2019年，被科幻迷奉為經(jīng)典的宇宙終極答案“42”，終于迎來了它的立方和方程解，即方程x3+y3+z3=42的解。當(dāng)時數(shù)學(xué)家利用了全世界50萬臺計算機并行運算了幾個月終于找到了答案，后來他們投入到了3的第三組解上。如今，新的答案也已出現(xiàn)。但這就是數(shù)學(xué)游戲嗎？近2000年前古希臘數(shù)學(xué)家提出的問題，今天我們的數(shù)學(xué)家在為之努力什么呢？

撰文| 張和持

離 告破僅一年多，數(shù)學(xué)家們又在前些日子找到了 新的一組整數(shù)解。后者的前兩個解頗為簡單：

但數(shù)十年來，第三組解遲遲沒有被找到。其實我們并不是那么關(guān)心這個解究竟是多少。如果單單看這個等式，我們除了感受它的壯麗以外，并不能比沒有計算機的古希臘人理解得更多（公式左滑顯示）：

我可以斷言，這個式子目前對數(shù)論學(xué)家而言幾乎沒有意義。我們能得出結(jié)果，只是因為算法效率變高了，計算機性能比50年前更強了，甚至對于解的估計也取得了進(jìn)展。但這仍然是一個孤立問題，就算求出了一個解，也不會為下一個解提供任何線索，更難以幫助我們站在更高的角度理解這個問題。不光是 ，數(shù)論學(xué)家們研究的大多數(shù)方程看起來都沒有意義。這不禁讓我們產(chǎn)生疑問，這樣的代數(shù)方程看起來沒有任何特殊之處，為什么我們偏要去求它們的整數(shù)解呢？

關(guān)于算法的技術(shù)細(xì)節(jié)想必沒多少人會關(guān)心。我只想通過這篇文章給各位讀者一個初步的印象——數(shù)論不是復(fù)雜技巧，也不是冗長計算；我們在數(shù)論中尋找的是最深刻的數(shù)學(xué)關(guān)系。

亞歷山大港的溫暖夏夜

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從古希臘時代人們就開始研究方程。比如最為有名的直角三角形：

小學(xué)生也能找到幾組整數(shù)解：(3, 4, 5), (5, 12, 13)。這樣由整系數(shù)多項式組成的方程，從那時候起就是代數(shù)研究的中心。它們有的來源于幾何，也有不少純粹是出于人類的好奇心。其中做出奠基性貢獻(xiàn)的，當(dāng)屬羅馬時代生活在亞歷山大港的希臘數(shù)學(xué)家，丟番圖（Diophantus of Alexandria）。為了紀(jì)念他，我們稱這些方程為丟番圖方程。關(guān)于丟番圖，或許讀者們還記得他的墓志銘曾出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)題中：

墳中安葬著丟番圖。 多么令人驚訝，它忠實地記錄了所經(jīng)歷的道路。 上帝給予的童年占六分之一， 又過十二分之一，兩頰長胡， 再過七分之一，點燃起結(jié)婚的蠟燭。 五年之后天賜貴子， 可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進(jìn)入冰冷的墓。 悲傷只有用數(shù)論（即算數(shù)，這兩者在古代是同一個詞）的研究去彌補， 又過四年，他也走完了人生的旅途。

不過除此之外，我們對他的生平知之甚少，其流傳下來的作品只有一套《算數(shù)》（Arithmetica，大部分已遺失）。在這本書中，丟番圖將他的重點放在了尋找方程的整數(shù)解和有理解。這對于今天有許多強力工具的我們并不是什么大問題——方程的解就是一個圖形上所有的點。比如 就是一條直線， 就是一條拋物線。但古人的數(shù)學(xué)世界并不是 ，而是 。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“萬物皆數(shù)”，但這些數(shù)可不是實數(shù)，而是有理數(shù)。也就是說，他們認(rèn)為世間萬物都是由整數(shù)和它們的商表示的。據(jù)說希帕索斯（Hippasus）因為發(fā)現(xiàn) 而被老師畢達(dá)哥拉斯下令處決。不過如果我們站在古希臘人的視角，他們到底是怎么想的呢？

丟番圖

我們可以合理地猜測，當(dāng)古希臘人發(fā)現(xiàn)，直角邊為 的等腰三角形，其斜邊不能用有理數(shù)表示時，他們首先并不是想："啊，這不是有理數(shù)。"而是，"啊，這不是數(shù)！"相似的類比是 。要是沒有完備的復(fù)數(shù)理論，人們當(dāng)然只能認(rèn)為復(fù)數(shù)是“幽靈”；同樣，沒有極限以及實數(shù)理論，古人也無法想象無窮不循環(huán)小數(shù)是什么。自然，畢達(dá)哥拉斯會覺得“萬物皆數(shù)”出現(xiàn)了漏洞。

