雙中點(diǎn)問題解法探究

2024年東湖高新區(qū)五調(diào)第23題

上周在微信群里對(duì)2024年武漢市東湖高新區(qū)五月模擬考試第23題的解法進(jìn)行了探究，這道題屬于典型的雙中點(diǎn)問題，通常情況下，雙中點(diǎn)問題可關(guān)聯(lián)的解法非常多，例如構(gòu)造中位線、中線倍長、相似三角形等，作為幾何綜合壓軸題，對(duì)學(xué)生構(gòu)圖要求比較高。

因此我們對(duì)解法研究的重點(diǎn)是，如何讓學(xué)生想到？包括在講題過程中，如何引導(dǎo)學(xué)生想到？在觀察學(xué)生思考解法的過程中，如何“斷點(diǎn)續(xù)傳”？在講完之后，如何幫助學(xué)生歸納整理？

題目

解析：

01

(1)對(duì)于△ABC∽△EDC中的比例線段，我們選擇底：腰，即BC:AC=DC:EC，這一組比例線段恰好是△CBD和△CAE的對(duì)應(yīng)邊，再加上∠ACB=∠ECD，于是得∠BCD=∠ACE，所以△CBD∽△CAE；

02

(2)條件“M、N分別是BE、AD中點(diǎn)”，極易讓人聯(lián)想到三角形中位線，再加上求證AE=2MN，也確實(shí)是中位線定理結(jié)論之一，至少形式上很像，但MN本身并不是圖中任何三角形的中位線，所以構(gòu)造中位線是首選方法；

方法一：

延長BA至點(diǎn)F，使NF=BN，再連接EF，如下圖：

這種方法的好處就在于，直接構(gòu)造出△BEF，使MN是它的中位線，這樣我們得到了EF=2MN，于是只需要證明EF=AE即可；

由BN=FN，DN=AN可得BD=AF，而在第1問的結(jié)論中，我們有△CBD∽△CAE，于是得BD:AE=BC:AC，交換比例內(nèi)項(xiàng)之后得BD:BC=AE:AC，再將其中的BD替換成AF，AC替換成AB，得AF:BC=AE:AB，這一組比例線段恰好是△AEF和△ABC的兩組對(duì)應(yīng)邊；

同樣在第1問結(jié)論中，我們有∠CBD=∠CAE，再加上∠CBD=∠ACB，所以∠ACB=∠CAE，所以AE∥BC，由平行可知∠EAF=∠ABC，因此△ABC∽△EAF，即△EAF也是等腰三角形，兩腰分別是AE和EF，完成了思路閉環(huán)，最后得到AE=2MN；

方法二：

取DE中點(diǎn)G，連接NG、MG，如下圖：

嚴(yán)格講，方法二和方法一屬同類方法，只不過構(gòu)造中位線的位置有所不同，由輔助線作法，我們很快能得到AE=2NG，于是接下來我們的任務(wù)是證明MN=NG；

方法一中某些結(jié)論在這里不再重復(fù)證明，我們首先得到兩條中位線，分別是NG和GM，它們是△ADE和△BDE的中位線，所以NG∥AE，GM∥BD，則∠MGN=∠ANG，再加上已經(jīng)證明過AE∥BC，則NG∥BC，于是∠ANG=∠ABC，仍然由△CBD∽△CAE得BD:AE=BC:AC，將其中AE替換成1/2NG，BD替換成1/2GM，得GM:NG=BC:AC，我們又一次得到△ABC∽△MGN，即△MGN也是等腰三角形，所以MN=NG，最后也得到AE=2MN；

方法三：

連接EN并延長至點(diǎn)H，使HN=EN，連接BH，如下圖：

只不過換了個(gè)方向構(gòu)造新的中位線，顯然BH=2MN，于是我們的任務(wù)是證明AE=BH；

首先可以證明△ANE≌△DNH，所以AE=DH，順便證明AE∥DH，由前面方法一中AE∥BC，得DH∥BC，所以∠BDH=∠ABC；

依然由△CBD∽△CAE，得BD:AE=BC:AC，將AE替換成DH，AC替換成AB，得BD:DH=BC:AB，再加上夾角∠BDH=∠ABC，得△ABC∽△BDH，即△BDH是等腰三角形，所以DH=BH，然后證明了AE=DH，最后得到AE=2MN；

