從LEO運(yùn)力換算SSO運(yùn)力

問題

解析模型

一次加速模型1——近地點(diǎn)加速模型

二次加速模型1——霍曼變軌模型

二次加速模型2——有限時(shí)長變軌模型

總結(jié)

01

問題

知道LEO運(yùn)力，SSO運(yùn)力大約為多少？我們經(jīng)常會(huì)碰到這種問題，標(biāo)準(zhǔn)答案是不知道，每種火箭不一樣。譬如CZ-2C，LEO運(yùn)力是4t，700kmSSO為1.3t，而加了遠(yuǎn)程上面級(jí)可達(dá)到2.5t，不同火箭不一樣，沒有標(biāo)準(zhǔn)換算方法。

除了彈道計(jì)算，能否通過半定量分析得到？高軌運(yùn)力如何優(yōu)化？本文對(duì)此進(jìn)行了研究。

02

解析模型

設(shè)火箭LEO運(yùn)力為m，為了發(fā)射其它軌道，假設(shè)先發(fā)射到LEO，然后變軌到對(duì)應(yīng)軌道，最終軌道運(yùn)載能力為λm。那么發(fā)射到LEO時(shí)的重量仍然為m，此時(shí)剩余推進(jìn)劑量為m-λm，不考慮蒸發(fā)、預(yù)冷、排放、沉底等損失時(shí)，剩余推進(jìn)劑就是用于變軌的推進(jìn)劑（假設(shè)變軌在短時(shí)間完成，無重力損失）。

設(shè)火箭末級(jí)結(jié)構(gòu)質(zhì)量為M0，比沖為Isp，則

令 得到

因此知道末級(jí)結(jié)構(gòu)干重，就可以折算出新軌道運(yùn)力。

當(dāng)然，這個(gè)公式有成立的前提：

推進(jìn)劑足夠多，否則不足以產(chǎn)生足夠的速度增量。如CZ-2CSMA，它的固體末級(jí)只裝了120kg推進(jìn)劑，考慮末級(jí)自身840kg的干重，以及600kmSSO能力為1.9t，只能提供2814*log(2.86/2.74)=120m/s的速度增量，恰好提供200x600km橢圓軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)112m/s的變軌速度，如果大于這個(gè)速度增量，公式就已經(jīng)不再適用了。

如果涉及二次變軌，第二次變軌的工作時(shí)間可調(diào)才可使用此公式，否則如采用固體推進(jìn)劑，或固定二次工作時(shí)間，則無法很好匹配兩次速度增量，造成運(yùn)力損失。

圖 運(yùn)力換算系數(shù)與末級(jí)結(jié)構(gòu)衛(wèi)星質(zhì)量比等關(guān)系圖

從公式可以看出：

1）ν更小，即速度增量更小或發(fā)動(dòng)機(jī)比沖更大，換算系數(shù)更大；

2）末級(jí)結(jié)構(gòu)干重與衛(wèi)星重量比ξ更小，換算系數(shù)更大；

3）當(dāng)ξ為0時(shí)，折算系數(shù)取最大值(1-ν)/(1+ν)。

如果查不到其它火箭的結(jié)構(gòu)末級(jí)干重，可以通過一些經(jīng)驗(yàn)參數(shù)組合進(jìn)行估計(jì)。設(shè)火箭基礎(chǔ)級(jí)質(zhì)量為M1，末級(jí)濕重為M，結(jié)構(gòu)系數(shù)為η，假設(shè)M1/M=k，火箭運(yùn)載效率為ε。則

可以求得

這些參數(shù)有經(jīng)驗(yàn)值，如一般η在0.03-0.15之間，ε在0.02到0.04之間，對(duì)于二級(jí)火箭k在3到5之間，對(duì)于三級(jí)火箭k在10到100之間。因此可以估計(jì)得到ξ。

由于ξ更小，換算系數(shù)更大，因此結(jié)構(gòu)系數(shù)η更小，或者末級(jí)質(zhì)量比k或運(yùn)載系數(shù)ε更大，折算系數(shù)更大。

此處取一個(gè)基本工況：η=0.1，ε=0.02，k=4，可以計(jì)算得到ξ=1。在Isp=3000，dv=600時(shí)，λ=0.6411。在基本工況附近對(duì)η、ε、k、Isp和dv進(jìn)行遍歷，可以得到運(yùn)力折算曲線見下圖。

