女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

計算機圖形學不僅能將許多眾所周知的現象可視化，還能為研究數學問題，尤其是幾何問題提供一種新方法。可以說，在過去幾年中，數學的一個新分支正在發(fā)展，它被稱為“可視數學”[6]。計算機圖形學作為一種新的探索媒介所具有的巨大潛力，在該技術問世后不久就被數學家們所認識。隨著顯示設備和編程方法的日益成熟，計算機圖形學在數學問題上應用的深度和廣度也在不斷增加。但這并不意味著藝術家和數學家在數學課題上不再有手工繪圖和插圖的空間。

荷蘭圖形藝術家埃舍爾（M.C. Escher）的生平和作品是藝術與數學之間關系最有趣的例子之一。在Michele Emmer始于 1978 年的 "藝術與數學 "項目中，這個話題被多次提及。在過去的二十年里，該項目制作了電影、錄像帶、軟件以及許多 "傳統(tǒng) "論文和書籍。在這個項目中，Michele Emmer制作了一部關于埃舍爾作品的電影和一段視頻，其中有數學家羅杰-彭羅斯爵士（Sir Roger Penrose）和考克斯特（H.S.M. Coxeter）以及晶體學家卡羅琳-麥吉拉弗里（Caroline MacGillavry）的評論[4]。在制作視頻時，Michele Emmer的想法是使用這位荷蘭藝術家的原畫制作所有動畫，以制作一部 "埃舍爾模式 "的電影。埃舍爾并不了解計算機制圖，因為他于 1972 年去世，當時這項技術尚未普及。

在數學家、科學家和藝術家的合作下，各方還組織了一些會議和展覽。國際會議 "M.C.埃舍爾：埃舍爾：藝術與科學 "國際會議于 1985 年在羅馬舉行[3]，1998 年在羅馬和拉韋洛舉行的埃舍爾百年紀念會議重點討論了埃舍爾作品的視覺、數學和藝術方面。(為這次大會建立了一個網站：
http://mercurio.mat.uniromal.itlescher981）

平面藝術家 M. C. 埃舍爾（1898-1972 年）

莫里斯·科內利斯·埃舍爾出生于 1898 年。他的故事很不尋常：在很長一段時間里，他的作品幾乎完全不為人知，也不被人欣賞。在意大利的 20 年中，他只舉辦過幾次展覽。然而，在 20 世紀 60 年代的某一時刻，他的名氣開始增大，尤其是在科學家、數學家、物理學家和晶體學家中間。埃舍爾與科學家（尤其是數學家）的關系史對于了解這位荷蘭藝術家如何看待自己的作品相當有趣。埃舍爾的第一次大型作品展是在 1954 年阿姆斯特丹國際數學家大會期間舉辦的。這次展覽除了向數學家們介紹埃舍爾的作品外，還讓埃舍爾有機會結識了唐納德·考克斯特（H.S.M. (Donald) Coxeter）和羅杰·彭羅斯（Roger Penrose），并與他們建立了長期而富有成效的關系。

數學家 N.G. de Brujin 在 1954 年展覽目錄的導言中寫道，他感興趣的不僅是埃舍爾的幾何圖形，他還著迷于發(fā)現數學中同樣存在的想象力，對許多學者來說，這種想象力是他們工作中最有趣的部分。N.G. de Brujin還說，大會與會者會驚訝地發(fā)現，他們的想法是以如此不同的方式表達出來的。顯然，即使在當時，數學家們也意識到埃舍爾并不僅僅是科學和數學思想的插畫家，而是以一種不同尋常的方式表達了更深層次的東西。

埃舍爾將自己定義為平面藝術家，這并非毫無道理。在1965年獲得希爾弗瑟姆市文化獎時，他在獲獎感言中解釋道：

如果我沒弄錯的話，“藝術”和“藝術家”這兩個詞在文藝復興之前或期間并不存在:只有建筑師、雕塑家和畫家在從事一門手藝。

印刷是另一門誠實的手藝，我認為能成為平面藝術家協會的會員是我的榮幸。用鑿子切割，用鏨子在絕對光滑的磨光木塊上雕刻，這并不是什么值得驕傲的事情--這只是一件好工作。只是隨著年齡的增長，速度會越來越慢，難度會越來越大，木屑也不會像以前那樣在工作間里亂飛。

因此，雖然我覺得 "藝術家 "這個稱謂很難堪，但我是一個有血有肉的平面藝術家。[1，第 125 頁]和[7，第 22 頁］

埃舍爾說，他一生中最重要的事件發(fā)生在1938年，當時埃舍爾一家在長期居住后離開了意大利?！霸谌鹗俊⒈壤麜r和荷蘭……我發(fā)現這里的景觀和建筑的外觀不像意大利南部那樣引人注目。因此，我感到不得不從我周圍的或多或少直接和現實的說明中退出。毫無疑問，這種情況在很大程度上促成了我內心的幻想?！盵8，第7頁]

