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蒙特城堡位于阿普利亞北部，由神圣羅馬帝國皇帝弗里德里希二世在其生命的最后十年建造1。城堡矗立在被稱為穆爾日（Murge）的平原上的一座圓錐形小山上，緩緩地向大海傾倒。其獨特的八邊形外形，每個角落都有八角形塔樓，被陰影清晰地勾勒出來。鮮明的城墻突出了其立體感。蒙特城堡的幾何關(guān)系無需創(chuàng)造或猜測。它們只是存在于這座建筑中，它需要數(shù)學(xué)分析來幫助將其作為建筑對象進行評估，就像歷史分析、年代分析、藝術(shù)史分析和建筑史分析一樣。

圖29.1蒙特城堡。

當(dāng)然，我們必須忽略城堡的實際尺寸與明顯的設(shè)計目標(biāo)之間的微小偏差。建筑師在這里建造了一些小的偏差，例如，為了突出建筑的東翼。這并沒有貶低基本概念，恰恰相反。這些偏差顯然是基于一個明確的總體規(guī)劃。

幾何分析和定義

蒙特城堡的二維布局可以被確定為一個具有 16 個元素的對稱群：8 個反射平面和 8 個旋轉(zhuǎn)平面。這是一個自同構(gòu)群。這些對稱關(guān)系在所有游覽塔中都有體現(xiàn)（圖 29.2）。對稱的多重性通過同構(gòu)關(guān)系（即主樓的大八角形、內(nèi)庭院的八角形和置于同一軸線系統(tǒng)中的八個八角形塔樓之間的 "相似性"）得到了擴展。

圖29.2蒙特城堡的對稱群。

三個八邊形彼此“相似”的尺寸比由4/h (I):2h(II):2(2√2-1)h(III)給出，其中h是基本網(wǎng)格的網(wǎng)格尺寸(圖29.3)。三個八角形的邊長比為2a:a:c(√2-1)，其中a為庭院八角形的邊長。這里涉及的對稱群是D16型平面群，用J. M. Montesinos-Amilibia (1987)的符號表示。

圖29.3基本網(wǎng)格。

簡單的反射對稱在自然界中經(jīng)常出現(xiàn)，長期以來在建筑中發(fā)揮著重要的美學(xué)功能。還有其他一些數(shù)學(xué)關(guān)系同樣具有很強的美學(xué)效果，它們也出現(xiàn)在自然界中--例如，與五邊形有關(guān)的 "黃金比例"。蒙特城堡的建筑師清楚地意識到對稱在美學(xué)上的重要性。他利用這些對稱性實現(xiàn)了城堡令人印象深刻的外觀，至今仍影響著我們。

平面航拍照片（圖 29.4）顯示，構(gòu)成內(nèi)院的八角形的切線在八角形角樓的中心相交：它們形成一個八角星，星尖位于角樓的中心。這就提供了內(nèi)院和角樓之間的幾何關(guān)系，這種關(guān)系是通過上文討論的相似性關(guān)系建立起來的。

圖 29.4 蒙特城堡鳥瞰圖及幾何圖形。

《蒙特城堡》（Gotze，1984 年）一書中首次討論了這一關(guān)系，并給出了該布局的幾何結(jié)構(gòu)（圖 29.5、29.6 和 29.7）。馬克斯·科赫首先想到了幾何平面中的多重對稱所帶來的強烈美學(xué)效果，并將其定義為一種具有自身內(nèi)在美的幾何構(gòu)型（科赫，1991 年：221-233）。他將其描述為由正多邊形概括而成的八面體構(gòu)型，并根據(jù)以下原則進行構(gòu)建：

