一題一課話作圖

宜昌市張欽博士“生動(dòng)課堂”示范課

2024年4月26日上午，在宜昌市第十六中學(xué)錄播教室，由宜昌市教科院初中數(shù)學(xué)教研員張欽博士給全市數(shù)學(xué)老師帶來了一節(jié)“生動(dòng)課堂”示范課《中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)之一題一課：幾何綜合問題——如何畫圖》，這個(gè)話題在張欽博士工作室壓軸題研題活動(dòng)中屢次被提及，圍繞如何教會(huì)學(xué)生作圖，并進(jìn)一步作好圖，從而更高效地研究數(shù)學(xué)問題，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要課題。

在前2分鐘時(shí)間，張博士開宗明義，站在整個(gè)初中幾何學(xué)習(xí)的高度，闡述了三大變換，并確定了研究幾何變換和幾何性質(zhì)間的關(guān)系，盡管我們在紙上作圖是靜態(tài)圖形，但頭腦中卻需要讓這些圖形動(dòng)起來，這意味著本節(jié)課所要研究的問題，正是中考?jí)狠S題最常見的幾何動(dòng)態(tài)問題，順便點(diǎn)明課題，如何畫圖。

其實(shí)這近3分鐘的內(nèi)容，可以認(rèn)為是給學(xué)生講初中幾何變換和幾何性質(zhì)的關(guān)系，更大程度上是講給聽課老師們，也可稱之為“聽課指南”。

本節(jié)課所要研究的數(shù)學(xué)題如下：

試題來源是2022年浙江省紹興市中考數(shù)學(xué)第24題，也是最后一道壓軸題，通常情況下選擇幾何綜合作為壓軸題的地市，幾何命題質(zhì)量非常高，可供挖掘的東西也非常多，正如課堂上張博士所講，雖然看上去是軸對(duì)稱變換，但實(shí)際上也包含旋轉(zhuǎn)變換、相似等。

給學(xué)生審題時(shí)間，然后第1小題很快便解決了，簡單講了正確結(jié)論及方法，轉(zhuǎn)到第2小題。

有一名男生的思路非常快，我留意到他在上臺(tái)作圖時(shí)，使用了規(guī)范的尺規(guī)作圖，而不是估計(jì)作圖，并且描述解題過程時(shí)，思路非常清晰，如下圖：

這個(gè)學(xué)生優(yōu)秀之處在于，他已經(jīng)通過思考，發(fā)現(xiàn)了此時(shí)的點(diǎn)E在邊CD上，并且作圖順序是先找到點(diǎn)N，再去畫點(diǎn)E，這和普通學(xué)生的作圖并不相同，如果是先把點(diǎn)E在圖上描出來，再去作點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)，由于事先并不清楚點(diǎn)N的具體位置，很有可能出現(xiàn)較大的誤差，所以作圖前先進(jìn)行了推演，用他的話講“由于點(diǎn)N與點(diǎn)D是關(guān)于BE對(duì)稱的，所以BD=BN，前面已經(jīng)計(jì)算出BD=10，而BC長度只有8，所以點(diǎn)N落在BC延長線上，必定在C右側(cè)2個(gè)單位處”，非常精彩！正好印證了幾何變換與幾何性質(zhì)的關(guān)系。

并在這個(gè)環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生明白作圖時(shí)，如果點(diǎn)的位置不好確定，那么可以先畫容易確定的點(diǎn)，再由幾何性質(zhì)去推導(dǎo)剩下的點(diǎn)的位置并作圖。

學(xué)生講解求DE的過程，很順暢，雖然途中有口誤，但解答結(jié)果正確，只是個(gè)人認(rèn)為，解法簡潔程度上還可以優(yōu)化，如下圖：

仍然由該學(xué)生所得△ACE∽△DCN出發(fā)，tan∠CBE=tan∠CDN=1/3，求出CE=8/3，所以DE=6-8/3=10/3；

不過另一位女生也提出了新的方法，即利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等，作垂線，如下圖：