他的第一本書《埃舍爾的圖形作品》中的所有插圖作品，除了前七幅之外，都是為了傳達這些內部幻象的細節(jié)而創(chuàng)作的。埃舍爾說："這些作品的基本思想往往見證了我對我們周圍世界運行的自然法則的驚奇和驚嘆。驚嘆者會發(fā)現，這本身就是一個奇跡。通過敏銳地直面我們周圍的謎團，通過思考和分析我所做的觀察，我最終進入了數學領域。雖然我完全沒有受過精密科學的訓練，也沒有精密科學的知識，但我與數學家的共同之處似乎常常多于與我的藝術家同行的共同之處"。[埃舍爾的最后兩句話完美地概括了這位藝術家與科學界建立的關系。埃舍爾本人認為科學家是他的特權觀眾，這一點毋庸置疑。

埃舍爾逝世于1972年，因此沒有機會見證他的木刻和石版畫所經歷的流行熱潮。如今，從設計師到計算機圖形專家，從科學家到精神分析師，從學生到建筑師，他的作品在全世界家喻戶曉。埃舍爾這位藝術家得到了大眾的廣泛認可，卻很少得到藝術史學家的關注。

埃舍爾：視頻

第一本埃舍爾作品集《M.C. 埃舍爾的世界》[10] 的書名非常貼切。埃舍爾創(chuàng)造了自己的世界，這個世界由精心構建的圖像組成，是一個既夢幻、充滿想象力，又現實、連貫而超脫的魔幻世界，他用一雙顯然缺乏情感的眼睛來觀察這個世界。埃舍爾是一位注重微小細節(jié)的藝術家，這些微小的元素造成了不穩(wěn)定性，擾亂了表面平靜的整體。關于這一點，數學家布魯特（C.P. Bruter）寫道，眼睛會產生局部圖像，這些圖像一點一點地投射到一個共同的容器上，可能會被復制幾百萬次。這些由觀眾眼球運動所勾勒出的軌跡所定義的單個地圖的構建，使人們能夠構建出一個穩(wěn)定而有序的周圍空間圖像。埃舍爾的繪畫只是看起來很奇怪，因為每個單獨的圖像都忠實地再現了現實。[2, p. 222]

這是使用電影攝影機來研究埃舍爾作品的第一個原因：電影技術首先讓我們把注意力集中在電影制作者想讓我們看到的東西上。電影迫使我們把自己當作埃舍爾世界的一部分來看待。我們不會被任何其他東西分心。第二個原因是埃舍爾的繪畫技巧非常精確細致。電影技術使我們既能將這些微小的細節(jié)分離出來，又能將它們放大許多倍，從而欣賞到藝術家的精確手法。使用電影的另一個重要因素是，電影迫使觀看者看到屏幕上的事物按照一定的順序快速流逝。埃舍爾的許多作品就像一個故事，必須按照埃舍爾自己提出的順序來觀察。在這幾個方面，電影攝影機允許對埃舍爾的作品進行非常精確和準確的分析。

埃舍爾本人也建議使用電影技術。他在《平面規(guī)則分割》一書中寫道：

在這本書中，首先出現的是圖像而不是文字... 對我來說，本書的六幅木刻中所展示的白色和黑色圖形的游戲是屬于數學領域還是藝術領域，這仍然是一個未決問題。......[1，第 155 頁]和[7，第 92 頁］

......第一幅木刻......清楚地表明，通過連續(xù)漸變的圖形可以創(chuàng)作出圖畫中的故事。與此類似，中世紀的藝術家們用一系列靜態(tài)圖畫來描繪圣人的生活......。觀察者需要依次觀看每個階段。由于整個故事需要一定的時間，這一系列靜態(tài)的表現形式便具有了動態(tài)的特征。電影放映與此形成鮮明對比。圖像一個接一個地出現在靜止的屏幕上，而觀察者的視線則是固定不動的。而在中世紀的圖畫故事和平面規(guī)則分割的發(fā)展模式中，圖像是并排出現的，時間因素被轉移到了觀察者的眼睛從一幅圖像到另一幅圖像的移動過程中。[1, 第 158 頁] 和 [7, 第 98 頁］

埃舍爾的《變形》版畫是"一連串逐漸變化的圖形"的一個非常重要的例子，它總結了埃舍爾所注意到的各個方面。特別是他的《變形II》，在我們看來是一個完美的電影序列。我們把這件作品的動畫作為視頻的最后一個序列。埃舍爾在《平面規(guī)則分割》中題為 "變形 "的章節(jié)中，對這幅作品中的一個圖像序列作了如下描述：

首先，黑色的昆蟲剪影組合在一起；在它們接觸的瞬間，白色背景變成了魚的形狀。然后，人物和背景變換了位置，可以看到白色的魚在黑色背景中游動...........。[一連串的人物形象經過多次變形后，便具有了動態(tài)特征。上文我指出了投影在銀幕上的一系列電影畫面與平面規(guī)則分割中的一系列圖形之間的區(qū)別。雖然在后者中，圖形是同時并排顯示的，但在這兩種情況下，時間因素都起著作用。[1，第 170 頁] 和 [7，第 120 頁］

