代數推理求最值

2024年安徽省中考數學第23題

學生在解無圖幾何題或函數題的時候，面臨最大的考驗就是能否迅速在大腦中構圖，這種利用想像“作圖”的技能在七年級我們開始學習數軸時，就能夠進行針對性培養(yǎng)了。

在較為復雜的函數綜合題中，無圖確實造成了一定困難，原因有很多種，也許沒必要給出函數圖象，也許函數圖象是動態(tài)的，但無論哪種原因，學生在解題時，都需要自已構建圖形，先在大腦中生成，再落實到草稿紙上。

而2024年安徽省這道函數壓軸題，不畫函數圖象也可以解，它更側重于代數推理，輔以直觀想像。代數推理作為數學教育的重要組成部分，長久來在培養(yǎng)學生邏輯思維和問題解決能力方面發(fā)揮著重要作用。隨著時代的發(fā)展和教育的進步，代數推理在新課標中的地位和重要性愈發(fā)凸顯。新課標明確指出，代數推理是數學學科核心素養(yǎng)的重要構成，是學生適應未來社會和個人發(fā)展所必需的數學基礎知識和基本技能之一。

題目

已知拋物線y=-x2+bx(b為常數)的頂點橫坐標比拋物線y=-x2+2x的頂點橫坐標大1.

(1)求b的值；

(2)點A(x1,y1)在拋物線y=-x2+2x上，點B(x1+t,y1+h)在拋物線y=-x2+bx上.

(i)若h=3t，且x1≥0，t>0，求h的值；

(ii)若x1=t-1，求h的最大值.

解析：

01

(1)拋物線對稱軸即頂點橫坐標，利用公式可列方程b/2-1=1，解得b=4;

02

(2)分別將點A、B坐標代入相應的函數解析式中，并將第一個式子代入第二個，推導如下：

(i)當h=3t時，上式變成

(ii)當x1=t-1時，上式變成

解題思考

在初中階段，幾何課程是發(fā)展推理能力的主要載體。但除了幾何推理，2022年新課標還要求適當加強代數推理。

與幾何課程相比，我國傳統(tǒng)初中代數課程強調的是各種代數運算，以及基于運算方程、不等式、函數等概念及其應用，對代數推理(主要是演繹推理)的要求并不多。之所以造成這種現象，一方面是因為中學代數的本質特征是符號運算，而符號運算是數學學習的一個重要的基本功；另一方面是因為代數推理比較抽象與形式化，不像幾何推理那樣直觀，對多數學生來說比較困難。

2022版新課標之所以對代數推理給予了足夠的重視，至少有三個理由：一是代數推理比幾何推理更為基本、純粹，也有更多的應用，特別是高中階段的數學學習需要借助大量的代數推理；二是加強代數推理有助于學生理解代數及其運算的意義；三是小學階段對符號意識與推理意識的培養(yǎng)為初中階段的代數推理提供了一些準備。

——《2022版新課標解讀》

回到本題第2小題第1問，我們可分別作出這兩條拋物線，其中點A與點B存在一種對應關系，當點A在y=-x2+2x上時，對應的點B也在y=-x2+4x上，這兩條拋物線的頂點分別是(1,1)和(2,4)，因此我們也可以將其看作是拋物線y=-x2+2x向右平移1個單位，再向上平移3個單位后得到拋物線y=-x2+4x，如下圖：

由于t和x1均為正數，因此我們只用觀察y軸右側的圖象，我們分別過點A、B向坐標軸作垂線，構造出Rt△ABC，當點A在拋物線上運動時，這個三角形也隨之在兩條拋物線之間滑動，并且保持形狀大小不變；

由于點A是拋物線上任意一點，平移變換中它的對應點就是點B，上圖中的向量OP指明了平移方向和距離。

可以發(fā)現，整個解題過程中，將點A、B坐標分別代入各自的解析式中，再聯(lián)立得到方程，這個方程描述了點A橫坐標x1、參數t和h之間的關系，當給定其中任意一對量的關系之后，利用代入法“消元”，剩下的兩個量自然就形成了新的函數關系或新的方程，再分別去求解即可。