相似三角形的判定教學(xué)反思

人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第27章《相似》27.2.1相似三角形的判定第1課時(shí)，建立在前一小節(jié)“圖形的相似”基礎(chǔ)上，學(xué)生在課前應(yīng)該了解了相似的概念，以及相似多邊形定義，在學(xué)習(xí)本課之前，對(duì)于成比例線段也有一定理解，因此教學(xué)目標(biāo)是類比全等三角形的判定，探索相似三角形的判定方法，即利用平行線判定相似；

平行線分線段成比例定理，通常也稱相似判定的預(yù)備定理，在本節(jié)課中非常重要，也是本節(jié)課重點(diǎn)之一，而利用預(yù)備定理證明相似三角形的判定定理則是本節(jié)課難點(diǎn)。

一、學(xué)習(xí)方法遷移

之所以要把相似三角形的判定與全等三角形的判定進(jìn)行類比，是因?yàn)槲覀冊(cè)谔剿魅切稳鹊呐卸ǚ椒〞r(shí)，也是經(jīng)歷了由定義出發(fā)，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等、三條邊對(duì)應(yīng)相等的三角形，減配到只需要三個(gè)條件即可判斷全等；在相似三角形判定中，我們依然是通過(guò)前面的定義知道三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等、三條邊對(duì)應(yīng)成比例的三角形，探索如何減配到更少的條件。

事實(shí)上在教材一開始，就通過(guò)“k=1”這個(gè)環(huán)節(jié)建立了全等和相似間的關(guān)系，如下圖：

所以這一部分遵循由全等到相似，是符合教材要求的教學(xué)思路。

當(dāng)然方法的遷移是否成功，并不完全取決于本節(jié)課，如果在學(xué)習(xí)三角形全等的時(shí)候，對(duì)概念或定理的理解不透徹，則方法的遷移便沒有了源頭，那這個(gè)環(huán)節(jié)便會(huì)落空。

所以說(shuō)，在八年級(jí)學(xué)習(xí)全等三角形判定的時(shí)候，我們究竟是教的解法還是方法，此處一試便知。

二、為什么要從平行線開始探究？

由方法遷移講到平行線分線段成比例，這個(gè)過(guò)渡非常突兀，至少在我聽過(guò)的公開課，或自已的課堂上，總感覺沒有任何關(guān)聯(lián)就直接開始探究平行線與兩條截線的問(wèn)題，但事實(shí)上，平行在相似三角形判定前是有先兆的。

這一切得從學(xué)生畫圖開始，我們?cè)谇懊娼o學(xué)生的展示相似圖形的時(shí)候，有意無(wú)意地將這些圖形“平移式”擺放，這從視覺上就得到了對(duì)應(yīng)邊是平行線，因此隱約感覺這二者間存在關(guān)系。

在第29頁(yè)探究中，學(xué)生作圖非常有必要，因?yàn)樯婕暗胶竺娴臏y(cè)量與計(jì)算，不同的學(xué)生作平行線間距不會(huì)相同，更具一般性。

按七年級(jí)學(xué)習(xí)平行線的“三線八角”方法，規(guī)定三條平行線被兩條直線所截，則直線l1和直線l2是截線，用不同顏色標(biāo)注，讓學(xué)生先觀察在這兩條截線上，三條平行線構(gòu)造了幾個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)一步觀察在每一條截線上，這些交點(diǎn)構(gòu)成了幾條線段。

如果我們用左、右截線分別代表直線l1和l2，用圖中的位置來(lái)命名，則得到了左上線段AB、左下線段BC、左全線段AC、右上線段DE、右下線段EF、右全線段DF總共6條線段。

引導(dǎo)學(xué)生觀察它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系，自然就有AB與DE、BC與EF、AC與DF為三組對(duì)應(yīng)線段。在左截線上先測(cè)量一組線段AB、BC，計(jì)算它們的比值，再在右截線上測(cè)量另一組線段DE、EF，計(jì)算它們的比值，由于學(xué)生測(cè)量可能存在誤差，如果貿(mào)然發(fā)問(wèn)，比值相等嗎？極有可能得到不同的答案，所以不急著去公布結(jié)果，而是在學(xué)生測(cè)量并計(jì)算完畢之后，用更精確的方式——幾何畫板來(lái)進(jìn)行測(cè)量與計(jì)算，從而讓學(xué)生認(rèn)知到自已的測(cè)量是有誤差的，應(yīng)該關(guān)注誤差背后的真相。

由于每個(gè)學(xué)生作圖的平行線間距不同，因此小組內(nèi)或同桌相互交流一下結(jié)果，即可達(dá)到“任意平移l5”的目的。

探究中的最后一個(gè)問(wèn)題，其實(shí)不再需要測(cè)量了，利用好第一次測(cè)量的結(jié)果，用推導(dǎo)的形式，可能更多一點(diǎn)數(shù)學(xué)味道。至此，平行線分線段成比例定理基本成型，教材在30頁(yè)給出了歸納文字，如下圖：

我們?cè)谝?guī)范書寫時(shí)，也可以讓學(xué)生養(yǎng)成把左截線上的線段寫等號(hào)左邊，右截線上的線段寫在等號(hào)右邊，從而更強(qiáng)化“對(duì)應(yīng)”的理解。總體來(lái)講，我們可以得到左上：左下=右上：右下，左上：左全=右上：右全，左下：左全=右下：右全三類比例線段。如果考慮到比例性質(zhì)，交換比例內(nèi)項(xiàng)、外項(xiàng)，事實(shí)上得到的比例式會(huì)更多。

