女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文根據(jù)構(gòu)建對稱元素時使用的最小網(wǎng)格數(shù) (MNG) 和最小幾何形狀 (LGS)，提出了伊斯蘭幾何圖案 (IGP) 的合理分類?，F(xiàn)有的按對稱群對重復(fù)圖案進行分類的方法在很多情況下并不恰當(dāng)[Joy97]。對稱群理論與相關(guān)工匠的思維方式無關(guān)，完全忽略了單位圖案的屬性，只關(guān)注排列格式。本文認(rèn)為，目前的對稱群理論只是將其作為排列格式，而不是對伊斯蘭幾何圖案的分類，因為它們采用的是"全局方法"，未能探索伊斯蘭幾何圖案建筑元素中的各種可能性。星形是伊斯蘭幾何圖案中最重要的元素，也是中心玫瑰花形，它構(gòu)成了本文研究的核心。本文提出了新的命名法，用于描述基于MNG和LGS 的單元圖案，用于構(gòu)建可用于實現(xiàn)最終設(shè)計的星形/玫瑰花形圖案。本文描述并演示了根據(jù)這種分類方法，在單元圖案最終設(shè)計所決定的網(wǎng)格中構(gòu)建星形/輪狀單元圖案的程序。

1. 簡介

早在一千多年前，伊斯蘭工匠就開始在宮殿、清真寺和尖塔的表面裝飾伊斯蘭幾何圖案[Sai76]。這些幾何圖案始終如一地在表面上布滿星形區(qū)域，形成極具視覺效果的對稱圖案，因此被稱為 "伊斯蘭幾何圖案"。這些幾何圖案在歷史上常常令群理論家們敬畏不已，他們一直在努力對這些結(jié)構(gòu)進行審慎的分類。人們曾多次嘗試對星形/玫瑰紋圖案進行分類，結(jié)果產(chǎn)生了各種各樣的構(gòu)造組別和分類方法。Grunbaum和Shephard在試圖在獲得基本單元后，根據(jù)對稱群對這些幾何圖形進行分解，從而得出原始圖案的屬性[Gru92]。歐洲的群論家 Dewdney 等人提出了一種基于周期性放置的圓的反射線的分類方法 [Dew93]。Lee 提出了伊斯蘭幾何圖案共同特征的簡單構(gòu)造，但未能提出基準(zhǔn)分類定理 [Lee95]。此外，IGP 的一個重要方面也未能吸引任何類型的分類，那就是線條向間隙區(qū)域的天真延伸。為了描述延伸區(qū)域與單位圖案之間的關(guān)系，我們對現(xiàn)有的推斷幾何圖形的復(fù)雜性進行了深入研究。阿巴斯（S.J. Abbas）和薩爾曼（A. Salman）在其具有里程碑意義的論文《伊斯蘭幾何圖案的對稱性》（A Symmetries of Islamic Geometrical Patterns）中堅定地認(rèn)為，到目前為止，還沒有人對伊斯蘭幾何圖案進行有價值的分類，并特別關(guān)注其構(gòu)造 [Abb95]。本文提出的論點是，"7種飾帶群 "和 "17種墻紙群 "等流行的現(xiàn)有對稱群純粹是基礎(chǔ)模型。需要在研究單元圖案構(gòu)造的基礎(chǔ)上進行更精細、更完善的分類，并特別關(guān)注單元圖案的網(wǎng)格系統(tǒng)。通過 MNG、LGS 和網(wǎng)格的排列和組合，這種分類法為單元圖案的完成提供了無限可能。

2. 對稱

對稱意味著平衡、部分重復(fù)或形式簡單統(tǒng)一。對稱僅僅意味著圖案。但對稱的范圍遠不止吸引人的建筑和漂亮的圖案那么簡單。不過，在數(shù)學(xué)上，對稱可以簡單地定義為集合在變換下的屬性不變[Abb92]。群論表明，在一維對稱周期圖案中，可分析為七種不同類型，并提供識別特定對稱類型所需的信息 [Abb95]。同樣，在二維對稱周期圖案中，可以生成和識別十七種不同類型的圖案。單維對稱圖案被稱為 "7種飾帶群"，二維對稱圖案被稱為 "17種墻紙群"。本文通過分析對稱圖案各個元素的構(gòu)造，直觀地介紹了伊斯蘭幾何圖案中強大的圖案和對稱概念。下文將介紹現(xiàn)有的傳統(tǒng)對稱群理論，以支持我們的觀點，即它們只是排列圖案，而不是幾何圖形的分類理論，更不用說伊斯蘭幾何圖案了。

