本月主題：

1. 數(shù)學(xué)：“兩種文化”之間的橋梁

2. 水波中的莫比烏斯帶

3. 埃米·諾特、對(duì)稱性和電荷守恒

點(diǎn)擊zzllrr小樂(lè)公眾號(hào)主頁(yè)右上角設(shè)為星標(biāo)★數(shù)學(xué)科普不迷路！

作者：Tony Phillips（紐約州立大學(xué)石溪分校教授）2025-3-20

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-3-22

1. 數(shù)學(xué)：“兩種文化”之間的橋梁

戈登·吉萊斯皮 (Gordon Gillespie) 認(rèn)為數(shù)學(xué)可以幫助“彌合人文學(xué)科與自然科學(xué)之間的巨大鴻溝”。

在澳大利亞思想雜志《Aeon》最近發(fā)表的一篇文章中 https://aeon.co/essays/to-better-understand-the-world-follow-the-paths-of-mathematics ，吉萊斯皮首先勾勒出了知識(shí)分子思想的圖景。在他看來(lái)，知識(shí)分子思想有兩個(gè)主要群體，即人文學(xué)科和科學(xué)學(xué)科，C. P. 斯諾在1959年出版的書(shū)中將其稱為“兩種文化”。

吉萊斯皮寫(xiě)道：“私下里，大多數(shù)自然科學(xué)家仍然認(rèn)為人文學(xué)科是一門(mén)缺乏基本認(rèn)識(shí)論標(biāo)準(zhǔn)的偽科學(xué)”，“與此同時(shí)，許多人文學(xué)科學(xué)者認(rèn)為科學(xué)家是迂腐的自然勘測(cè)員，他們可能會(huì)產(chǎn)生實(shí)際和有用的結(jié)果，但卻對(duì)（文化）世界運(yùn)作的真正深刻見(jiàn)解視而不見(jiàn)?！?/p>

吉萊斯皮設(shè)立了兩個(gè)極端原型。對(duì)于“天真的現(xiàn)實(shí)主義者”（naive realists）來(lái)說(shuō)，現(xiàn)象只能通過(guò)追溯到機(jī)械論第一原理的因果鏈來(lái)解釋。他們相信“自然是按照規(guī)律排列的，無(wú)論是否有人類在場(chǎng)觀察。”

“天真的理想主義者”（naive idealists）相信，思想及其在數(shù)千年中產(chǎn)生的社會(huì)和文化機(jī)制是在一個(gè)獨(dú)立的領(lǐng)域中發(fā)展，有自己的規(guī)律。他們“堅(jiān)持認(rèn)為所有秩序都是概念秩序，完全基于個(gè)人或集體思想?！?/p>

數(shù)學(xué)確實(shí)處于這兩個(gè)極端立場(chǎng)之間的中間地帶：17永遠(yuǎn)是素?cái)?shù)，但其余大部分，盡管受到邏輯的約束，是一種文化構(gòu)造。例如，我相信，一旦我們研究了仙女座星云中圍繞某顆恒星運(yùn)行的行星上發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)，我們就會(huì)完全理解它，但那里發(fā)展出的概念可能與我們完全不同。

吉萊斯皮的讀者群是熟悉康德和維特根斯坦的，但他找到了一些很好的具體例子來(lái)支持他的論點(diǎn)，即現(xiàn)代科學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的使用迫使它背離狹隘的因果關(guān)系學(xué)說(shuō)。其中之一是相對(duì)論中的雙胞胎悖論（twin paradox），其中一個(gè)年輕的雙胞胎花了幾年時(shí)間以接近光速的速度環(huán)游宇宙，回來(lái)后發(fā)現(xiàn)他的哥哥已經(jīng)是個(gè)老人了。

正如吉萊斯皮所解釋的那樣，沒(méi)有“物理原因”決定他們的年齡差異：“真正的原因在于結(jié)構(gòu)框架”，即發(fā)生這種現(xiàn)象的時(shí)空幾何結(jié)構(gòu)。這種幾何結(jié)構(gòu)可能在結(jié)構(gòu)上是數(shù)學(xué)的，但它已經(jīng)成為現(xiàn)代物理學(xué)的一部分。

他給出的另一個(gè)例子涉及中心極限定理（central limit theorem）。因果關(guān)系可以準(zhǔn)確解釋一枚硬幣如何旋轉(zhuǎn)并落地，但如果拋出一千枚硬幣，結(jié)果的鐘形分布就沒(méi)有純粹的因果解釋。然而，正態(tài)分布，完全是人類構(gòu)造的，是科學(xué)工具箱中不可或缺的一部分。