然后在△DEF中用勾股定理列方程來求DE，也是不錯(cuò)的思路。

當(dāng)然還有更多方法，例如連接EN利用勾股定理，但無論哪一種，角平分線也好，垂直平分線也好，都是軸對(duì)稱圖形，利用了軸對(duì)稱的性質(zhì)，再一次點(diǎn)題。

在這一小題的解法中，第一位男生給出的解法是證明△ABD≌△MBN，后面張博士點(diǎn)評(píng)很到位，其實(shí)這兩個(gè)三角形本身也是關(guān)于BE軸對(duì)稱的，此時(shí)如果用軸對(duì)稱效果會(huì)更好，更進(jìn)一步，∠ABN和∠MBD這兩個(gè)角也是關(guān)于BE軸對(duì)稱的，則∠ABN=∠MBD=90°，最后得到∠MBD+∠BMN=180°，于是BD∥MN。

第3小題，作圖非常重要，在張博士引導(dǎo)下，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，只要將第2小題的圖中點(diǎn)E向上“抬一點(diǎn)”，就可以讓MN經(jīng)過點(diǎn)C，然后就是學(xué)生自行嘗試作圖，我身邊的小組內(nèi)，有不少成功找到了能讓MN經(jīng)過點(diǎn)C的位置，盡管是草圖不精確。

課堂上張博士專門解釋了草圖的作用，黑板上也示范了畫草圖，作為聽課者，我也認(rèn)為，作草圖，實(shí)際上對(duì)學(xué)生的作圖思維有極大幫助，本小題中的點(diǎn)E確實(shí)可以通過嘗試得到，最終作出的圖大致符合MN過點(diǎn)C，在這個(gè)過程中，學(xué)生會(huì)自然尋求更精確的方法，有的學(xué)生將原先不太精確的擦掉，將點(diǎn)E再次上移，得到更精確的圖，甚至還有學(xué)生重復(fù)了兩次，在學(xué)生筆下，圖是靜態(tài)的，然而此時(shí)學(xué)生的頭腦中，圖已經(jīng)動(dòng)了。

當(dāng)點(diǎn)E在CD邊上的時(shí)候，結(jié)果已經(jīng)出來一種了，如下圖：

有一名女生思路講得很好，說明課堂進(jìn)行到這個(gè)時(shí)候，學(xué)生基本沒有遇到什么障礙。

接下來拋出的問題，才是整堂課最精彩之處，是否只有一個(gè)E點(diǎn)位置滿足“直線MN經(jīng)過點(diǎn)C”？

從現(xiàn)場學(xué)生反應(yīng)來看，多數(shù)學(xué)生立刻明白，當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上時(shí)，應(yīng)該還有一處位置能使MN經(jīng)過點(diǎn)C，但繼續(xù)追問，當(dāng)點(diǎn)E在CD邊上時(shí)，是否只有剛才畫出的點(diǎn)E滿足條件呢？

有了剛才的作圖經(jīng)驗(yàn)，圖形在學(xué)生頭腦中動(dòng)起來，便可以描述出結(jié)果了，這從學(xué)生現(xiàn)場描述語言可以看出來，剩下一處應(yīng)該是當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上。

在這個(gè)環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手作圖，學(xué)案上為學(xué)生準(zhǔn)備了多個(gè)備用圖，就是提供了作圖的情景，在這個(gè)情景中，學(xué)生通過作草圖，作靜態(tài)的草圖，從而讓整個(gè)圖形在大腦中動(dòng)起來，實(shí)現(xiàn)由靜到動(dòng)的過程。

同時(shí)這個(gè)過程也極考驗(yàn)教師的耐性，我們在很多所謂“高效”課堂上，為了節(jié)省時(shí)間，教師用幾何畫板代替了學(xué)生作圖，方便快捷地用動(dòng)畫直接告訴學(xué)生，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生幾何構(gòu)圖能力是極大的傷害，這個(gè)時(shí)候，不能怕拖進(jìn)度，并且在學(xué)生作圖時(shí)，要巡視到位，盡可能到每一位學(xué)生身邊，看下他們作圖的過程，收集足夠的課堂信息。