3. 7種飾帶群

保持給定直線不變（包括沿直線平移）的等距群稱為飾帶群。等距可定義為平面或空間的線性變換，它保持了點與點之間的距離。Andrew Glassner[Gla99]對飾帶群、摩爾紋、鏡面反射和周期性密鋪等許多相關(guān)主題進行了非常有啟發(fā)性的研究，為了說明7種飾帶群的論點（見圖 1），我們將介紹每個飾帶群的屬性。他展示了創(chuàng)建物理模型的價值，使我們能夠擴展我們的可視化技能和對主題的感知。必須指出的是，從非常明確的意義上講，飾帶群理論誤導(dǎo)了對伊斯蘭幾何圖案的分類。數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，用對稱群來解釋圖案的規(guī)則性是非常方便和有用的。這樣，代數(shù)學(xué)和其他數(shù)學(xué)學(xué)科的成果就可以應(yīng)用于此類圖案的研究。然而，可以說這并不是工匠們在創(chuàng)作時所考慮的規(guī)則性概念。事實上，直到一個多世紀(jì)以前，即使對數(shù)學(xué)家來說，數(shù)學(xué)對象的規(guī)律性也有著完全不同的含義。這兩種方法的區(qū)別在很大程度上是全局觀點和局部觀點的對比。過去，數(shù)學(xué)家們用全等面、等角和其他局部性質(zhì)的要求來定義柏拉圖多面體等對象的正則性，而現(xiàn)在，人們習(xí)慣于用旗子集合上對稱群的反證性來定義正則性。同樣，工匠們的目的很可能是要創(chuàng)造出幾何圖案，其中各部分以某種特定的方式與其近鄰相關(guān)，而不是試圖獲得無限延伸設(shè)計的整體對稱性。

圖1. Andrew Glassner的7種飾帶群[Gal99] 4.

4. 17種墻紙群

已經(jīng)證實，在兩個獨立方向上存在17組不同的周期性二維圖案。這 17 個圖案也被通俗地稱為 17種墻紙群。不過，Xah Lee [Lee98] 給出了 17 墻紙群的基本命名法（見圖 2）。克拉克大學(xué)的 David E. Joyce [Joy97] 在其關(guān)于 17 個平面對稱群的互聯(lián)網(wǎng)站中將對稱群視為平面圖案的分類。他寫道：“各種平面圖案可以通過使其不變的變換群來分類。對這些群的數(shù)學(xué)分析表明，正好有不同的平面對稱群”。現(xiàn)在，從上面的插圖中可以很清楚地看出，飾帶群和墻紙群的理論提出了排列基準(zhǔn)，使我們能夠確定格式圖案排列的類型，而不是對單元圖案進行分類。此外，我們還可以得出這樣的結(jié)論，即還沒有一種可行的、可論證的方法，從整體上對綜合圖案進行分類，并特別關(guān)注其構(gòu)造。

圖2. Xah Lee [Lee 98] 的17種墻紙群

5. 網(wǎng)格法分類

本文的目的是根據(jù)伊斯蘭幾何圖案單元圖案的構(gòu)建提出一種新的分類法，因為事實證明現(xiàn)有的群理論并不能達到這一目的。

通常，任何給定的伊斯蘭幾何圖案都是根據(jù)其給定的幾何形狀來命名的。例如，在 Issam El-Said [Sai93] 的插圖中，圖案可以因為包含六角星而被歸類為六邊形圖案，也可以因為包含八角星而被歸類為八邊形圖案，等等（見圖 3）。但這可能會產(chǎn)生誤導(dǎo)，因為大多數(shù)伊斯蘭幾何圖案中最受歡迎的元素星形/玫瑰花形可能是由圓形、三角形、正方形、四邊形和六邊形等幾種幾何形狀組合而成的，而星形/玫瑰花形單元圖案可以根據(jù)其基本設(shè)計進行歸一化和分類。因此，我們不把這些圖像看作是六邊形或八邊形的單元圖案，而是根據(jù)星形/長條形網(wǎng)格的構(gòu)造和規(guī)范化對這些圖像進行分類。并研究特定恒星/輪盤的重要屬性和特性。在我們的方法中，任何給定的恒星/輪盤都可以通過規(guī)范化來解密或解構(gòu)。這一規(guī)范化過程將通過識別構(gòu)成星形/輪廓圖的各個網(wǎng)格來實現(xiàn)。一旦網(wǎng)格元素被分離出來，就能確定可用于實現(xiàn) n 圖案星形/輪盤的基本幾何形狀。根據(jù)我們的觀點，星形解剖過程可分為以下幾個階段：

