女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

康定斯基試圖發(fā)展系統(tǒng)的繪畫基本要素理論的關(guān)鍵一步是出版《點(diǎn)線面》一書。這本書間接受到本世紀(jì)初關(guān)于幾何基本要素的討論的影響，并在某種意義上與之相關(guān)。我們研究了康定斯基與幾何學(xué)之間現(xiàn)有的一些聯(lián)系，指出他看待線條生成的方式具有令人驚訝的“矢量場(chǎng)”內(nèi)涵。

1923年，康定斯基在魏瑪度過。在經(jīng)歷了第一次世界大戰(zhàn)和俄國革命時(shí)期的中斷后，他一回到德國就再次遇到了一些老朋友，如保羅·克利（Paul Klee）和阿列克謝·馮·雅夫連斯基（Alexej von Jawlensky）。他重新開始了1914年夏天在博登湖畔的戈?duì)栠_(dá)赫進(jìn)行的一項(xiàng)計(jì)劃：撰寫他在1912年出版的前一本書《藝術(shù)中的精神》的發(fā)展?？刀ㄋ够哪繕?biāo)是為繪畫基本要素的系統(tǒng)理論奠定基礎(chǔ)，在對(duì)色彩進(jìn)行處理之后，他考慮的是形狀（在他的計(jì)劃中，第三個(gè)組成部分是主題）。因此，他花了3年時(shí)間撰寫了《Punkt und Linie zu Fl?che- Beitrag zur Analyse der malerischen Elemente》一書。

這本書即使出版于1926 年，也是在20世紀(jì)初的氛圍中誕生的，當(dāng)時(shí)，不同文化圈（正如我們今天所看到的那樣）之間的思想、關(guān)鍵詞和隱喻的滲透十分激烈。

對(duì)于數(shù)學(xué)家來說，點(diǎn)、線、面等詞在這種情況下會(huì)讓人立即聯(lián)想到幾何學(xué)基礎(chǔ)的系統(tǒng)化。1899 年，大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）出版了《幾何基礎(chǔ)》（Grundlagen der Geometrie）一書，這本書同時(shí)也是自帕施（Pasch）、皮耶里（Pieri）、帕多瓦（Padoa）、皮亞諾（Peano）等人以來對(duì)初等幾何進(jìn)行整理和公理化的漫長(zhǎng)工作的最后一步，也是一個(gè)新紀(jì)元——形式化時(shí)代——的起點(diǎn)。希爾伯特在與弗雷格的爭(zhēng)論中寫道，對(duì)數(shù)學(xué)家來說，Punkte、Geraden 和 Ebenen 這三個(gè)詞除了公理所強(qiáng)加的（邏輯）含義外，沒有其他含義，可以用Tische、Stühle 和Bierseidel來代替。嚴(yán)謹(jǐn)和客觀理論（用康定斯基的話說）的概念在數(shù)學(xué)和藝術(shù)中是不同的，康定斯基不會(huì)寫出像《Tische und Stühle zur Bierseidel》這樣的書。

事實(shí)上，重點(diǎn)在于另一點(diǎn)。希爾伯特的設(shè)定是關(guān)鍵的一步，它（由于其內(nèi)在價(jià)值和作者的聲望）改變了我們的思維方式和闡釋數(shù)學(xué)的方式。另一方面，毫無疑問，在那些年里，關(guān)于這一主題的討論是激烈而開放的。我們可以讀一讀龐加萊（Poincaré）對(duì)希爾伯特的《基礎(chǔ)》一書所寫的評(píng)論（幾年后，他在《科學(xué)與數(shù)學(xué)》（Science et méthode）一書中幾乎逐字逐句地重復(fù)了同樣的觀點(diǎn)）：

他似乎只對(duì)邏輯觀點(diǎn)感興趣。給定一連串命題，他驗(yàn)證所有命題都是從第一個(gè)命題推導(dǎo)出來的。第一個(gè)命題的基礎(chǔ)是什么，它的心理起源是什么？他沒有考慮到這一點(diǎn)……因此，它的工作是不完整的，但這不是我對(duì)他的批評(píng)。每個(gè)人都必須承認(rèn)自己是不完整的。我只想說，他的著作對(duì)于數(shù)學(xué)哲學(xué)來說，是一個(gè)進(jìn)步，可以與洛巴切夫斯基、黎曼、赫爾莫茨和李的進(jìn)步相媲美。

在這兩位數(shù)學(xué)巨匠之間的小小爭(zhēng)論中，我們要強(qiáng)調(diào)的是，龐加萊說的是數(shù)學(xué)哲學(xué)的進(jìn)步（而不是數(shù)學(xué)的進(jìn)步）。費(fèi)德里戈·恩里克斯（Federigo Enriques）于 1901 年發(fā)表了《幾何公設(shè)的心理起源》（Sulla spiegazione psicologica dei postulati della geometria）一文，試圖研究幾何公設(shè)的心理起源。

