)問題。

正整數(shù)可作如下分類：

單位：1

合數(shù)：4、6、8、9、10……

素?cái)?shù)：2、3、5、7、11……

素?cái)?shù)的定義為：在空間N + 1中，那些無法被素?cái)?shù)所形成的合數(shù)項(xiàng)覆蓋的位置。

請(qǐng)看下圖。

就是項(xiàng)數(shù)N 取 2、4、6、10……這些數(shù)值時(shí)，這些項(xiàng)數(shù)可以用 K(n) = 2n + 2 來表示。在這個(gè)初等函數(shù)直線方程里，存在新素?cái)?shù)以及由它們形成的合數(shù)。需注意這個(gè)特殊結(jié)構(gòu)，2 既是偶數(shù)，也是最小的素?cái)?shù)，從 2 往后，素?cái)?shù)從 3 開始就全是奇數(shù)了。

在N+A(A=1)的基礎(chǔ)空間里，有一個(gè)合數(shù)項(xiàng)公式，

Nh =a(b+1)+b

Nh、a、b都是項(xiàng)數(shù) a≥1、b≥1

我們?cè)陧?xiàng)數(shù)欄上取一個(gè)區(qū)間，（1，N], N=16

當(dāng)a=1 ，b=1 時(shí)，Nh=3

當(dāng)a=1 ，b=2 時(shí)，Nh=5

當(dāng)a=1 ，b=3 時(shí)，Nh=7

當(dāng)a=1 ，b=4 時(shí)，Nh=9

當(dāng)a=1 ，b=5 時(shí)，Nh=11

當(dāng)a=1 ，b=6 時(shí)，Nh=13

當(dāng)a=1 ，b=7 時(shí)，Nh=15

我們?cè)O(shè)定的區(qū)間，決定了Nh≤N=16

當(dāng)a=2 ，b=1 時(shí)，Nh=5

當(dāng)a=2 ，b=2 時(shí)，Nh=8

當(dāng)a=2 ，b=3 時(shí)，Nh=11

當(dāng)a=2 ，b=4 時(shí)，Nh=14

當(dāng)a=3 ，b=1 時(shí)，Nh=7

當(dāng)a=3 ，b=2 時(shí)，Nh=11

當(dāng)a=3 ，b=3 時(shí)，Nh=15

當(dāng)a=4 ，b=1 時(shí)，Nh=9

當(dāng)a=3 ，b=2 時(shí)，Nh=15

當(dāng)a=5 ，b=1 時(shí)，Nh=11

在區(qū)間（0，N]

合數(shù)項(xiàng)Nh有，3、5、7、8、9、11、13、14、15

總數(shù)量Nh′有 9個(gè)。

素?cái)?shù)項(xiàng)Ns有，1、2、4、6、10、12、16

素?cái)?shù)項(xiàng)總數(shù)量 Ns′有7個(gè)。

用公式可以這樣表示：在區(qū)間（1，16]中

素?cái)?shù)項(xiàng)總數(shù)Ns′=N-Nh′ =16-9=7 項(xiàng)。

這樣一來，我們就能夠用 PN = S 來表示每一個(gè)正整數(shù)中的素?cái)?shù)，如P1 = 2，P2 = 3，P4= 5……如此，每一個(gè)素?cái)?shù)都能與唯一的一個(gè)項(xiàng)數(shù) N 相對(duì)應(yīng)。

若用 π（Hs′）表示某一區(qū)間（0，N] 內(nèi)素?cái)?shù)的總數(shù)量，那么有 π（Hs′） = N - Nh′。

需注意，我們這里的 Nh′ 與 Nh 在概念上是有區(qū)別的，切勿混淆。

這里我們可以有一條定理：

在正整數(shù)中，沒有一般的素?cái)?shù)公式存在。

證：看公式 Ns =N-Nh 我們注意到項(xiàng)數(shù)N可以是一個(gè)f(N)=N的線性方程，

而Nh =a(b+1)+b 是一個(gè)非線性的曲面方程，二者不在一個(gè)維度空間里，所以形不成Ns的一般初等函數(shù)的方程。

證畢。

這一般人很難理解。道理就如同不同空間里的方程組，好比曲線與直線，它們永遠(yuǎn)不會(huì)相交，只會(huì)無限趨近，所謂的相交不過是投影的重疊而已。這確實(shí)太難了，理解不了就算了。

基本內(nèi)容都已講解完畢，最后我們來講講如何尋找大素?cái)?shù)，以及判斷一個(gè)大數(shù)究竟是素?cái)?shù)還是合數(shù)。

借助大型計(jì)算機(jī)，運(yùn)用公式 Nh = a(b + 1) + b （其中 Nh、a、b 均為項(xiàng)數(shù)，且 a ≥ 1、b ≥ 1 ），能夠得出計(jì)算機(jī)可能容納的最大合數(shù)項(xiàng)數(shù) Nh，而那些未被涵蓋的數(shù)便都是素?cái)?shù)項(xiàng)。

若遇到一個(gè)大數(shù)，將其減 1 就得到它的項(xiàng)數(shù)，輸入該項(xiàng)數(shù)即可知曉這個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)還是合數(shù)，操作十分簡便。不過，人工計(jì)算難度較大，好在數(shù)學(xué)領(lǐng)域還有三角函數(shù)表以及對(duì)數(shù)表可供參考。

在 N + 1 空間里，制作與項(xiàng)數(shù) N 相對(duì)應(yīng)的素?cái)?shù)表格也并非不可行。

我所采用的這種方法與埃拉托色尼的篩法最大的不同之處在于，引入了“正整數(shù)空間概念”和“合數(shù)項(xiàng)公式”。

李鐵鋼2025年10月26日星期日