圖3 六邊形和八邊形圖案由Issam El-Said在《Islamic Art and Architecture, The System of Geometric Design》[Sai93]中提出。

"Geometric Concepts in Islamic Art, I. El Said。Titus Burckhardt 在該書的導(dǎo)言中指出，所有幾何圖案都是通過同樣的方法得出的，即從圓的和諧分割中得出建筑物（或圖案）的所有重要比例....。然而，在某些情況下，作者卻忽略了圓的畫法，諷刺地揭示了圓的存在對于所謂的 "獨特方法 "或 "唯一方法 "是多么的無足輕重（見圖 4.2）[Sai76]。

我們在El-Said的《Islamic Art and Architecture, The System of Geometric Design》[Sai93] 一書中發(fā)現(xiàn)了同樣的圖像（見圖 5），并清楚地標(biāo)出了基圓，這表明El-Said并沒有忽略在圓中繪制單位圖案。在這種情況下，我們可以說（圖 4）是從一個不同的、方便的維度來觀察的，以便于得出合適的結(jié)論來證明 W.K. Chorbachi 提出的定理。（圖 5）中的圓是（圖 4）的復(fù)制品，它確實構(gòu)成了設(shè)計單位圖案的基礎(chǔ)平面，這也是本文所要論證的。

圖4. 此圖摘自 W. K. Chorbachi，《Tower of Babel, Beyond Symmetry in Islamic Design》[Cho89]的圖 4.2，顯示在推導(dǎo)此圖案時沒有出現(xiàn)圓。摘自 I. El-Said，《Geometric Concepts in Islamic》[Sai76]。

圖 5. 圓形確實出現(xiàn)在單元圖案中。摘自 I. El-Said, Islamic Art and Architecture, The System of Geometric Design [Sai93]。

5.2 分割階段

在這里，我們將圓（360 度）除以 x 個點，從而得出星形/玫瑰花形的預(yù)期設(shè)計。

5.3 編排網(wǎng)格階段

網(wǎng)格劃分階段將啟動網(wǎng)格劃分過程。該階段是本文所述按時間順序排列的階段中最重要的階段。我們注意到，伊斯蘭幾何圖案中的星形圖案/玫瑰圖案的設(shè)計格式多種多樣，彼此迥異。由于伊斯蘭教本身遍布各大洲，每個國家都為伊斯蘭藝術(shù)貢獻了自己的藝術(shù)遺產(chǎn)。在這種背景下，要正確解讀星形圖案，就必須在非常正確的指導(dǎo)下努力了解星形圖案的類型。我們知道這項工作的復(fù)雜性，因為伊斯蘭藝術(shù)的本質(zhì)是非常復(fù)雜的，而任何復(fù)雜的藝術(shù)都很難正?；＿@一階段的核心目標(biāo)是參照用于實現(xiàn)伊斯蘭幾何圖設(shè)計的最小網(wǎng)格數(shù) (MNG) 和最小幾何形狀 (LSG) 對星形圖案/玫瑰圖案進行描述和分類。