1. 該配置包括一個中心八邊形 O 的中心點和頂點，以及中心八邊形的八個較小的平移副本 OV 的中心點和頂點，所有副本的大小相等。

2. OV 的中心 MV 位于通過 O 的中心 M 和 O 的頂點的射線上。

3. 所有 MV 與 M 的距離相同。

4. 盡可能多的 O 和 OV 的頂點和中心是共線的；也就是說，它們位于共同的直線上。最后一個條件對美學(xué)構(gòu)造至關(guān)重要�？坪针S后討論了許多不同的可能共線排列。

圖29.5蒙特城堡幾何構(gòu)造中的第一步。

圖29.6蒙特城堡幾何構(gòu)造中的第二步。

圖29.7蒙特城堡幾何構(gòu)造中的第三步。

在圖 29.8 中，標(biāo)出了兩個這樣的 "交點"（即基本八邊形結(jié)構(gòu)中位于一條直線上的點）：連接八邊形中心 MaMv 的直線（或相當(dāng)于通過 c 和 b 的直線），以及兩個外部八邊形的切線。

圖29.8兩個共線排列。

除了圖 29.5、圖 29.6 和圖 29.7 所示的布局（需要羅盤和直尺）之外，漢諾威工業(yè)大學(xué)的馬塞爾-埃爾內(nèi)（Marcel Erne′）提出了另一種不需要羅盤的布局（圖 29.9）。

圖29.9布局的替代結(jié)構(gòu)。

在畫出一個直角后（如第一種構(gòu)造），我們將一個大正方形分成邊長為 h 的 16 個子正方形（如上圖 29.3）。h 可以看作是一個模量，其大小可以根據(jù)城堡的測量結(jié)果計算出來。下一步是創(chuàng)建第二個同樣大的正方形，并將其旋轉(zhuǎn) 45°，使新正方形的頂點位于原正方形主軸的延長線上。這就是通過旋轉(zhuǎn)正方形來構(gòu)建八邊形的經(jīng)典方法。第二種構(gòu)造的優(yōu)點之一是可以輕松計算所有線段的長度。

關(guān)系

構(gòu)成城堡外側(cè)內(nèi)墻的八邊形邊長由相交網(wǎng)格決定，是構(gòu)成內(nèi)部庭院的八邊形邊長的兩倍。八個外塔的寬度等于一個庭院邊長 a。

我們也可以使用網(wǎng)格尺寸 h 作為基本單位來代替 a�？梢酝ㄟ^測量塔樓的寬度或內(nèi)部庭院的邊長，從實際建筑中找到 a 的數(shù)量。雖然 h 作為構(gòu)建矩形網(wǎng)格的基本單位非常重要，但如何測量 h 卻不是很清楚。網(wǎng)格在布局的發(fā)展過程中起著至關(guān)重要的作用，估計在將圖紙轉(zhuǎn)化為建筑的實際建造過程中也起著關(guān)鍵作用。對于這種復(fù)雜的幾何構(gòu)型，如果不在施工現(xiàn)場進行全尺寸標(biāo)注，是不可能建造出來的。顯然，這也不可能是"手工"完成的，而必須使用現(xiàn)成的機械測量工具。以 h 為基本單位，我們可以得出以下結(jié)果（參見圖 29.3）：

1. 院墻外側(cè)與外墻內(nèi)側(cè)之間的距離為 h。

2. 從一面墻的中心到另一面墻的中心，內(nèi)部庭院的直徑是 2h。

3. 塔樓中心之間的距離也是 2h。

4. 塔樓的邊長為 b=a^2×h/2 ，外墻的厚度為 c=a^2/((2√2)h) 。

5. 城堡的總寬度為 (4√2)h。這個數(shù)學(xué)公式與幾何構(gòu)造相對應(yīng)。

值得注意的是√2的出現(xiàn)，盡管這并不奇怪，因為我們正在處理正方形和八邊形的構(gòu)造。

俄羅斯建筑歷史學(xué)家 M.S. Bulatov 指出，伊斯蘭建筑的特點是高度對稱和重復(fù)使用 √2（Bulatov，1988 年：98-104）。Bulatov 的解釋基于他自己對中亞建筑的仔細研究和調(diào)查，以及阿拉伯學(xué)者的著作。