我們將兩條截線中的一條，例如右截線，進(jìn)行平移，當(dāng)它經(jīng)過(guò)A點(diǎn)或B點(diǎn)時(shí)，又得到兩個(gè)新的圖形，如下圖：

這就和教材上30頁(yè)的圖27.2-3對(duì)應(yīng)上了，如下圖：

在平移過(guò)程中，很容易理解其中存在的平行四邊形，因此線段DE=AG=IB，EF=GH=BJ，DF=AH=IJ，再去理解教材上的兩個(gè)圖，就簡(jiǎn)單多了。

但始終提醒學(xué)生，我們目前得到的成比例線段，均存在于截線上，不在平行線上，給后面定理的證明埋個(gè)伏筆。

三、由平行線到三角形

將多余的線條擦掉，就得到相似三角形的兩個(gè)基本圖形，A型和X型，如下圖：

此時(shí)截線為AB和AC或它們的反向延長(zhǎng)線。

選擇其中一個(gè)圖進(jìn)行后續(xù)證明，即教材上的思考，如下圖：

教材關(guān)于這個(gè)思考的提示語(yǔ)其實(shí)非常重要，按這個(gè)提示的思路也是這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解，沒有之一，若是不管不顧，確實(shí)浪費(fèi)。

首先是直覺，也就是幾何直觀，去發(fā)現(xiàn)△ADE∽△ABC，然后通過(guò)相似的定義去證明，即證明6個(gè)條件，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，三條邊對(duì)應(yīng)成比例，這顯然很麻煩。

注意教材上的引導(dǎo)“除DE外，AE、AC、BC都在△ABC的邊上，因此只需要將DE平移到BC邊上去，使得BF=DE”，如果繼續(xù)追問(wèn)，為什么要將DE平移到BC邊上呢？

我們從這一點(diǎn)出發(fā)深入探究，前面反復(fù)強(qiáng)調(diào)過(guò)，成比例線段均位于兩條截線上，那么在上圖中，若以AB、AC為截線，那是無(wú)論也得不到DE這條線段的，所以我們需要轉(zhuǎn)換，讓DE和BC中的某一條成為截線，用新的平行線去截它們，這就有了構(gòu)造新平行線的需求，從哪里作，過(guò)點(diǎn)D或過(guò)點(diǎn)E均可以，并不拘泥于教材。

以教材圖為例，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，現(xiàn)在截線變成了BC和AC，在選擇成比例線段時(shí)，需要留意原有條件，盡可能讓關(guān)聯(lián)更順暢，已有成比例線段是AD:AB=AE:AC，對(duì)于等號(hào)右邊的AE:AC，我們?cè)谛碌钠叫芯€EF∥AB所截出的線段中，可以找到AE和AC的對(duì)應(yīng)線段，分別是BF和BC，于是可得AE:AC=BF:BC，最后利用平行四邊形BDEF轉(zhuǎn)換BF=DE即可。

于是得到了本節(jié)課的判定相似的第一個(gè)定理：

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

順便拓展一下，平行于三角形一邊的直線和其他兩邊的延長(zhǎng)線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

四、對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)及反饋

在突破本節(jié)難點(diǎn)——定理的證明之后，對(duì)于截線的強(qiáng)調(diào)在學(xué)生理解為什么要作平行線起到了很大作用，前面的鋪墊快不得，學(xué)生在經(jīng)歷前面的探究之后，若能理解“左上左下左全，對(duì)應(yīng)的是，右上右下右全”則在定理證明中，將圖形看作是整體向左旋轉(zhuǎn)的“A”型，則立刻采用上述方式去尋找成比例線段，找到解決方法更快。

在新課標(biāo)和教材中，淡化了對(duì)于比例式的變形要求，雖然沒有刻意去講，但這些比例變換本質(zhì)上也是分式性質(zhì)、等式性質(zhì)的延伸，理解起來(lái)并不困難，在后續(xù)教學(xué)過(guò)程中，少數(shù)學(xué)生能自行領(lǐng)悟，不宜提出過(guò)高要求。

課堂練習(xí)選擇教材上的兩道題，如下圖：

第1題可以直接用本課前面的預(yù)備定理，AG+GD=AD，它的對(duì)應(yīng)線段是BC，同時(shí)DF的對(duì)應(yīng)線段是CE，over；

第2題是對(duì)判定定理的直接運(yùn)用，在學(xué)生腦子里建立“平行”與“相似”間的強(qiáng)關(guān)聯(lián)，并計(jì)算相似比。

相似三角形的判定定理一，是后面所有判定定理的出發(fā)點(diǎn)，這也是我們?cè)谔骄肯嗨迫切闻卸ǚ椒ㄟ^(guò)程中，最稱手的工具，用它能發(fā)現(xiàn)更多判定相似的新工具，這和我們?cè)趯W(xué)習(xí)全等三角形判定時(shí)，采用的解決問(wèn)題的思路如出一轍。當(dāng)然，按教材要求，后面的判定定理并不要求學(xué)生去證明，但至少要懂得證明它的思路，知道該如何去想，即知道解決問(wèn)題的方法。