圖 不同參數(shù)組合下運(yùn)力折算系數(shù)曲線

03

一次加速模型1

——近地點(diǎn)加速模型

拿幾個(gè)型號(hào)進(jìn)行驗(yàn)證。獵鷹9號(hào)的LEO運(yùn)力為22.8t，GTO運(yùn)力為8.3t，MTI運(yùn)力為4.02t。

對(duì)于橢圓軌道，近地點(diǎn)速度公式為 。對(duì)于GTO軌道，帶入可以計(jì)算出185x36000km橢圓軌道近地點(diǎn)速度為10256m/s，相對(duì)于185km圓軌道的7793m/s，增量為2462m/s，MTI計(jì)算復(fù)雜一些，大約為4000m/s。

因此獵鷹9的ε為22.8/545=0.0418，k大約為4，它的二級(jí)結(jié)構(gòu)很輕，結(jié)構(gòu)系數(shù)為0.04，從而ξ=0.19。發(fā)動(dòng)機(jī)比沖為3413m/s，可計(jì)算出GTO和MTI折算運(yùn)力為8.94t和4.18t，與8.3t和4.02t接近，誤差7.7%和4.0%。

繼續(xù)使用這個(gè)公式。在《世界航天運(yùn)載器大全》中，有CZ-4C不同軌道高度的運(yùn)力信息。

圖 CZ-4C運(yùn)載能力曲線

從圖中可以查出近地點(diǎn)分別為300km、500km和800km處的運(yùn)力，計(jì)算出不同橢圓軌道處的速度增量，再利用大全里給出的末級(jí)質(zhì)量為1.83t，從發(fā)動(dòng)機(jī)比沖Isp=2971m/s可以換算得到運(yùn)力見下表。

表 CZ-4C不同遠(yuǎn)地點(diǎn)高度運(yùn)力換算

近地點(diǎn)高度300km

遠(yuǎn)地點(diǎn)高度(km)

運(yùn)力(t)

速度增量(m/s)

換算運(yùn)力(t)

誤差

1000

3.45

2000

3.02

234

3.04

0%

3000

2.67

434

2.72

1%

4000

2.40

607

2.46

2%

5000

757

2.24

近地點(diǎn)高度500km

遠(yuǎn)地點(diǎn)高度(km)

運(yùn)力(t)

速度增量(m/s)

換算運(yùn)力(t)

誤差

1000

3.18

2000

2.80

233

2.80

0%

3000

2.49

432

2.49

0%

4000

2.24

604

2.24

0%

5000

2.03

754

2.04

0%

近地點(diǎn)高度800km

遠(yuǎn)地點(diǎn)高度(km)

運(yùn)力(t)

速度增量(m/s)

換算運(yùn)力(t)

誤差

1000

2.84

2000

2.54

231

2.49

3000

2.28

429

2.20

4000

2.05

600

1.97

5000

1.84

749

1.78

04

一次加速模型2

——初速度補(bǔ)償模型

同樣高度軌道，LEO和SSO的換算呢？CZ-2C用戶手冊(cè)給出了在酒泉發(fā)射中心運(yùn)力如下。

圖 CZ-2C運(yùn)力曲線

表 CZ-2C不同軌道高度和傾角下運(yùn)力(讀圖獲得)

軌道高度(km)

200

300

400

SSO運(yùn)力(t)

2.61

2.28

1.88

50°傾角運(yùn)力

3.62

3.25

2.83

63°傾角運(yùn)力

3.37

3.00

2.59

86°傾角運(yùn)力

2.88

2.52

2.10

地球赤道自轉(zhuǎn)速度6378e3*2*pi/24/3600=464m/s，200、300和400kmSSO軌道的軌道傾角分別為96.32°，96.67°和97.03°，則對(duì)不同傾角，如50°傾角軌道，需要的速度增量分別464*cosd(50)-464*cosd([96.3296.6797.03])=[349.3352.1355.0]。

注：火箭在不同發(fā)射場，射向公式為sin(μ)=cos(i)/cos(φ)，其中i為軌道傾角，φ為發(fā)射場緯度，因此地球自轉(zhuǎn)提供角速度為dv=464*cos(φ)*sin(μ)=464*cos(i)僅與軌道傾角有關(guān)，而與發(fā)射場無關(guān)。