如前所述，建筑工地上平面圖的實際標(biāo)注很可能是從確定外八邊形的兩個網(wǎng)格方格開始的。這在技術(shù)上是可行的，因為網(wǎng)格尺寸是所有其他測量的基礎(chǔ)。外八角形對角墻之間的距離為 36 米，約等于 120 羅馬英尺，這也說明了初始方格以及外八角形的重要作用。

蒙特城堡是由西多會石匠建造的。弗里德里希二世對這個在中世紀中葉的建筑中發(fā)揮了重要作用的修會有著深厚的感情。為了便于比較，請注意德國萊茵高地區(qū)埃伯巴赫修道院教堂的中殿也是由熙篤會建造的，其長度約為 71 米，即大約 240 羅馬英尺，正好是蒙特城堡相對墻壁內(nèi)側(cè)距離的兩倍。此外，維特魯威的法努姆大教堂的中央房間長 120 羅馬英尺，寬 60 羅馬英尺。

在所有三座建筑中，長度都是 60 羅馬英尺的倍數(shù)，因此與十六進制系統(tǒng)中的數(shù)字相對應(yīng)，十六進制系統(tǒng)自巴比倫天文學(xué)家時代起就已為人所知，在歐洲一直沿用到雷吉蒙塔努斯（Regiomontanus）的表格出現(xiàn)（1436-1476 年）。有鑒于此，將外八邊形的十六進制系統(tǒng)視為構(gòu)建布局的實際出發(fā)點似乎非常合理。這讓我們不禁要問，在這一歷史時期，設(shè)計歐洲建筑的這一非常獨特的想法可能源自何處。在同一時期建造的其他城堡（例如，德國中部的瓦特堡、萊茵河畔的馬克斯堡和蒙特勒附近的希永城堡，這里僅列舉三個不同地區(qū)的任意例子）的布局都與蒙特城堡的幾何構(gòu)型相去甚遠。英格蘭南部的古堡和法國北部的唐戎是另外兩個缺乏這種幾何結(jié)構(gòu)的例子。

建筑的實用性、肋拱的技術(shù)和柱頭的設(shè)計都是熙篤會石匠工作的一部分，他們致力于中歐的哥特式風(fēng)格。這對蒙特城堡本身的設(shè)計一無所知。即使是同時代的建筑師維拉德-德-霍內(nèi)庫爾（Villard d'Honnecourt）的著作中也沒有任何類似的內(nèi)容。沒有關(guān)于城堡設(shè)計歷史的書面記錄，我們也不知道建筑師是誰。但我們不必僅僅依靠猜測就能了解這座非凡建筑的創(chuàng)作過程，因為它的幾何構(gòu)造和內(nèi)在美感都非常明確。

在尋找相關(guān)建筑時，我們在十三世紀末繪制的航海圖 Carta Pisana 中發(fā)現(xiàn)了一個有趣的八角形羅盤，它與蒙特城堡的布局形狀完全吻合（圖 29.10）。

圖 29.10 蒙特城堡的幾何結(jié)構(gòu)疊加在比薩那之歌的復(fù)制品上（法國國家圖書館，Dep. des Cartes et Plans, Res. Ge. B1118）。

地中海航海圖主要源于阿拉伯語（包括阿拉伯語的科爾多瓦哈里發(fā)）。另外兩個例子包括制作于 14 世紀上半葉的地中海西部馬格里布航海圖（圖29.11），以及一幅不包含任何基本地理信息的兩朵對稱風(fēng)玫瑰圖（圖29.12）。

圖 29.11 馬格里布航海圖復(fù)制品上疊加的蒙特城堡幾何結(jié)構(gòu)。

另一方面，圖29.12中的兩幅風(fēng)玫瑰圖都清楚地顯示了底層方格網(wǎng)和交叉方格網(wǎng)的延伸網(wǎng)格線，這些網(wǎng)格線的交點決定了八芒星的頂點。

