反套路幾何最值

2025年浙江省中考數(shù)學第24題

幾何最值問題從我們學習基本的幾何概念時就已經(jīng)存在了，例如在比較線段長短、角度大小時，新人教版七年級上冊學習了線段基本事實：兩點之間，線段最短，下冊又新添了垂線段最短，以及由此推導出更多的關于幾何最值的結論，而在九年級我們學習了二次函數(shù)之后，又多了一樣函數(shù)工具來求幾何最值，在實際解題過程中，圍繞上述工具及其衍生出的各種最值模型，也是各地中考命題常用的素材，所以各種解題套路層出不窮，若僅僅只是機械訓練，而不去深入理解這些最值問題，一旦遇到反套路命題，便只好望題興嘆。

題目

解析：

01

(1)菱形對角線互相垂直平分，可得AC⊥BD且點O為對角線中點，如下圖：

在Rt△AOB中，OA=4，AB=5，可求得OB=4，所以sin∠BAC=3/5；

02

(2)①當EF⊥AC時，考慮到BD⊥AC，因此BD∥EF，如下圖：

由BD∥EF可得∠BEF=∠EBD，由軸對稱可得∠BED=∠BEF，于是∠EBD=∠BED，得到了等腰△EBD，所以BD=ED=6，最后AE=AD+ED=11；

②思路嘗試一：線段差的最值最容易聯(lián)想到的是三角形兩邊之差小于第三邊，而圖中恰好存在△PAB，可知PA-PB

截取PG=PB，連接BG，現(xiàn)在PA-PB=AG，而AG=OA-OG=4-OG，若要讓AG取最小值，則OG必須取最大值，其關聯(lián)的線段OG在Rt△BOG中，但我們僅已知OB=3，至此我們通過嘗試，得到一種可以將最小值轉化為最大值的方法，同時在Rt△BOG中，OG的長度可通過三角函數(shù)與∠OBG產(chǎn)生關聯(lián)，這又是新的思路；

思路嘗試二：雖然未能完全走通，但這輪嘗試，為我們繼續(xù)探究最值問題提供了方向；

由PA-PB=OA+OP-PB=4+OP-PB，其中OP與PB位于Rt△BOP中，若設PB=x，則OP2=x2-9，意味著我們可以用含x的代數(shù)式分別表示OP和PB，從而將幾何問題代數(shù)化，PA-PB=4+√(x2-9)-x，至此遇到本題難點，若將其看作關于x的函數(shù)，它并不屬于初中階段的二次函數(shù)，所以通常情況下的函數(shù)最值模型并不適用，一般來講，走到此處的學生，面臨的是一條“死胡同”；

死路變活：

當x減小時，分母值變小，從而分數(shù)值增大，導致PA-PB值減小，于是我們得到了PA-PB與x間的關聯(lián)，當x取最小值時，PA-PB也取最小值；

那么x(即PB)何時取最小值呢？

若將線段PB看作點B到直線AC上的點的某條連線，理應得到當點P與點O重合時，取最小值x=3，事實果真如何？如下圖：

我們作點P關于BE的對稱點P'，并連接BP'，由軸對稱可知，點P'始終在射線AE上，不可能與點O重合，因此前面所說的“當點P與點O重合時”事實上不成立；

由于PB=P'B，點P'在定射線AE上，點B為定點，此時可利用垂線段最短，當P'B⊥AE時，取最小值，如下圖：

此時P'B看作菱形的高，利用面積法，先求菱形面積為24，再求出P'B=24/5，即當x=24/5時，PA-PB取最小值

最后，我們成功找到了PA-PB的最小值.

解題思考

繼續(xù)前面探究出來的另一條新思路，通過三角函數(shù)行不行？

對于Rt△BOG，∠OBG的大小并不是隨點E變化而單調變化，這從我們觀察點P'的射線AE上運動時，P'B長度的變化情況可知，即使換到另一個Rt△BOP，情況依然沒有發(fā)生改變，關聯(lián)的角隨點E遠離點D，會出現(xiàn)變大、變小兩種不同的趨勢，當然，利用高中的三角函數(shù)公式可進一步化簡，顯然超出范圍了.

即使在我們探究成功的這條思路上，分子有理化仍然不在新課標范圍內，雖然勉強可以用初中知識求解，但對于學生來講，常規(guī)常法不容易想到，多數(shù)學生在面對含根號的代數(shù)式時，放棄了進一步思考，對于能成功走到這一步的學生而言，已經(jīng)達到初中范圍內思維的極限了.

這道題在反套路上，的確做到了完美回避，常見的最值模型基本上都會遇到障礙，限于本人解題思維能力，暫時未能從更多角度探索解法，尤其是從純幾何角度，或許本題存在這樣的引導，即用函數(shù)最值來解決.