聊聊幾何中檔題的“偽證”

在每次網(wǎng)上閱卷的過(guò)程中，最不喜歡面對(duì)的是幾何中檔題，幾乎每個(gè)學(xué)生都能動(dòng)筆，并且證明方法也多，閱卷壓力非常大，尤其是一些似是而非的證明書(shū)寫(xiě)，極易混淆視覺(jué)，通常我們稱之為“偽證”。

“偽證”的特點(diǎn)，是看上去像是正常證明過(guò)程，例如全等三角形的判定，三個(gè)條件都寫(xiě)好了，也符合書(shū)寫(xiě)規(guī)范，然而細(xì)看之下，至少一個(gè)條件未經(jīng)證明或書(shū)寫(xiě)錯(cuò)誤，甚至三個(gè)條件全部是湊數(shù)，這種形式主義有害無(wú)益，若是閱卷老師稍不留神，就容易變成漏網(wǎng)之魚(yú)，增添了這些學(xué)生的僥幸心理，讓“偽證”市場(chǎng)又多了一個(gè)成功學(xué)案例。

案例一

如圖，AE∥BF，BD平分∠ABF，且交AE于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DC∥AB交BF于點(diǎn)C，求證：四邊形ABCD是菱形.

先說(shuō)正經(jīng)思路：先證平行四邊形，再證菱形。

按這個(gè)思路進(jìn)行，則第一步很容易在題目中找到條件，即AE∥BF，DC∥AB，然后就可以進(jìn)行下一步，證明其有一組鄰邊相等，由BD是角平分線，得到∠ABD=∠CBD，再由平行線間的一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，∠CBD=∠ADB，完成等量轉(zhuǎn)換，得到∠ABD=∠ADB，從而利用等角對(duì)等邊，得到AB=AD，即完成了整個(gè)證明思路。

然而在閱卷過(guò)程中，我們卻發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生在使用全等三角形……

學(xué)生解一：證明△ABD≌△CDB，請(qǐng)注意這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，這還是正確的，然后得到AB=CD，AD=CB，繼續(xù)利用角平分線和平行線，證明了AB=AD，然后得到了AB=AD=CD=CB，這并無(wú)問(wèn)題，利用四條邊相等的四邊形是菱形；

學(xué)生解二：證明△ABD≌△CDB，然后得到AB=AD=CD=CB，所以得到菱形……

學(xué)生解三：證明△ABD≌△CBD，請(qǐng)注意對(duì)應(yīng)關(guān)系，理由是兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再加公共邊，然后就得到AB=AD=CD=CB，所以得到菱形……

學(xué)生解四：連接AC，證明兩對(duì)全等，同樣也得到AB=AD=CD=CB，所以得到菱形……

學(xué)生解五：由任意三個(gè)條件判斷全等……

閱卷反思

證明一個(gè)四邊形是菱形，可以走的路有很多，我們?cè)谔厥馄叫兴倪呅握鹿?jié)復(fù)習(xí)時(shí)，會(huì)有這樣一個(gè)思維導(dǎo)圖：

看上去錯(cuò)綜復(fù)雜，實(shí)質(zhì)上，只有最左邊紅色思維線是最基礎(chǔ)的，其余的思路都是基于它，這也是為什么兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，我們稱之為定義，它們就是概念，其余的判定定理身份不同，是在概念基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的較為快捷的證明方法。

在平時(shí)練習(xí)的過(guò)程中，無(wú)論師生，都會(huì)犯這樣一種錯(cuò)誤，認(rèn)為新方法一定比舊方法省事、高效，至于定義，那是最原始的，最不好用。這種認(rèn)知嚴(yán)重與新課標(biāo)下的改革理念違背，初中數(shù)學(xué)，最重要的恰恰是最原始的概念，那些花團(tuán)錦簇的判定定理、解題方法、模型套路，都生長(zhǎng)在這個(gè)基礎(chǔ)之上，哪怕是學(xué)霸思維，也是先用概念去理解題目條件，再去選擇合適的解題方法，只不過(guò)這個(gè)思維過(guò)程快如閃電，外表看上去一眼就找到了答案。于是就有學(xué)生羨慕，然后模仿，但如果不得精髓，就是東施效顰，把一些僥幸得分的套路當(dāng)作法寶，自封學(xué)霸。

在這個(gè)案例中，我們發(fā)現(xiàn)相當(dāng)多的學(xué)生選擇證明四條邊相等的四邊形是菱形，這個(gè)思路本沒(méi)有錯(cuò)，但和正經(jīng)思路相比，書(shū)寫(xiě)起來(lái)也便宜不了多少，甚至還不如它。在證明全等三角形的過(guò)程中，暴露的更多是形式主義，課堂上看到老師和同學(xué)們寫(xiě)的格式，以為那就是方法，然后題目也沒(méi)細(xì)看，或者沒(méi)看明白，隨意湊三個(gè)條件寫(xiě)上去，就得到了全等。

案例二

四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AB=AD，AC是圓O的直徑，過(guò)點(diǎn)A作MN∥BD

(1)如圖1，求證：MN是圓O的切線；

(2)如圖2，當(dāng)AB=2√3，∠BAD=60°時(shí)，連接DO并延長(zhǎng)，分別交AM，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，交圓O于點(diǎn)G，求圖中陰影部分的面積.