圖 29.12 蒙特城堡的幾何結(jié)構(gòu)疊加在兩朵風(fēng)玫瑰的復(fù)制品上。

Fuat Sezgin 仔細研究了航海圖（Sezgin，2000 年）。他引用歷史學(xué)家 Ibn Fadlallah al-'Umari（卒于 1349 年）的話說，航海圖總是包括風(fēng)玫瑰圖。此外，作為為科爾多瓦航海家 Abu Mahammad 'Abdalla B. Abi Nu' Aim al-Ansari al-Qurtubi 所做工作的一部分，Ibn Fadlallah al-'Umari 還報告說，只有四個主要方向和中間的四個方向有阿拉伯語名稱，即使風(fēng)玫瑰圖顯示的方向超過八個（最多32個）。顯然，八角星形式的風(fēng)玫瑰圖是由阿拉伯-西班牙水手共同開發(fā)的。蒙特城堡的布局設(shè)計采用了這種風(fēng)格的風(fēng)玫瑰圖，這清楚地表明了它的起源，也可能表明了建筑本身的含義。八角星的歷史比航海圖還要悠久。在科爾多瓦的 Umaiyaden 清真寺（公元 961-966 年）中的米哈拉布前的沖天爐肋骨上就有八角星。這座清真寺還包含交叉方形圖案的第一階段，在薩拉戈薩的烏邁亞迪-阿爾費利亞宮（十一世紀下半葉）的沖天爐上也可以看到這種圖案。

八角星的出現(xiàn)并不局限于地中海的阿拉伯地區(qū)，遠在波斯、印度和中亞也有出現(xiàn)。

正如這些例子所示，由交叉的正方形構(gòu)成的八角星是穆斯林世界廣泛使用的圖案，出現(xiàn)在許多場合。它被用于宗教建筑的拱頂以及風(fēng)玫瑰的形式，這表明它與天的概念有關(guān)。在本文的討論中，我們只需認識到其基本的幾何構(gòu)型，在使用它的地方，這種構(gòu)型被推崇，其特點是具有多種對稱性。

航海圖和阿爾罕布拉宮中類似形式的馬賽克（圖 29.13）展示了八芒星圖發(fā)展的另一個步驟：切線的交點，即星的頂點，用射線束來區(qū)分。

圖29.13蒙特城堡的幾何結(jié)構(gòu)覆蓋在阿爾罕布拉馬賽克照片上。

在這里，蒙特城堡建筑師的一個新想法開始發(fā)揮作用：他通過以較小的類似形式重復(fù)八邊形圖案來強調(diào)星星頂端的特殊位置。這些角樓不僅通過一條從其中心 Mv 到中央八角形中心 M 的直線連接起來，而且還與外墻和內(nèi)院的八角形構(gòu)成了一個完整的幾何系統(tǒng)（見上圖 29.2）。

有了這個新穎的想法，建筑師將對稱性提高了一個數(shù)量級，從而增強了整座建筑的美學(xué)效果。由于簡單的反射對稱已被視為建筑中的和諧元素，因此這種額外的對稱所產(chǎn)生的巨大效果也就不足為奇了。

假設(shè)我們將蒙特城堡建筑師的想法向前推進了一步，并根據(jù)塔樓側(cè)面的切線構(gòu)建出新的八角星（圖 29.14）。我們馬上就會發(fā)現(xiàn)，這些外星之間的幾何關(guān)系體現(xiàn)在更多的拼接上。

圖 29.14 蒙特城堡幾何形狀的進一步發(fā)展。

這并不是說蒙特堡的建筑師采取了這一額外的步驟。不需要建立城堡中的幾何關(guān)系，因為這些是基于包括八個外部八角形和兩個基本八角形的幾何系統(tǒng)。八顆外部星星的圖形與印度-阿拉伯建筑幾何學(xué)中發(fā)現(xiàn)的圖案相對應(yīng)，正如可以在德里胡瑪云陵墓中心的馬賽克(1565)中看到的那樣，星星沿著線排列，只在一個尖端相互接觸(圖29.15)。