這樣就不難理解為什么古人對整數(shù)和有理數(shù)如此癡迷。他們沒有笛卡爾坐標(biāo)系，也就沒有解析幾何（當(dāng)然，我不是指 上的幾何）。歐幾里得輝煌的學(xué)問無法與代數(shù)方程建立聯(lián)系，只能借助巧妙的方法艱難前進(jìn)。

比如要解 ，我們能想到去找 是 的倍數(shù)的情況，古人當(dāng)然也能想到。而剩下的工作就是挨著去檢驗?zāi)? 剩余類下的 種可能性（ 各有 種可能性），最后發(fā)現(xiàn)整數(shù)解是不存在的。但是只要把問題稍微變一下，比如說解 ，上面的方法就無能為力了；非但如此，今天的算術(shù)幾何學(xué)家們也對這個方程毫無頭緒。古人就更迷惑了——即使解出再多方程，也仍然不能保證下一個方程還會解。

但同時，方程也像是永遠(yuǎn)無法窮竭的寶庫擺在面前，令人神往。

還得靠業(yè)余數(shù)學(xué)家

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古希臘、古羅馬的數(shù)學(xué)隨著古老帝國的衰落而逐漸被人遺忘，丟番圖的作品要沉寂到千年以后，才能等到被另一位對數(shù)論情有獨鐘的數(shù)學(xué)家發(fā)揚光大。16世紀(jì)開始，《算數(shù)》才被逐漸翻譯為拉丁文。其中最有名的一個版本，是1621年由巴切特翻譯出版的：這本書曾經(jīng)被皮埃爾·費馬擺在案頭。

被稱為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的費馬可能比大多“專業(yè)數(shù)學(xué)家”都要強，其對概率論、微積分、解析幾何等分支都做出過開拓性貢獻(xiàn)。不過他心中的最愛還是被稱為數(shù)學(xué)的王冠——數(shù)論。在費馬生活的年代，數(shù)學(xué)并沒有什么實際用途，而他純粹把這當(dāng)玩具：或許就如同今天我們玩數(shù)獨一樣。每當(dāng)有所發(fā)現(xiàn)，他就會寫在《算數(shù)》的頁邊上。費馬的很多注釋后來都演變成了重要的研究方向，其中最富盛名的當(dāng)屬所謂的費馬大定理：

當(dāng)整數(shù) 時，關(guān)于 的不定方程 沒有正整數(shù)解。

他繼續(xù)寫道：關(guān)于這個問題，我確信我發(fā)現(xiàn)了一種絕妙的證法，可惜這里的空白處太小，寫不下了。今天只流傳下來費馬對于 情況的證明，不過現(xiàn)代觀點普遍認(rèn)為他當(dāng)時不可能證明得了這個定理：300年后由安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）找到的證明所用到的方法遠(yuǎn)非費馬時代可以想象。

費馬的工作正式宣布，近代意義上的數(shù)論研究開始了。不過這些與現(xiàn)實沒有任何關(guān)系的數(shù)學(xué)并沒有發(fā)展動力——數(shù)學(xué)最忌諱的就是孤立的問題。無窮小分析可以憑借直觀的函數(shù)圖像與物理直覺；代數(shù)的抽象結(jié)構(gòu)來自于數(shù)與多項式的自然結(jié)構(gòu)?？墒窃缙诘臄?shù)論卻不能找到更深刻的關(guān)系。難怪高斯會這樣評論費馬的問題：

我承認(rèn)我對費馬的定理沒什么興趣，這是個孤立的命題，像這樣沒人能證明也不能證偽的命題我隨手就能寫下一大串。

站在高斯的角度，他說的確實沒什么毛病。費馬大定理或者別的任何丟番圖方程可解，或者不可解，對其他的數(shù)學(xué)分支貌似產(chǎn)生不了什么影響。不過從高斯至今，我們對于數(shù)論的認(rèn)識已經(jīng)發(fā)生了翻天覆地的變化。數(shù)論的影響已經(jīng)超出了“算數(shù)游戲”的范疇哦，成為了現(xiàn)代數(shù)學(xué)賴以生存的源泉。