假定這個(gè)速度增量完全由末級(jí)提供，則采用之前計(jì)算公式就可以進(jìn)行計(jì)算。這里CZ-2C游機(jī)比沖為2834m/s，二級(jí)重量按5t計(jì)算。

表 CZ-2C不同傾角下運(yùn)力到SSO換算

50°傾角

軌道高度(km)

200

300

400

運(yùn)力(t)

3.62

3.25

2.83

速度增量(m/s)

換算SSO運(yùn)力(t)

2.62

2.28

1.91

誤差

0.10%

0.27%

1.18%

63°傾角

軌道高度(km)

200

300

400

運(yùn)力(t)

3.37

3.00

2.59

速度增量(m/s)

換算SSO運(yùn)力(t)

2.63

2.29

1.91

誤差

0.53%

0.31%

1.15%

86°傾角

軌道高度(km)

200

300

400

運(yùn)力(t)

2.88

2.52

2.10

速度增量(m/s)

換算SSO運(yùn)力(t)

2.65

2.29

1.88

誤差

1.46%

0.64%

-0.05%

05

二次加速模型1

——霍曼變軌模型

上述軌道，只需要使用末級(jí)直接加速即可，如果需要變軌到更大直徑圓軌道，將需要末級(jí)二次加速。考慮霍曼變軌中間軌道（圖中紅色），近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)速度分別為

圖 霍曼變軌

如土星5的運(yùn)載能力：卡納維拉爾角發(fā)射場發(fā)射，軌道傾角28.5°，185km圓軌道的有效載荷運(yùn)載能力為120t，地球同步轉(zhuǎn)移軌道為60t，地球同步軌道為30t。土星5號(hào)三子級(jí)S-IVB干重為11.5t，比沖為4217m/s。計(jì)算兩次變軌需要速度增量見下表所示。

表 霍曼變軌速度增量

近地點(diǎn)

遠(yuǎn)地點(diǎn)

速度增量

高度(km)

185

近地點(diǎn)圓速度(m/s)

橢圓軌道速度(m/s)

2462.49(GTO)

遠(yuǎn)地點(diǎn)圓速度(m/s)

變傾角速度增量(m/s)

總速度增量

4723.02(GEO)

其中，由于卡角緯度為28.5°，進(jìn)入GEO軌道需改變軌道傾角，改變軌道傾角所需的速度增量與軌道速度成正比：

由于大橢圓中間軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)速度最小，為1588m/s，在此處改變傾角效率最高，所需速度增量為2*1588*sin(28.5/2)=782m/s。

利用上述信息，從LEO運(yùn)力可以換算出GTO和GEO運(yùn)力分別為61.8t和31.4t，誤差3%和5%。

06

二次加速模型2

——有限時(shí)長變軌模型

從CZ-4C運(yùn)力圖上可以查出太陽同步軌道運(yùn)力見下表，從400km高度運(yùn)力計(jì)算其它運(yùn)力。從計(jì)算結(jié)果看，隨著軌道高度增加，誤差越來越大。

表 400km軌道處變軌換算速度增量

軌道高度(km)

運(yùn)力(t)

變軌速度增量(m/s)

換算運(yùn)力(t)

誤差

400

3.48

600

3.11

3.29

6%

800

2.79

3.11

11%

1000

2.52

2.94

17%

1200

2.29

2.79

22%

1400

2.08

2.64

27%

1600

1.90

2.51

32%

針對(duì)這個(gè)差異，可以直接排除發(fā)動(dòng)機(jī)比沖因素，首先懷疑是末級(jí)質(zhì)量不準(zhǔn)，譬如末級(jí)會(huì)預(yù)留防旋防塌量、晃動(dòng)量、安全余量，以及滑行段沉底等，實(shí)際使用的末級(jí)質(zhì)量比結(jié)構(gòu)質(zhì)量要略大一些。但簡單計(jì)算發(fā)現(xiàn)，末級(jí)重量增加10%，折算運(yùn)力影響不大，除非增大到5t，換算運(yùn)力與實(shí)際才接近，但一個(gè)16t的起飛重量，最后留下5t的死重，假設(shè)基本不合理，計(jì)算表格很簡單，這里就不貼出了。