龐加萊的憂慮也具有教學(xué)性質(zhì)：

那么，為了理解一種理論，僅僅驗(yàn)證自己所走的道路沒有被障礙物打斷是不夠的。我們有必要了解選擇這條道路的原因。如果我們想從一開始就賦予一種理論以它的最終形式，即無懈可擊的邏輯所強(qiáng)加的形式，而不去追溯導(dǎo)致這種組織的任何附帶條件，那么是否可以說我們理解了這種理論呢？不，我們不會(huì)真正理解它，我們也無法記住它，或者我們只能通過用心學(xué)習(xí)來記住它。

無論如何，即使我們今天很容易在希爾伯特形式主義和布爾巴基教學(xué)法的熏陶下，從數(shù)學(xué)的角度將點(diǎn)、線、面等實(shí)體的含義視為非問題，但康定斯基寫作此書時(shí)的情況有所不同。如果我們成功地從希爾伯特的范式來看待問題，就更容易在正確的背景下理解康定斯基的工作。

首先是點(diǎn)。馬里奧·皮耶里（Mario Pieri）是希爾伯特之前初等幾何系統(tǒng)化的作者，在那個(gè)被認(rèn)為更加優(yōu)雅和完整的時(shí)代，他只使用了兩個(gè)原始概念：點(diǎn)和剛性運(yùn)動(dòng)，直線被定義為派生概念（他順便指出，也可以使用點(diǎn)和omography 作為原始概念，但從教學(xué)的角度來看，這將是一個(gè)輕率的選擇）。皮耶里認(rèn)為，我們不能不使用點(diǎn)的概念，因?yàn)樗撬袔缀螛?gòu)造的基礎(chǔ)?？刀ㄋ够J(rèn)為，點(diǎn)是絕對(duì)的簡(jiǎn)潔，它通過繪畫創(chuàng)造線條。值得注意的是，希爾伯特本人在1894年曾寫道：幾何是基于我們所能做的最簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)，也就是基于繪畫。點(diǎn)和線都是抽象概念，主要來自繪畫經(jīng)驗(yàn)，而非視覺或觸覺經(jīng)驗(yàn)。這些觀點(diǎn)在另一本奠基性著作《Les étapes de la philosophie mathématique》中得到了發(fā)展，該書由萊昂·布倫施維奇（Léon Brunschvicg）撰寫于1912年，正是《關(guān)于藝術(shù)中的藝術(shù)家》（Uber das Geistige in der Kunst）出版的那一年。Brunschvicg認(rèn)為繪畫實(shí)踐是幾何真理的起源。

恩里克斯在上文引述的《幾何學(xué)假設(shè)的心理學(xué)啟示》（Sulla spiegazione psicologica dei postulati della geometria）一文中認(rèn)為，點(diǎn)是空間概念表征的起始元素（他的認(rèn)知方法是以點(diǎn)為基礎(chǔ)的，根本不是態(tài)勢(shì)學(xué)）——沒有點(diǎn)，就不可能賦予幾何實(shí)體以意義。

這些話題都很流行。弗朗斯·布倫塔諾（Frans Brentano）是一位非常有影響力的學(xué)者，他在給瓦拉蒂的一封信中討論了歐幾里得公理，暗中試圖揭示點(diǎn)和直線等原始概念的本質(zhì)。瓦拉蒂回答說：

幾何的公理是什么？在我看來，如果不先行回答另一個(gè)問題，就不可能給出準(zhǔn)確的答案：哪種方式最能使我們對(duì)空間性質(zhì)的認(rèn)識(shí)有序化，從而使它們成為數(shù)量有限的基本假設(shè)的結(jié)果？在可以實(shí)現(xiàn)這一目的的多種方法中，有些方法可能對(duì)某些特性更為可取，而另一些方法則對(duì)其他特性更為可取（例如，有些方法對(duì)假設(shè)的大量證據(jù)更為可取，而另一些方法則對(duì)假設(shè)的有限數(shù)量更為可?。?/p>

在那些年里，抽象藝術(shù)界對(duì)數(shù)學(xué)家的“發(fā)現(xiàn)”很感興趣，有時(shí)甚至著迷。普特奧小組的成員（庫普卡、萊熱爾、格萊澤斯、梅辛格、狄龍、杜尚、勒福索尼耶——或者至少其中有人）閱讀了普安卡雷和一些愛因斯坦的作品，甚至試圖在他們的作品中融入這些作品的一些暗示。例如，四維空間是一個(gè)反復(fù)出現(xiàn)的主題——我們必須記住，這是一個(gè)幾何四維空間，與時(shí)空的混合是一個(gè)現(xiàn)代事實(shí)。與此同時(shí)，試圖用圖像表現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的嘗試也產(chǎn)生了與康定斯基的方法有關(guān)的結(jié)果。例如，我們可以看看庫普卡，他用線條描繪物體的運(yùn)動(dòng)軌跡——點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生曲線。

當(dāng)然，這些藝術(shù)界人士同時(shí)也在閱讀普安卡雷和布拉瓦茨基夫人的著作，但從某種意義上說，這也是那個(gè)時(shí)代的典型特征。康定斯基本人追隨彼得·烏斯賓斯基（Peter Ouspensky），認(rèn)為精神世界是一個(gè)多維結(jié)構(gòu)——有人試圖用幾何學(xué)的新發(fā)現(xiàn)來解釋超自然或超自然現(xiàn)象。有人展示了耶穌是如何通過四維空間進(jìn)入所有門都關(guān)閉的餐廳的。