下金蛋的雞

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據(jù)說曾有人問希爾伯特，為什么不去證明費馬大定理。這位大數(shù)學(xué)家回答道：我可不想殺了這只生金蛋的母雞。這句話足以證明費馬的無用之學(xué)對于數(shù)學(xué)有多么巨大的影響。讀者肯定會有疑問，明明這篇文章是想解釋整數(shù)解的意義，為什么要談那么多費馬大定理？我們可以用希爾伯特的話來回答：

數(shù)學(xué)的藝術(shù)在于找到一個特例，其中隱含了所有推廣的胚芽。

在挑戰(zhàn)費馬大定理（或者費馬猜想）的過程中，人們發(fā)現(xiàn)了理想之于環(huán)論的中心地位，注意到虧格與有理點數(shù)量之間的神奇關(guān)系，還建立了模形式與橢圓曲線之間美妙聯(lián)系。其任何一項成果，都比代數(shù)方程有沒有解這個問題本身重要的多。算術(shù)幾何整個學(xué)科都得感謝費馬在幾百年前興趣使然開始的研究。這樣我們就很難不去懷疑：這才僅僅是一個方程，如果我們能破解所有方程中隱藏的秘密，那豈不是能讓整個代數(shù)的冰山浮出水面？（費馬大定理只研究正解，所以嚴(yán)格來說不算丟番圖方程；后來也發(fā)現(xiàn)其存在諸多特殊之處，而大量丟番圖方程的重要性至今仍然未知）

夢 碎

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希爾伯特是一位偉大的夢想家，他樂觀期待著數(shù)學(xué)的發(fā)展。在1900年的巴黎會議上，他提出了那著名的23個問題，其中第十個，便是關(guān)于丟番圖方程的：

任給一個丟番圖方程，是否存在一個通用的算法可以判斷其是否有整數(shù)解？

希爾伯特內(nèi)心深處一定堅信這樣的算法是存在的。1930年，他作為當(dāng)時最偉大的數(shù)學(xué)家，在故鄉(xiāng)柯尼斯堡接受了采訪。訪談的最后，他鏗鏘有力地道出了最理想主義的口號：

我們必須知道，我們必將知道。（Wir müssen wissen，wir werden wissen）

他不僅認(rèn)為丟番圖方程全都能解，他還進(jìn)一步猜想任何數(shù)學(xué)命題都是能被人類證明的。如同他的傳記中寫的那樣，希爾伯特就像是數(shù)學(xué)界的亞歷山大大帝，滿懷著夢想，要征服到世界的盡頭?？刹胚^了一年，這個預(yù)言就被天才數(shù)學(xué)家哥德爾（Kurt G?del）證明是錯的：公理體系的完備性是未知的，相容性也是未知的。不是數(shù)學(xué)方法不夠巧妙 ，也不是數(shù)學(xué)家不夠努力，而是數(shù)學(xué)本身的鴻溝隔絕了邏輯。人們逐漸開始懷疑，丟番圖方程也沒有萬能的解法，從而開始尋找算法不存在的證據(jù)。

希爾伯特到了晚年，也不忍離開納粹統(tǒng)治下的祖國。法西斯主義者清除了大學(xué)中的猶太人及其親屬。無數(shù)學(xué)者不堪忍受瘋狂的民族主義而選擇背井離鄉(xiāng)，其中就包括了與希爾伯特亦師亦友的外爾、柯朗等人。哥廷根不再是那個全世界學(xué)者憧憬的圣地，“哥廷根之外無生活”的豪言也仿佛隔世。希爾伯特在孤獨中離開了人世，在他去世后的幾年里，數(shù)學(xué)家們開始轉(zhuǎn)向研究丟番圖方程的不可解性。不過這項工作極其復(fù)雜，直到幾十年后的1970年，希爾伯特第十問才得以宣告不可解。此時希爾伯特的故鄉(xiāng)柯尼斯堡已經(jīng)從地圖上消失，原本的城市成為了蘇聯(lián)領(lǐng)土加里寧格勒；與地圖的變化同時到來的，還有新的時代，新的技術(shù)，以及新的數(shù)學(xué)。

新的時代

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非專業(yè)人士可能會問，為什么數(shù)學(xué)家們總是固執(zhí)于黎曼猜想或者是哥德巴赫猜想？它們完全有可能是錯的，那到時候所有的努力不就白費了嗎？當(dāng)然，除了“下金蛋”這樣的理由之外，數(shù)學(xué)家們還有別的理由選擇相信一條猜想為真，那就是實驗。你可以這樣認(rèn)為：數(shù)學(xué)的實驗就是計算；而理論則是證明。黎曼本人就曾提出過非常巧妙的方法來計算 函數(shù)的零點。