我選擇了一個不同尋常的復(fù)雜圖案來演示我們的分類方法（見圖 6）。該圖案摘自E. Hanbury Hankin 所著的《數(shù)學(xué)報》"Some Difficult Saracenic Designs, A Pattern Containing Fifteen Rayed Stars"[Han36]。在任何給定的單元圖案中，都需要根據(jù)我們的方法進行分類，我們首先要在給定的單元圖案中尋找不同類型的星形/玫瑰花形。我冒昧地給漢金給出的單元圖式涂上了顏色，以顯示給定單元圖式中不同類型的星形/玫瑰花形。給定的單元圖案與眾不同，因為它由兩種類型相似但設(shè)計不同的星星組成；一種是十二芒星，尺寸較小，另一種是十五芒星，尺寸較大。讓這個圖案顯得格外特別的是，這兩顆不同大小的星星之間用一組網(wǎng)格線精美地連接在一起。星星的大小并不影響我們的分類，影響我們分類的是每顆星星/玫瑰花瓣的設(shè)計方法及其網(wǎng)格屬性。因此，我們得出結(jié)論，這個給定的單元圖案的第一個屬性是它由多個星形/網(wǎng)格組成。如果我們開始按照漢金的標(biāo)準(zhǔn)或規(guī)范，根據(jù)傳統(tǒng)的飾帶群和墻紙群理論對單元圖案進行分類，我們將不得不把封閉區(qū)域作為主要的單元圖案。這樣，我們就通過了圖像的有限元素或有限屬性。下文將詳細闡述基于網(wǎng)格元素（MNG）和網(wǎng)格屬性（LGS）的伊斯蘭幾何圖案構(gòu)建規(guī)范化過程。

5.3.1 最小網(wǎng)格數(shù) (MNG)

本節(jié)是命名規(guī)則的第一部分，其目的是確定最小網(wǎng)格數(shù)，即在 n 個網(wǎng)格的頂點與網(wǎng)格邊平分的情況下，網(wǎng)格相互之間的最小網(wǎng)格數(shù)。這一部分以最終設(shè)計為核心目標(biāo)。一個無限循環(huán)的過程是識別交叉點，并設(shè)置頂點之間的正確關(guān)系，以實現(xiàn)玫瑰花環(huán)的二等分。

5.3.2 最小幾何形狀 (LGS)

這一階段是命名規(guī)則的第二部分，目的是在給定的單元圖案中確定用于構(gòu)建星形/玫瑰花形的最低幾何形狀。下面的插圖（見圖7和圖8）描述了圖案（見圖6）的歸一化系列，以分別實現(xiàn)十二條射線和十五條射線的星形/輪廓線的分類。

十二射線星形/輪廓圖使用 3 個最小網(wǎng)格數(shù)（MNG）和一個四邊形作為最低幾何形狀（LGS），而十五射線星形/輪廓圖使用 3 個最小網(wǎng)格數(shù)和一個五邊形作為最低幾何形狀。因此，我們將這種圖案（見圖 6）歸類為 網(wǎng)格 3 四邊形/五邊形類。

圖 6：E. Hanbury 的圖案，包含十二（紅）條射線和十五（藍）條射線的星形/輪狀圖案，《數(shù)學(xué)公報》"Some Difficult Saracenic Designs"[Han36]。

圖 7. 12 射線星被歸類為（網(wǎng)格 3 四邊形類），因為它至少使用了 3 組網(wǎng)格，最低的幾何形狀是四邊形。

圖 8. 15 射線星被歸類為（網(wǎng)格 3 五角星類），因為它至少使用了 3 組網(wǎng)格，最低的幾何形狀是五邊形。

圖 9. 顯示一些伊斯蘭幾何星形/玫瑰花形的分類。

在這些部分之后是一系列圖像，它們將以非常合理和直觀的方式說明歸一化過程，并以可呈現(xiàn)的方式提出我們的觀點（圖 9）。

5.4 藝術(shù)階段

這是第四個階段；網(wǎng)格劃分完成后，我們可以通過為網(wǎng)格內(nèi)部線條賦予權(quán)重的方式，為網(wǎng)格賦予必要的藝術(shù)屬性，從而設(shè)計出所需的星形/輪廓圖。這一階段還包括為 "星形/輪廓圖 "的各個部分著色和填充。

5.5 擴展階段

第五階段是 "名義 "或 "幻影 "階段，因為這一階段可能存在，也可能不存在。在這一階段，自然延伸將在概念邊界（通常為正方形或矩形）內(nèi)和邊界外的外部區(qū)域完成無縫網(wǎng)格（見圖 7 和圖 8）。

圖 10. 此圖為 W. K. Chorbachi [Cho89] 的圖 4.3，顯示圓的方案與長矩形單元不符，標(biāo)出了一個變化區(qū)。來自 I. El-Said [Sai76]。