03

(3)在充分理解了整個(gè)圖形內(nèi)在聯(lián)系之后，本小問直接可以秒掉了，取AB中點(diǎn)N，則直線MN為點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)軌跡，如下圖：

由于AE∥BC，且MN為△ABE中位線，所以點(diǎn)C到直線MN的最短距離，即當(dāng)CM⊥MN時(shí)，這個(gè)最短距離恰好是△ABC斜邊上高的一半，因此結(jié)果是1/2.

解題反思

我們不妨將第2問的三種方法復(fù)盤，發(fā)現(xiàn)無論哪一種，都是構(gòu)造出新的中位線，完成了某兩條線段的2倍關(guān)系，方法一是將AE轉(zhuǎn)換成EF，而EF與MN之間的2倍關(guān)系非常容易得到；方法二是將MN轉(zhuǎn)換成NG，而AE與NG之間的2倍關(guān)系容易得到；方法三是將AE轉(zhuǎn)換成BH，因?yàn)锽H與MN之間的2倍關(guān)系容易得到；

而在轉(zhuǎn)換過程中，我們都是通過構(gòu)造出新的等腰三角形來實(shí)現(xiàn)等量代換，方法一中的△AEF，方法二中的△MGN，方法三中的△BDH，都起到同樣的作用，如下圖：

這些三角形都與△ABC相似，并且我們都采用了同一種判定方法，即兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等。

相似三角形在幾何綜合題中經(jīng)常遇到，所以我們有必要從課標(biāo)中尋找對(duì)其的難度標(biāo)高，從而精準(zhǔn)命題或者有效備考。

新課標(biāo)中，對(duì)于名詞“了解”解釋如下：

從具體實(shí)例中知道或舉例說明對(duì)象的有關(guān)特征；根據(jù)對(duì)象的特征，從具體情境中辨認(rèn)或舉例說明對(duì)象.

在圖形相似版塊中，①②④⑤⑥均定義為“了解”，而對(duì)于③則是“掌握”，對(duì)于⑦則是“運(yùn)用”，并且給出了例81，如下圖：

這就是最為典型的“運(yùn)用”題例，從具體情境中抽象出相似三角形，并利用其中的成比例線段的關(guān)系來解決問題。

本題中的相似三角形，基本符合新課標(biāo)中對(duì)相似內(nèi)容的要求，只是個(gè)人認(rèn)為其中需要交換比例項(xiàng)稍微拔高了一點(diǎn)，但在幾何綜合壓軸題中，這一點(diǎn)可以接受。

至于在命題中設(shè)置幾次相似，并沒有規(guī)定，只要符合課標(biāo)要求即可，但涉及到比例式的變換，例如合比、等比性質(zhì)，則明顯超綱，或者需要多次交換比例項(xiàng)，人為增加恒等變形復(fù)雜度，并不符合新課標(biāo)。

本題中第2問的輔助線添加，盡管有三種不同的添加方式，但它們的證明過程大同小異，基本可算同一類方法，如果幫助學(xué)生歸納總結(jié)，構(gòu)造中位線，進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換是其核心，至于在哪構(gòu)造，如何轉(zhuǎn)換，就看學(xué)生思考方向了，畢竟題目條件中出現(xiàn)“兩個(gè)中點(diǎn)”，“線段2倍”等關(guān)鍵詞，也是暗示學(xué)生朝這個(gè)方向去努力，導(dǎo)向正確，解法不難得。

尤其是對(duì)于在思考過程中，沒有想到構(gòu)造中位線的學(xué)生，則需要仔細(xì)詢問他們?cè)镜囊鈭D，是否偏離了主線，然后從偏離的那個(gè)點(diǎn)開始，換條路繼續(xù)，直到成功。