當(dāng)學(xué)生在AD邊上尋找適合的點(diǎn)E位置時(shí)，有一部分發(fā)現(xiàn)了MN會(huì)經(jīng)過點(diǎn)E，于是順勢在課堂上提問，為什么會(huì)經(jīng)過點(diǎn)E？

其實(shí)根據(jù)題目條件，AD與MN關(guān)于直線BE對(duì)稱，由軸對(duì)稱性質(zhì)，它們的交點(diǎn)一定在對(duì)稱軸上，故MN必經(jīng)過點(diǎn)E，這就引導(dǎo)學(xué)生完成了必然性探究。并在這個(gè)時(shí)機(jī)，引出了反演原則。

至此，解出本小題的結(jié)果已經(jīng)水到渠成，不再贅述。然而本節(jié)課的高潮，正借此展開。

學(xué)生此時(shí)也一定有所感悟，滿足條件的點(diǎn)E位置是確定的，也是一定能夠精確畫出來的，那么剛才的草圖，顯然是不夠的，本著“知其然更要知其所以然”的探究思想，繼續(xù)在本題之后研究如何精確畫出點(diǎn)E，并借此向?qū)W生展現(xiàn)反演原則的大幕，讓這節(jié)課在思想上更深一層，達(dá)到普通課堂所不能企及的高度。

這個(gè)班的學(xué)生精神狀態(tài)非常好，并沒有一般班級(jí)里，得到答案之后便急著去完成下一道題（雖然學(xué)案上也有），而是靜靜地思考張博士提出的為什么，這十分難能可貴，班級(jí)原數(shù)學(xué)老師培養(yǎng)的探究習(xí)慣此時(shí)便展現(xiàn)了出來。

由于對(duì)稱性，AB=BM，因此點(diǎn)M一定在以A為圓心，AB為半徑的定圓上，而我們兩次探究出的點(diǎn)E位置下，∠BMN=90°，且這個(gè)直角所對(duì)的是定長線段BC，所以聯(lián)想到以BC為直徑的圓，兩圓分別有兩個(gè)交點(diǎn)，恰好是點(diǎn)M兩種位置，如下圖：

這就讓學(xué)生意識(shí)到，原來我們是可以精確地作出點(diǎn)E位置的，并且是先找到點(diǎn)M，再找點(diǎn)E，至此解決了點(diǎn)E的確定性問題，比起解答原題，更進(jìn)了一步，然而還沒有完，繼續(xù)升華中……

張博士以化妝鏡為例，生動(dòng)演繹了關(guān)系映射反演原則，對(duì)于那些已經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣的學(xué)生，無疑是打開了一扇新大門，門后的精彩呼之欲出，雖然現(xiàn)在只是一條門縫，也足以讓這些學(xué)生窺到前所未見的境界，埋下一顆探究的種子。

這個(gè)時(shí)候，這節(jié)課所呈現(xiàn)的，已經(jīng)不僅僅是解題，也不僅僅是復(fù)習(xí)課教學(xué)，而是提升到了一個(gè)新的高度，普通一線教師難以達(dá)到的高度。

這節(jié)課的第一層，教會(huì)學(xué)生解題，這個(gè)任務(wù)完成得非常高效，事實(shí)上如果學(xué)生完成這道題所花費(fèi)時(shí)間并不會(huì)很長；第二層，教會(huì)學(xué)生作圖，這已經(jīng)比單純解題更進(jìn)一步了，雖然是作草圖，但作圖之前要先算，胸有成竹，依靠的是平時(shí)的大量觀測與思考；第三層，數(shù)學(xué)思想方法的進(jìn)化，從解題到教學(xué)，升華了整節(jié)課。

正如張博士在課堂上所講，題目只不過是個(gè)載體，背后的數(shù)學(xué)思想方法才是學(xué)生最大的收獲，用數(shù)學(xué)去描述世界，用數(shù)學(xué)去思考世界。

這也給了廣大一線教師更廣泛的思考，一節(jié)課，我該怎么上，學(xué)生收獲才最大？這節(jié)課也只是個(gè)引子，后續(xù)的精彩篇章，仍將由全體初中數(shù)學(xué)教師們共同完成。