自計算機問世以來，通過計算來驗證猜想的嘗試就一直沒有停止過。一方面，如果能找到任何一個反例，就能終結(jié)漫長的證明之路；另一方面，在沒有任何證明思路的情況下，驗證有限個數(shù)的情形似乎是數(shù)學(xué)家僅有的選擇。近幾十年來，驗證黎曼猜想的算法已經(jīng)相當(dāng)先進(jìn)，例如 ZetaGrid 計劃，其使用分布式算法，一天可以檢驗十億個零點。直到2005年計劃終止，他們都沒有找到任何一個反例。

同黎曼猜想一樣， 是否一定有整數(shù)解這個問題，數(shù)學(xué)家們目前仍毫無頭緒。用龐大的計算機群去搜尋某個特定 對應(yīng)的解也實屬無奈之舉，但這在希爾伯特的年代是無法想象的。就連歐拉這種不嫌麻煩能口算五十位小數(shù)的人，都曾提出過不成立的猜想。例如他曾猜測費馬大定理的推廣： 在 時沒有正整數(shù)解。直到1986年，人們才找到了這么一個式子：

計算機的存在顯然能大大減少數(shù)學(xué)家的無用功。

此次找到 的新解，顯然大大增強了數(shù)學(xué)家們的信心。這個問題如此困難，即便使用最為先進(jìn)的算法，也得將計算任務(wù)分配給超過 萬臺電腦，其中每臺需要運行 小時！不過相比窮舉法以及早先的計算方法而言，新算法還是快了不少。根據(jù)數(shù)學(xué)家 Roger Heath-Brown 早先的工作，我們其實可以簡化原方程，減少獨立變量（還進(jìn)一步猜想，若 ，那三立方問題就有解）；兩位數(shù)學(xué)家Andrew R. Booker 和Andrew V. Sutherland 在此基礎(chǔ)上使用篩法，讓算法集中搜索那些最有可能是解的數(shù)字。即便對解一無所知，也能通過強大的解析數(shù)論工具計算解的密度，這樣就能預(yù)測：我們大概還得算多久才能算出正確答案。不過此番求解之快大大出乎了他們二人的預(yù)料，在求出 的解之后還沒兩年， 的新解又找到了。據(jù)此，他們估計， 要是還有下一組解的話，花費的計算力將是這次的一千萬倍，以目前的算法和計算機性能還遙不可及。三立方問題是否就此告一段落？ 的未解情況是否仍有希望？目前我們還暫未可知；不過只有一點是可以確定的：數(shù)學(xué)家的腳步不會停下。

如今正是數(shù)論及其相關(guān)學(xué)科發(fā)展迅猛的年代。數(shù)學(xué)家們對代數(shù)幾何充滿信心：近半個世紀(jì)的發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)超過以往任何時代之和，而且發(fā)展勢頭也不像是要停下來的樣子。但即便如此，我們對于素數(shù)，丟番圖方程以及它們背后蘊含的深刻數(shù)學(xué)的了解仍僅是冰山一角。

或許可以打一個不恰當(dāng)?shù)谋确?。在物理學(xué)中，帶有“論”（Theory）的都是那些尚不完善的框架：廣義相對論不能重整化；量子場論沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；弦論得不到實證，甚至某些推論與實驗還不相符；而”M理論”本身就是一個猜想。人類對宇宙的了解微乎其微，但正因如此，理論物理學(xué)家才會癡迷于其中的奧秘。對于整數(shù)論（Number Theory）而言也是相同的，它的未知等待著人們探索，它的美等待著人們發(fā)現(xiàn)?；蛟S人類永遠(yuǎn)都無法對整數(shù)有足夠多的了解，整數(shù)論也永遠(yuǎn)不可能改名叫整數(shù)力學(xué)（Number Mechanics），不過我相信任何有志于數(shù)學(xué)的人，都能像費馬和丟番圖一樣，在數(shù)學(xué)中找到真正的快樂，以及自己人生的意義。

參考文獻(xiàn)

[1] https://phys.org/news/2021-03-sum-cubes-puzzle-solution.html

[2] https://www.pnas.org/content/pnas/118/11/e2022377118.full.pdf

[3] https://www.famousscientists.org/diophantus/

[4] 康斯坦絲·瑞德, 希爾伯特數(shù)學(xué)世界的亞歷山大.

[5] https://www.britannica.com/biography/Pierre-de-Fermat .

[6] Timothy Gowers, The Princeton companion to mathematics.

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