文章最后反思道，所有科學(xué)都“不可分割地根植于”我們外部的世界和人類的思想中，而這種二元性在數(shù)學(xué)中尤為明顯，超越了因果關(guān)系。

2. 水波中的莫比烏斯帶

過(guò)去幾年，研究人員開(kāi)始從理論上研究水波中如何形成渦旋和莫比烏斯帶等拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)?！蹲匀弧冯s志上的一篇新論文 https://www.nature.com/articles/s41586-024-08384-y 描述了一種實(shí)現(xiàn)這些現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)裝置。作者是一個(gè)由王波（音譯名，復(fù)旦大學(xué)和河南大學(xué)）和車(chē)志遠(yuǎn)（音譯名，復(fù)旦大學(xué)）領(lǐng)導(dǎo)的八人國(guó)際團(tuán)隊(duì)。

在提議的實(shí)驗(yàn)中，拓?fù)洮F(xiàn)象的關(guān)鍵是波的角動(dòng)量矢量場(chǎng)。角動(dòng)量是方向向前的動(dòng)量的旋轉(zhuǎn)類似物；它使陀螺保持旋轉(zhuǎn)。水波是否攜帶角動(dòng)量并不明顯，但確實(shí)如此。當(dāng)波浪經(jīng)過(guò)時(shí)，漂浮在水面上的理想粒子會(huì)經(jīng)歷圓形“軌道”運(yùn)動(dòng) https://manoa.hawaii.edu/exploringourfluidearth/physical/waves/wave-energy-and-wave-changes-depth ：它被抬起、向前推、落下和拉回。

YouTube上有一個(gè)很棒的動(dòng)畫(huà) https://youtu.be/NShUBfJQEHk 演示了這一運(yùn)動(dòng)。粒子運(yùn)動(dòng)在垂直平面上描繪出一個(gè)圓圈，該圓圈朝向波的傳播方向，直徑大約等于波的高度。如果粒子有質(zhì)量，則其圓周運(yùn)動(dòng)就會(huì)產(chǎn)生角動(dòng)量。角動(dòng)量由垂直于圓圈的矢量表示，其指向是螺旋如果朝該方向轉(zhuǎn)動(dòng)就會(huì)移動(dòng)的方向。該方向與質(zhì)量無(wú)關(guān)，在下圖中由矢量場(chǎng)S表示。

正弦水波沿x方向從左向右傳播，在z方向上振幅不變，在y方向上保持恒定。波谷中有一個(gè)粒子，它沿順時(shí)針?lè)较虻膱A傳播。

平面波（此處從左向右移動(dòng)）的示意圖，兩個(gè)漂浮粒子的圓周運(yùn)動(dòng)以及相應(yīng)的角動(dòng)量矢量。粒子（黃點(diǎn)）在垂直平面上順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；紅色角動(dòng)量矢量場(chǎng)S與y軸平行。

圖源：Tony Phillips

為了利用這種角動(dòng)量，作者建造了一個(gè)邊長(zhǎng)為16厘米的六邊形水池。邊 1、3和5（下圖紅、藍(lán)、綠）由正弦信號(hào)驅(qū)動(dòng)，產(chǎn)生波長(zhǎng)約為4厘米的水波。邊2、4和6是靜止的。這會(huì)產(chǎn)生三道波浪，它們以120°的角度相互傳播。驅(qū)動(dòng)信號(hào)也經(jīng)過(guò)調(diào)整，使得波浪彼此之間也存在120°的相位差。

裝置示意圖：

a. 六邊形水池的三條邊受到正弦激發(fā)產(chǎn)生波浪。

b. 三組波具有相同的頻率和振幅，但方向和相位相差120°。

圖源：Tony Phillips

當(dāng)波不再是單波，而是三波干涉時(shí)，表面粒子的運(yùn)動(dòng)會(huì)變得更加復(fù)雜。下圖顯示了相應(yīng)的S場(chǎng)。矢量根據(jù)其方向進(jìn)行顏色編碼，顏色強(qiáng)度表示其振幅。

圖形顯示以下區(qū)域（順時(shí)針移動(dòng)）：粉色、黃色、藍(lán)色、粉色、黃色、藍(lán)色。圖形中心附近顏色交匯處布滿了三角形，中間點(diǎn)綴著黑色三角形（低振幅區(qū)域）。

角動(dòng)量矢量場(chǎng)S由三個(gè)頻率和振幅相同但方向和相位相差120°的平面波疊加而成。S矢量的振幅和相位由顏色編碼的強(qiáng)度和色調(diào)表示。