弗拉基米爾·列寧(！)在《唯物主義和經(jīng)驗(yàn)主義》中攻擊了龐加萊，因?yàn)樗P(guān)于多維空間的理論為唯心主義者和唯心論者提供了論據(jù)。

無論如何，即使杜尚等藝術(shù)家的理論解釋在今天看來顯得幼稚（例如，當(dāng)他試圖解釋繪畫中的每個(gè)三維物體都是四維物體的投影時(shí)），其藝術(shù)效果，就像《La mariée mise à nu par ses célibataires》一樣，也是非凡的。

康定斯基在書中研究了平面上一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問題，他的分析基本上是局部的。一個(gè)點(diǎn)受到兩種拉力的作用，第一種是水平拉力，第二種是垂直拉力——這兩種力的組成就是運(yùn)動(dòng)的方向。隨著基本力強(qiáng)度的變化，這種構(gòu)成每時(shí)每刻也會(huì)發(fā)生變化。這是一種非?！笆噶炕钡那€生成思想，讓我們想起了矢量場(chǎng)和積分曲線。

對(duì)康定斯基來說，線條并不是單點(diǎn)的簡(jiǎn)單結(jié)合。它們的連續(xù)性是強(qiáng)大而不可分割的。在某一特定時(shí)刻，他開始談?wù)撘苿?dòng)點(diǎn)的標(biāo)記。在恩里克看來，這正是曲線的心理起源，他將繼續(xù)把曲面視為由曲線系統(tǒng)生成。相反，對(duì)于物理學(xué)家龐加萊來說，眼前的現(xiàn)實(shí)是三維的，我們通過超平面截面得到面和點(diǎn)。不過，請(qǐng)注意，康定斯基也說過，線的一個(gè)特征就是生成曲面。

這些點(diǎn)上的張力是由內(nèi)在感知產(chǎn)生的。在此必須指出的是，康定斯基提出的這一形狀理論是他得以脫離具象藝術(shù)的理論工具，同時(shí)又不失作為一般藝術(shù)結(jié)構(gòu)構(gòu)成要素的預(yù)言價(jià)值。如果我們放棄對(duì)物體的表現(xiàn)，如何保持藝術(shù)的預(yù)言功能？康定斯基的解決辦法是轉(zhuǎn)而表現(xiàn)內(nèi)心的感知，這就造成了點(diǎn)與點(diǎn)之間的緊張關(guān)系。關(guān)于點(diǎn)和線，康定斯基談到了靈魂體驗(yàn)。因此，線是由一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)非各向同性的平面上從自身出來而產(chǎn)生的，在這個(gè)平面上，兩個(gè)特定的方向（水平=溫暖，垂直=寒冷）具有不同的含義。因此，康定斯基尋求繪畫基本元素的內(nèi)在生成，恩里克斯則尋求相同元素的心理基礎(chǔ)。

康定斯基用更現(xiàn)代的話說，在抽象思維中，在我們的“觀念”中（不管這種說法的含義是什么），點(diǎn)是理想的小，理想的圓，就像一個(gè)無限小的圓，當(dāng)我們畫出它時(shí)，它就具體化了：他所涉及的就是今天所說的形象方面和概念方面之間的辯證關(guān)系。康定斯基書中再現(xiàn)的點(diǎn)的不同形狀被稱為基本特征的相對(duì)色彩變化，而基本特征是不可改變的。

最后一點(diǎn)。當(dāng)我們將康定斯基的觀點(diǎn)與學(xué)生在課堂上處理幾何圖形的最初構(gòu)造時(shí)的言行進(jìn)行比較時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)他的觀點(diǎn)具有令人驚訝的解釋力。例如，當(dāng)然有水平方向和垂直方向，但通常還有對(duì)角線方向，即與水平方向和垂直方向成 45?角的方向。其他線條只是與對(duì)角線或多或少的偏差。為什么孩子們要區(qū)分水平線和垂直線？這是很自然的；但為什么當(dāng)他們處理歐幾里得幾何或形式推理時(shí)，這種直觀的非各向異性仍然會(huì)影響他們呢？為什么他們會(huì)說“豎起來的長(zhǎng)方形”，或者他們不能識(shí)別非正則位置上的梯形？這些都是數(shù)學(xué)教學(xué)中眾所周知的問題。

康定斯基認(rèn)為有三個(gè)基本角度：直角、銳角（=45?）和鈍角（=135?），其他角度只是這些角度的變體，具有不同的個(gè)性?？刀ㄋ够姆治鲇兄谖覀兝斫猓瑸槭裁磳?duì)許多學(xué)生來說，不受物體或畫布位置的影響而進(jìn)行幾何創(chuàng)作是如此困難。

康定斯基用他的藝術(shù)力量告訴我們，幾何元素在圖形上的表現(xiàn)充滿了意義和輕描淡寫，在心理上是非中性的。

青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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