排除起飛重量因素，還剩下速度增量，對(duì)于GTO軌道和MTI軌道，可以從低軌直接加速，對(duì)于土星5號(hào)，三子級(jí)滑行時(shí)間可長達(dá)6h，對(duì)于地球附近圓軌道可以采用霍曼變軌。但有些火箭無法滑行這么長時(shí)間，只能在到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)之前切進(jìn)大圓。

如下圖所示，從r1圓軌道變軌到r2圓軌道，最省能量的路徑為圖中紅色軌道，但此軌道耗時(shí)較長，如一般近地軌道衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一圈90min，則變軌需要45min，約合2700s，滑行時(shí)間較長，給測控、熱控、能源、推進(jìn)劑管理帶來較大困難。

圖 加速變軌和切入變軌圖

一種方式是走圖中藍(lán)色軌道，即開始加速更大，抬高遠(yuǎn)地點(diǎn)，這樣，軌道可以提前與r2相交（圖中藍(lán)色五角星），在交點(diǎn)變軌到r2軌道，以損失能量的方式來減小滑行時(shí)間。

將CZ-4C從400km圓軌道按藍(lán)色變軌方式變到600km，在不同滑行時(shí)間下?lián)Q算運(yùn)力見下表。

表 CZ-4C按藍(lán)色軌道變軌換算運(yùn)力(400km->600km)

滑行時(shí)間(s)

變軌需要速度增量(m/s)

換算運(yùn)力(t)

誤差

2838

3.29

6%

2000

3.16

16%

1000

2.57

-17%

550

1.46

-53%

CZ-4C真實(shí)滑行時(shí)間約550s，此時(shí)換算軌道運(yùn)力遠(yuǎn)小于實(shí)際運(yùn)力，因?yàn)檫@種變軌方式不是最優(yōu)的。

最優(yōu)軌道如圖中綠色所示軌道，它并不和r1軌道相切，而是直接掠過此軌道往更高軌走，這時(shí)候主動(dòng)段軌道的近地點(diǎn)可以為負(fù)值，從而節(jié)約了能量。與相切變軌相比，掠過變軌的速度增量很難通過半定量計(jì)算，這里僅給出一條變軌圖見下。

圖 掠過變軌圖

07

總結(jié)

至此，我們可以完成文中開頭提出的命題，怎么從LEO運(yùn)力換算SSO運(yùn)力，總結(jié)換算方法如下。換算公式為：

， 其 中

這里λ為運(yùn)力折算系數(shù)，ν=exp(dv/Isp)-1，ξ為末級(jí)干重與衛(wèi)星重量之比，η為末級(jí)結(jié)構(gòu)系數(shù)，ε為運(yùn)載效率，k為基礎(chǔ)級(jí)與末級(jí)起飛重量之比。

LEO換算SSO軌道，需要速度增量dv由兩個(gè)部分疊加得到：

1）地球自轉(zhuǎn)提供的速度增量，這個(gè)增量與兩個(gè)軌道傾角相關(guān)，如從19.6°傾角的LEO換算97°傾角的SSO，需要的速度增量為6378e3*2*pi/24/3600*[cosd(19.6)-cosd(97)]=354.7m/s；

2）從低軌到高軌需要的速度增量，最低需求為霍曼變軌的速度增量，如從200km到500km、700km、1100km分別為172m/s,280m/s,483m/s；

3）上述公式要求滑行段達(dá)到霍曼變軌所需時(shí)間，火箭實(shí)際飛行時(shí)，受滑行時(shí)間限制，在變軌時(shí)無法采用霍曼變軌，只能加速更快地掠過軌道，速度增量需求進(jìn)一步增加，這部分暫未找到半定量計(jì)算方法，只能通過彈道計(jì)算分析得到。

從上述過程，可以得到高軌運(yùn)力優(yōu)化的方向：

1）結(jié)構(gòu)系數(shù)η更小，折算系數(shù)更大；

2）運(yùn)載效率ε更大，折算系數(shù)更大；

3）末級(jí)重量k占比更小，折算系數(shù)更大；

4）末級(jí)比沖Isp更大，折算系數(shù)更大；

5）滑行段時(shí)間更大(直至達(dá)到霍曼變軌時(shí)間)，折算系數(shù)更大。

>End

本文轉(zhuǎn)載自“理念世界的影子”，原標(biāo)題《洞穴之外|怎樣從LEO運(yùn)力換算SSO運(yùn)力？》。

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