1964年，埃舍爾去加拿大看望他的兒子喬治。他受到美國一些組織的邀請，包括麻省理工學院和貝爾實驗室，介紹他的工作。抵達加拿大后不久，埃舍爾不得不被圣·米迦勒的醫(yī)院接受緊急手術。所有的演講任務都不得不取消，埃舍爾再也沒有機會做他精心準備的演講了。以他一貫的一絲不茍的態(tài)度，他寫下了他演講的完整英文文本，這些文本被保存了下來。它們于1989年發(fā)表在《埃舍爾論埃舍爾:探索無限》中。標題為“從未上過的課”的那一章包含了這堂課。(我們應該注意到，講座，但不是由埃舍爾。筆記和講座幻燈片被送到哈佛大學的亞瑟·勒布那里，他在埃舍爾不在的時候在馬薩諸塞州列克星敦的Ledgemont實驗室做了講座。)這個講座的最后一部分是致力于《變形II》(這部作品的一個大的、連續(xù)的復制品可以在[11]中找到)。

最后，我想向大家展示一幅長達13英尺的木刻作品。它太長了，無法用一張幻燈片甚至兩張幻燈片來展示，所以我把它拍成了六個部分，我可以把這六個部分分成三對連續(xù)展示，請大家把它當作一張不間斷的紙來觀看。

這是一個由許多連續(xù)的轉變階段組成的圖畫故事。“變形”這個詞本身就是一個出發(fā)點。在平面內水平和垂直放置，以字母0和M為交點，文字逐漸轉化為黑白方塊的馬賽克，進而發(fā)展為爬行動物。如果允許與音樂進行比較，有人可能會說，到目前為止，旋律是以兩個四分之一拍寫成的。

現在，節(jié)奏發(fā)生了變化：白色和黑色中加入了藍色元素，變成了四分之三拍。漸漸地，每個圖形都簡化為一個規(guī)則的六邊形。這時，一個聯想產生了：六邊形讓人聯想到蜂巢的細胞，而這個想法剛剛產生，蜜蜂幼蟲就開始在每個細胞中蟄動。轉眼間，每一只成蟲都發(fā)育成了成熟的蜜蜂，很快這些昆蟲就飛向了太空。

我的蜜蜂的壽命很短，因為它們的黑色輪廓很快就會合并到另一個交界處，即為白色魚類提供背景。反過來，這些魚也會相互融合，中間的空隙就變成了黑鳥的形狀。然后，在遠處的白色背景中，出現了紅色小鳥的輪廓。它們的體型不斷變大，很快就能與黑色鳥類的輪廓相媲美。然后，剩下的白色背景也變成了鳥的形狀，這樣，三只鳥的圖案，每只都有自己特定的形狀和顏色，現在以一種有節(jié)奏的模式布滿了整個畫面。

再一次簡化：每只鳥都變成了一個菱形，這就產生了第二種聯想：由三個菱形組成的六邊形產生了塑性效果，從視角上看就像一個立方體。從立方體到房屋只有一步之遙，而從房屋中又建起了一座城鎮(zhèn)。這是一個典型的意大利南部地中海小鎮(zhèn)，在阿馬爾菲海岸經常可以看到薩拉森塔矗立在水中，通過一座橋與海岸相連。[這里是阿特拉尼鎮(zhèn)。]

M.C .埃舍爾《變形Ⅱ》1939-1940。木刻

參考文獻

[I] F.H. Bool, 1.R. Kist, 1.L. Locher, and F. Wi erda, eds., M.e. Escher: His Life and Complete Graphic Work, New York, Harry N. Abrams, 1982.

[2] C.P. Bmter, Topologie et Perception, Maloine-Doin, Paris, 1976, vol. II.

[3] H.S.M. Coxeter, M. Emmer, R. Penrose, M. Teuber, eds., M.e. Escher: Art and Science, Amsterdam, North-Holland, 1986.

[4] M. Emmer, The Fantastic World of M.e. Escher, video, 50 minutes, Film 7 IntI., production 1994. English: USA and Japan - Acorn Media; other - SpringerVerlag, Berlin. Italian, French, and Spanish: M. Emmer (http://space.virgilio.itlm.emmer@virgilio.it).

[5] M. Emmer, "Movies on M.C. Escher and their Mathematical Appeal," in [3], pp.249-262.

[6] M. Emmer, ed., The Visual Mind: Art and Mathematics, The MIT Press, Boston, 1993.

[7] M.C. Escher, Escher on Escher: Exploring the Infinite, New York, H.N. Abrams, 1989.

[8] M.e. Escher, The Graphic Work of M. e. Escher, Meredith Press, 1960 (reprinted 1996, New York, Wings Books).

[9] M.e. Escher, Regelmatige Vlakverdeling, De Roos Foundation, Utrecht, 1958; translated Regular Division of the Plane and reprinted in [1], pp.155-173, and in [7], pp. 90-122.

[10] J.L. Locher, ed., The World of M.e. Escher, 1972.

[11] J.L. Locher et aI., The Magic of M.e. Escher, New York, Harry N. Abrams, 2000.

[12] Michele Emmer, M.C. Escher: Art, Math, and Cinema

青山不改，綠水長流，在下告退。

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