在大多數(shù)設(shè)計中，El-Said[sai 93]將正方形視為明確的外部邊界(由圓和圓以外的相關(guān)網(wǎng)格擴展組成的邊界)。在這種情況下，W.K. Chorbachi[CHO 89]曾說過，在所有的設(shè)計中并不總是能找到正方形。在他的書《巴別塔:超越伊斯蘭設(shè)計中的對稱性》的節(jié)選中，他寫道:“……最后，在一些設(shè)計案例中，不可能掩蓋分析方法不成立的事實。這些圖(圖4.3)顯示為包含一個基于變化的非標(biāo)準(zhǔn)區(qū)域。細長的矩形區(qū)域顯然屬于“單向”的2重對稱概括，其在4重對稱組的正方形中被壓倒性地表示。在插圖中(見圖10 ), W.K. Chorbachi認(rèn)為矩形是設(shè)計的外部邊界，并證明正方形不可能總是被標(biāo)記為外部邊界。然而，他也認(rèn)為外部邊界在設(shè)計中是不可或缺的。但是，正如上面已經(jīng)證明的那樣(見圖7和圖8 ),外部邊界對于星形/玫瑰形設(shè)計來說是虛幻的，并且它的存在不能總是被確認(rèn)，直到并且除非外部網(wǎng)格的存在可以被追蹤。

6. 結(jié)論

我們可以得出這樣的結(jié)論：群理論是對排列進行分類，而不是對單元圖案進行分類。本文提出了一個可行的定理，使我們能夠根據(jù)網(wǎng)格屬性對任何星形/輪廓圖進行分類。它還為星形/輪廓圖生成了一個分類名稱，為讀者提供了有關(guān)最小網(wǎng)格數(shù)（MNG）和最小幾何形狀（LSG）的信息，這些信息用于實現(xiàn)伊斯蘭幾何圖案的設(shè)計。根據(jù)我們的經(jīng)驗，伊斯蘭幾何圖形的分類結(jié)果是相對的。在這種情況下，命名方法將根據(jù)新研究的結(jié)果而改變。

參考文獻

[Joy97] Joyce, D. E., The 17 plane symmetry groups Department of Mathematics and computer science,

Clark university, Worcester, MA 01610.

[Sai76] El-Said, I., and Parman, A. Geometrical Concepts in Islamic Art: World of Islam Festival. Publ. Co. London, 1976.

[Gru92] Grunbaum B., and Shephard G.C., Interlace Patterns in Islamic and Moorish art. Leonardo, 25:331-339, 1992.

[Dew93] Dewdney A.K.. The Tinkertoy Computer and Other Machinations, pages 222-230. W.H. freeman,1993.

[Lee95] Lee A.J., Islamic Star Patterns. Muqarnas, 4:182- 197, 1995.

[Abb95] Abbas, S.J. and Salman, A. Symmetries of Islamic Geometrical Patterns, World Scientific, 1995.

[Abb92] Abbas, S.J. and Salman, A. Geometric and Group Theoretic Methods for Computer Graphic Studies of Islamic Symmetric Patterns. School of Mathematics, University College of North Wales, Bangor, Gwynedd, LL57 1UT, UK. Computer Graphics Forum, Volume 11, number 43-53, 1992.

[Gla99] Glassner A. Andrew Glassner’s Notebook: Recreational Computer Graphics. Morgan Kaufmann Publishers, San Francisco, CA. 1999.

[Lee98] Lee, X., The 17 Wallpaper Groups. http://www.xahlee.org/Wallpaper_dir/c5_17WallpaperGroups.html

[Sai93] El-Said, I. Islamic Art and Architecture: The System of Geometric Design. Grant Publishing Limited, U. K. 1993.

[Cho89] Chorbachi, W.K. In the Tower of Babel: Beyond Symmetry in Islamic Designs. Math Applic. Vol. 17, No. 751-789, 1989.

[Han36] Hankin, E.H., Some Difficult Saracenic Designs Pattern Containing Fifteen Rayed Stars. The Mathematical Gazette, Vol. 18, 165-168, 1934, and 20, 318-319, 1936.

[Ahm99] Ahmad M. Aljamali and Ebad Banissi, Grid Method Classification of Islamic Geometric Patterns

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