“特形”出定值

2024年浙江省中考一模第23題

幾何中的定值問題，通常情況下的幾種解題思路：①直接求出數(shù)值；②構(gòu)建特殊圖形（簡稱“特形”）例如等邊三角形、正方形、特殊直角三角形等，利用它們的邊長間的數(shù)量關(guān)系求解；③設(shè)參表示線段長或坐標，求比值過程中參數(shù)消掉得定值；④數(shù)形結(jié)合，利用函數(shù)求定值。當(dāng)然實際解題過程中，遠不止以上幾種思路，基于它們的拓展方法更豐富。無論采取哪一種，要看題目條件的設(shè)置，以及讀題過程中的理解。

題目

解析：

01

(1)我們連接AC和CE，如下圖：

由A、E兩點坐標可知y軸是線段AE的垂直平分線，于是AC=CE，同時在圓E中，CE=AE，于是得到等邊△ACE，所以∠AEC=60°，∠CEB=120°，即弧BC所對的圓心角是120°，順便可得AC=AE=2，后面推導(dǎo)時需要；

02

(2)觀察圖中的線段OG，端點O是CP中點，端點O是CD中點，于是順理成章構(gòu)造中位線，連接DP，如下圖：

OG是△PCD的中位線，所以DP=2OG，我們只需要觀察當(dāng)點P在何處時DP最大即可，顯然DP的身份是弦，圓中最長的弦是直徑，所以當(dāng)DP經(jīng)過點E時成為直徑，此時最長，DP=4，最后求得OG=2；

03

(3)本小題采用導(dǎo)角的方法，如下圖：

由角平分線得∠DCQ=∠PCQ，而∠ACQ=∠ACD+∠DCQ，∠AQC=∠APC+∠PCQ，請注意∠ACD和∠APC，它們所對的弧分別是弧AD和弧AC，由垂徑定理可知弧AD=弧AC，于是∠ACD=∠APC，因此∠ACQ=∠AQC，所以AQ=AC=2；

04

(4)方法一：

過點A分別向PC延長線、PD作垂線，如下圖：

前面我們求得弧BC所對圓心角是120°，弧AC所對圓心角是60°，于是∠APC=30°，同時由垂徑定理得弧AC=弧AD，弦AC=弦AD，∠APD=30°，所以很容易證明圖中△ACF≌△ADG，所以CF=DG，并且△APG和△APF也是一對全等三角形，并且還都是含30°角的特殊直角三角形，可得PC+PD=(PF-CF)+(PG+DG)=PF+PG，而PF=√3/2PA=PG，所以PC+PD=√3PA，最后求得(PC+PD)/PA=√3；

方法二：

作∠PAM=∠CAD=120°，交PC延長線于點M，如下圖：

由輔助線作法，易得△PAM為頂角為120°的等腰三角形，PA=MA，題目給出了AD=AC，再由∠PAM-∠PAC=∠CAD-∠PAC得∠MAC=∠PAD，可證△ACM≌△ADP，這樣CM=DP，我們成功將PC+PD轉(zhuǎn)換成了PM，在△PAM中，PM=√3PA，即PC+PD=√3PA，結(jié)果仍然求出比值為√3.

解題反思

一般在講完一道題之后，我會問學(xué)生，特別是那些開始不太明白，后來才聽明白的學(xué)生，你印象最深的環(huán)節(jié)在哪里？多數(shù)學(xué)生會說出某個步驟是自已沒想到的，此時作為教師，應(yīng)該敏銳察覺到學(xué)生思維中的共性，這個步驟老師是如何解決的，并重點在反思中告訴他們，這正是聽教師講完題目后需要記住的東西，從而完成一道題目從不懂到懂的過程。

這道幾何綜合題，其實不算很難，都是常規(guī)解題思路，并且各小題難度分布合理，呈階梯狀。

學(xué)生對于最后一問中，比值是定值的理解上，如果首先就想到將兩條線段“拼”成一條線段，那幾乎就成功了一半，如果還能想到∠APC=∠APD=30°，以上兩種方法都有可能想到，對于圓內(nèi)的角來講，圓周角是最常用的導(dǎo)角手段。

一節(jié)講題課，學(xué)生收獲最大的時刻，就是在反思環(huán)節(jié)，而教師最大的收獲，也在教學(xué)反思環(huán)節(jié)，師生共同在思考中進步。