我們分步驟來(lái)看

第一小問(wèn)，正經(jīng)思路是證明AC⊥MN，由于AC是直徑，得到∠ABC=∠ADC=90°，再結(jié)合題目給的AB=AD，利用HL證明全等，于是BC=DC，從而得到AC是BD的垂直平分線，再M(fèi)N∥BD，得到AC⊥MN；

多數(shù)學(xué)生采用的就是這種思路，因此得分率也較高，然而總會(huì)有幾個(gè)另類。

學(xué)生解一：將AC，BD交點(diǎn)標(biāo)為E點(diǎn)，由AB=AD，AE=AE，用HL證明△ABE≌△ADE，至于它們?yōu)槭裁词侵苯侨切?，沒(méi)證明，看上去像就是了；

學(xué)生解二：證明△ABC≌△ADC，這步?jīng)]問(wèn)題，再證明△ABE≌△ADE，然后得到∠BAE=∠DAE，在等腰△ABD中用三線合一證明AC⊥BD，再證明AC⊥MN，這一路走得甚為坎坷，但也總算成功抵達(dá)；

學(xué)生解三：由AB=AD，AC是直徑，直接就得到了AC⊥BD，并且還很貼心地標(biāo)注垂徑定理……

閱卷反思

雖然學(xué)生在證明切線的時(shí)候，都想到了利用切線的判定定理，經(jīng)過(guò)直徑的外端，且垂直于直徑的直線是圓的切線，但在證明垂直結(jié)論的時(shí)候花樣百出，題目條件給出AB=AD，本身就是為了引導(dǎo)學(xué)生利用三線合一，但是必須證明它是角平分線、中線、高三者之一，說(shuō)明學(xué)生在理解三線合一定理的時(shí)候，停留在了字面意思，忘記了定理背后的邏輯。

第二小問(wèn)，正經(jīng)思路很多，題目給出∠BAD=60°之后，首先得到等邊△ABD，這是后面解法的基礎(chǔ)，然后設(shè)法將陰影部分的面積表示成三角形面積減掉扇形面積即可。

在證明過(guò)程中，有一個(gè)關(guān)鍵結(jié)論，DF⊥AB，在閱卷過(guò)程中，多種方法都涉及到這個(gè)結(jié)論，用于構(gòu)造含30°角的直角三角形，并利用其三邊關(guān)系求邊長(zhǎng)，包括半徑OA和線段AE，于是在如何得到DF⊥AB上，學(xué)生們“精彩紛呈”。

學(xué)生解一：由等邊△ABD是圓內(nèi)接三角形，直接得到點(diǎn)O是中心，即三心合一，但這并不是教材中的定理，只是我們?cè)趯W(xué)習(xí)探索圓內(nèi)接正多邊形時(shí)的一個(gè)結(jié)論，所以使用這種未被納入的定理，邏輯上跳躍性太大；

學(xué)生解二：由等邊△ABD中，AC⊥BD，利用三線合一得到AC是BD垂直平分線，于是直接得到DF⊥AB……

學(xué)生解三：由等邊三角形ABD，連接OB，由AD=BD，OA=OB得到DO是AB垂直平分線，這是比較聰明的思路，沒(méi)問(wèn)題；

學(xué)生解四：求出△ADE面積，然后減掉“扇形ADG”的面積，這顯然是圖形認(rèn)知錯(cuò)誤；

學(xué)生解五：由等邊△ABD，直徑DG，直接得到DG⊥AB……

學(xué)生解六：先證明等腰△ADE，再證明AE三線合一，殊不知，在證明等腰△ADE的過(guò)程中，求陰影部分面積的條件基本已具備，這屬于多此一舉了。

閱卷反思

在幾何中檔題里出現(xiàn)特殊圖形，例如等邊三角形，特殊直角三角形等，學(xué)生極容易用直觀代替證明，用曾經(jīng)解過(guò)的習(xí)題結(jié)論當(dāng)作推導(dǎo)依據(jù)，若在平時(shí)，可能老師批改時(shí)會(huì)有所忽略，但這就留下了隱患，這在選擇填空題，并不會(huì)有多大困擾，但這是需要書(shū)寫(xiě)規(guī)范過(guò)程的時(shí)候，所以邏輯上就出現(xiàn)了混亂。

若要糾正學(xué)生的這種答卷失誤，需要在幾何教學(xué)過(guò)程中嚴(yán)格要求，我們?cè)谄吣昙?jí)初次接觸幾何證明的時(shí)候，需要詳細(xì)注明每一步的理由，這個(gè)習(xí)慣要養(yǎng)好，不要怕麻煩，當(dāng)初偷的懶，現(xiàn)在都要還。

即使在更高年級(jí)學(xué)習(xí)幾何證明，不再要求書(shū)寫(xiě)每一步的理由，也要設(shè)法創(chuàng)造場(chǎng)景讓學(xué)生口述理由或思路，養(yǎng)成每步推理必有理的習(xí)慣。