圖源：王波

對(duì)于三波，激發(fā)模式因點(diǎn)而異。粒子并非總是按圓形運(yùn)動(dòng)，而是可以按橢圓形運(yùn)動(dòng)或靜止不動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)為非圓形橢圓的點(diǎn)處，可以沿橢圓的長(zhǎng)軸畫(huà)一條線。作者指出，在角動(dòng)量場(chǎng)S的奇點(diǎn)周?chē)?，這些線可以描繪出一條莫比烏斯帶。

上圖中心的放大圖（見(jiàn)下圖頂部）。在放大的正方形內(nèi)，我們可以分析自旋方向場(chǎng)。坐標(biāo)給出了水池表面的位置。

上圖底部：沿著圍繞S場(chǎng)奇點(diǎn)的虛線圓，波位移矢量描繪出的橢圓主軸形成一條莫比烏斯帶。因?yàn)樵谶@幅圖中這些軸顯示為定向的，所以在奇點(diǎn)周?chē)鷪A的某個(gè)點(diǎn)，指示的方向必須翻轉(zhuǎn)。這些點(diǎn)以黃色高亮顯示。

圖源：王波，經(jīng)過(guò)部分編輯

作者繼續(xù)展示，在具有24個(gè)干涉水波（而不是3個(gè)）的裝置中，可以控制干涉圖案，從而將漂浮粒子從一個(gè)地方移動(dòng)到另一個(gè)地方。由此他們的論文標(biāo)題為：“拓?fù)渌ńY(jié)構(gòu)操縱粒子”。

Miragenews.com 上發(fā)布的新聞稿中 https://www.miragenews.com/topological-structures-found-in-water-1408118/#google_vignette 提供了一些附加信息。

3. 艾米·諾特、對(duì)稱性和電荷守恒

2月4日，《新科學(xué)家》雜志發(fā)表了一篇關(guān)于數(shù)學(xué)家埃米·諾特（Emmy Noether，1882 - 1935）的文章《至今仍在改變物理學(xué)的百年對(duì)稱定理》 https://www.newscientist.com/article/2466657-the-100-year-old-symmetry-theorem-that-is-still-changing-physics-today/ 。

埃米·諾特因?qū)⑺写鷶?shù)的力量釋放到后來(lái)成為代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的領(lǐng)域而受到拓?fù)鋵W(xué)家的尊敬。我推薦弗里德里?！は２卟剪敽眨‵riedrich Hirzebruch，1927 - 2012）對(duì)她的影響的描述 https://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/id/eprint/98/6/preprint_1997_34.pdf 。

該文作者（John Gribbin和Mary Gribbin）關(guān)注另一項(xiàng)成就，即“諾特定理”，該定理至今仍是理論物理學(xué)的基礎(chǔ)。他們這樣描述：“諾特定理證明了，如果物理定律無(wú)論何時(shí)都保持不變，換句話說(shuō)，即如果它們是時(shí)間不變的（time-invariant），那么在任何理論中，能量都必須守恒?！?/p>

他們進(jìn)一步闡述了諾特定理不僅適用于時(shí)不變性：只要物理系統(tǒng)具有連續(xù)對(duì)稱性，諾特定理就表明必定存在相應(yīng)的守恒量。例如，在量子力學(xué)中，只有相位差才重要。如果量子力學(xué)系統(tǒng)中的所有相位都以相同的角度向前或向后移動(dòng)，則物理完全相同。這種對(duì)稱性對(duì)應(yīng)的守恒量是電荷。

諾特定理適用于動(dòng)力學(xué)可以用拉格朗日函數(shù)（Lagrangian，拉格朗日量，或在經(jīng)典力學(xué)中，也可以等價(jià)地，使用哈密頓函數(shù)Hamiltonian https://www.physics.rutgers.edu/~shapiro/507/book3.pdf ）來(lái)描述系統(tǒng)。拉格朗日函數(shù)由約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736 - 1813）提出，純粹是為了數(shù)學(xué)上的方便。它使推導(dǎo)復(fù)雜力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程變得容易得多。

一個(gè)系統(tǒng)的拉格朗日量是相關(guān)位置（我們可以將其寫(xiě)成向量X）、速度v和時(shí)間t的函數(shù)。通常的表示法是(x,v,t)。這個(gè)想法是，系統(tǒng)將在時(shí)間t?和t?之間演變，以使的積分最小化。這個(gè)積分被稱為作用量（action），但沒(méi)有直接的物理意義。

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于像這樣的函數(shù)，要成為這類積分最小化問(wèn)題的解，它必須滿足一個(gè)稱為歐拉-拉格朗日方程的微分方程（這是變分法的一部分 https://www.ucl.ac.uk/~ucahmto/latex_html/pandoc_chapter2.html ）。對(duì)于力學(xué)系統(tǒng)，歐拉-拉格朗日方程給出運(yùn)動(dòng)方程（見(jiàn)下文）。