圖29.15德里胡瑪云陵墓鑲嵌畫中的八角星。

八顆"衛(wèi)星"之間緊密的幾何聯(lián)系（如相鄰星點的接觸）進一步證明了塔樓的大小并非隨意選擇，而是遵循了幾何體系。這些聯(lián)系進一步證明了蒙特城堡幾何設(shè)計的完整性，是一個具有內(nèi)在美感的構(gòu)型實例。

正如馬克斯·科赫（Max Koecher）所觀察到的，基本八芒星的重復(fù)可以繼續(xù)下去，從而形成一個具有無限迭代可能性的分形（圖 29.16）。

圖 29.16 蒙特城堡幾何分形迭代的計算機渲染圖。

正如海德堡科學(xué)計算中心（Heidelberg Centre for Scientific Computing）所展示的那樣，該城堡的計算機圖形模型只需要這些規(guī)則就能實現(xiàn)完整的重建，這間接證明了該城堡設(shè)計所依據(jù)的幾何規(guī)則。

通過確定和分析蒙特城堡設(shè)計所依據(jù)的基本幾何形式的起源，確定了它與印度-阿拉伯幾何之間的聯(lián)系。然而，如此復(fù)雜的幾何分析即使在這一領(lǐng)域也是罕見的。因此，我們很自然地會問，這座城堡的設(shè)計靈感是否來自于這位皇帝本人？他對數(shù)學(xué)和建筑的興趣是眾所周知的。他的宮廷里有一批長期學(xué)者，其中包括阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家，如安提阿的西奧多魯斯，他與比薩的萊昂納多進行過數(shù)學(xué)通信。

這是比薩的列奧納多收集印度-阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)成果并將其傳播到整個歐洲的時期。阿拉伯學(xué)者保存并擴展了希臘數(shù)學(xué)的成就。列奧納多與弗里德里希二世及其宮廷保持著密切聯(lián)系。可以假設(shè)，鑒于弗里德里希二世對數(shù)學(xué)的興趣，他積極參與了這座城堡的設(shè)計，這座城堡可能象征著他的帝國的原則。

因此，具有非凡美學(xué)光芒的蒙特城堡不僅是一座無與倫比的藝術(shù)和建筑紀念碑，而且也是一座科學(xué)和文化紀念碑。它位于阿拉伯幾何世界和中歐哥特式世界的交匯處，代表了中世紀最重要的皇帝之一的統(tǒng)治精神。

參考文獻

BULATOV, M.S. 1988. Geometrische Harmonisierung in der Architektur Zentralasiens im 9–15 Jahrhundert (in Russian) 2nd edn. Moscow: Nauka.

GOTZE, Heinz. 1984. Castel del Monte, Gestalt und Symbol der Architektur Friedrichs I, 1st edn.Munich: Prestel-Verlag.

———. 1991. Die Baugeometrie von Castel del Monte. In Sitzungsberichte del Heidelberger Akademie der Wissenschaften, Phil.-hist. Klasse. (1991) 4.

KOECHER, Max. 1991. Castel del Monte und das Oktogon. In Miscellanea Mathematica. Heidelberg:Springer-Verlag.

MONTESINOS-AMILIBIA, J.M. 1987. Classical Tesselations and Three-Manifolds. Heidelberg:Springer-Verlag.

SEZGIN, Fuat. 2000. Mathematische Geographie und Kartographie im Islam und ihr Fortleben im Abendland. Historische Darstellungen 1 & 2. Geschichte des Arabischen Schrifttums, vols. 10 and 11. Leiden: E.J. Brill.

Heinz Gotze, Friedrich II and the Love of Geometry

青山不改，綠水長流，在下告退。

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