諾特定理的工作原理可以從一個(gè)質(zhì)量為m的物體的例子看出，物體放在一個(gè)無(wú)摩擦水平桌子上，被彈簧拴在墻上。當(dāng)彈簧從靜止位置拉伸或壓縮時(shí)，它會(huì)施加一個(gè)與變形x成比例的指向相反方向的恢復(fù)力F = -kx。對(duì)于像這樣的一維力學(xué)系統(tǒng)，拉格朗日量為

(x,v,t) = mv2/2 - kx2/2

這里，式子中的量mv2/2是質(zhì)量物體的動(dòng)能（kinetic energy），kx2/2是勢(shì)能（potential energy）：將彈簧從靜止位置拉伸（或壓縮）到x所需的功。

一個(gè)簡(jiǎn)單的力學(xué)系統(tǒng)：一個(gè)質(zhì)量塊m在無(wú)摩擦的桌面上滑動(dòng)，與一個(gè)彈性常數(shù)為k的彈簧耦合。當(dāng)彈簧從其靜止位置拉伸（或壓縮）一定距離x時(shí)，它會(huì)以與x成比例的力拉回（或推回）。

圖源：Tony Phillips

這個(gè)拉格朗日量具有非常特殊的時(shí)不變性。如果時(shí)鐘前進(jìn)無(wú)窮小量?，則x 無(wú)限更新為x + ? dx/dt = x + ?v，而v更新為v + ? dv/dt，我們將其寫(xiě)為v + ? v`（這里v`表示v上面有一點(diǎn)的字符，即按時(shí)間t對(duì)v求導(dǎo)，因?yàn)闆](méi)有合適的Unicode字符代替LaTeX代碼，采用這種寫(xiě)法，因此與原文有細(xì)微差別，譯者注）。新的拉格朗日量' = m(v+?v`)2/2 - k(x+?v)2/2 。忽略?的高次冪（丟棄掉），則有

mv2/2 + m?vv` - kx2/2 - k?xv

= mv2/2 - kx2/2 + ?（mvv` - kxv）

= (x,v,t) + ?（mvv` - kxv）

變化量為?（mvv` - kxv） ，即?乘以由K(t)=mv2/2 - kx2/2定義的函數(shù)K(t)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)。這意味著，如果我們將'從t?積分到t?來(lái)計(jì)算新的作用量，我們將得到

根據(jù)微積分基本定理，這變成

由于它們相差一個(gè)常數(shù)，一個(gè)積分的最小值與另一個(gè)積分的最小值相同：物理學(xué)沒(méi)有改變。一般來(lái)說(shuō)，在諾特定理的背景下，關(guān)于坐標(biāo)s的不變性意味著s的一個(gè)無(wú)窮小的變化，會(huì)根據(jù)某個(gè)函數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)改變拉普拉斯量（因此產(chǎn)生相同的作用量最小值）。這種情況特別簡(jiǎn)單，因?yàn)閰?shù)s就是時(shí)間本身。

諾特定理應(yīng)用于這種情況，指出由于拉格朗日量是時(shí)間不變的，因此量v ?/?v - K必須守恒。在這種情況下?/?v = mv，因此mv2 - K = mv2 - (mv2/2 - kx2/2) = mv2/2 + kx2/2，即動(dòng)能和勢(shì)能之和：如果拉格朗日量是不隨時(shí)間變化的，則系統(tǒng)的總能量必須守恒。

最后說(shuō)明一下：此類問(wèn)題的歐拉-拉格朗日方程為

因?yàn)樵谖覀兊睦又?L/?x = -kx，?L/?v = mv，歐拉-拉格朗日方程是 -kx - m dv/dt = 0 即 -kx = m d2x/dt2，即我們熟悉的質(zhì)量物體與彈簧耦合的牛頓方程 F = ma 。

感謝我的同事 Martin Ro?ek 對(duì)本條目的幫助。

參考資料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-february-2025/

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-february-2025/

https://aeon.co/essays/to-better-understand-the-world-follow-the-paths-of-mathematics

https://www.nature.com/articles/s41586-024-08384-y

https://www.linkresearcher.com/theses/707504ff-c602-406f-a223-d9edb1a1e248

https://manoa.hawaii.edu/exploringourfluidearth/physical/waves/wave-energy-and-wave-changes-depth

https://youtu.be/NShUBfJQEHk

https://www.miragenews.com/topological-structures-found-in-water-1408118/#google_vignette

https://www.newscientist.com/article/2466657-the-100-year-old-symmetry-theorem-that-is-still-changing-physics-today/

https://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/id/eprint/98/6/preprint_1997_34.pdf

https://www.physics.rutgers.edu/~shapiro/507/book3.pdf

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