|作者：汪克林 1 曹則賢 2，?

(1 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代物理系)

(2 中國(guó)科學(xué)院物理研究所)

本文選自《物理》2026年第3期

摘要在量子力學(xué)中，作用于希爾伯特空間中的矢量ψ上滿足對(duì)易關(guān)系J×J=i?J的算符即可稱為角動(dòng)量。角動(dòng)量與SU(2)群的生成元有相同的對(duì)易關(guān)系，由后者得到的作為{J2，Jz}共同本征態(tài)的表示|jm>常常會(huì)被當(dāng)作量子力學(xué)的角動(dòng)量表示。然而，這樣得到的表示是純代數(shù)的，是可能的數(shù)學(xué)表示之一。軌道角動(dòng)量J=r×p是物理量，J2似無(wú)明確的物理意義，軌道角動(dòng)量的表示問(wèn)題應(yīng)該從物理的角度出發(fā)加以考察。本文將軌道角動(dòng)量算符用升降算符ak+，ak，k=1，2，3，表示，基于與空間參照系相結(jié)合的占據(jù)態(tài)空間表示{n1，n2，n3；nk=0，1，2，…}探討J2，Jz的本征值問(wèn)題。利用Jz與守恒量nb=n1+n2的對(duì)易性，J2與守恒量nt=n1+n2+n3的對(duì)易性，可以輕松得到算符J2和Jz各自的本征態(tài)/本征值表達(dá)式，其表現(xiàn)出與算符J2和Jz的固有對(duì)稱性相關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)。只有偶發(fā)的(J2，Jz)共同本征態(tài)，這真實(shí)地反映了J2與Jz之間的角色關(guān)系。我們的理論可為涉及角動(dòng)量的量子力學(xué)問(wèn)題，如朗道能級(jí)、自旋—軌道耦合等，提供簡(jiǎn)單有效的求解路徑，并有助于發(fā)掘本征值/本征態(tài)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。

關(guān)鍵詞角動(dòng)量，軌道角動(dòng)量，轉(zhuǎn)動(dòng)群生成元，本征值問(wèn)題，共同本征態(tài)集，升降算符，占據(jù)數(shù)表示，固有對(duì)稱性

1 導(dǎo) 言

量子理論發(fā)軔于普朗克常數(shù)h的引入，最初是在黑體輻射的研究中作為系數(shù)使得hν具有能量的量綱[1，2]。然而，很快普朗克就在1906年認(rèn)識(shí)到常數(shù)h的意義在于其自身是作用量的量子，1911年更是明確提出其是q—p空間——即相空間——體積的基本單元或曰量子[3]。普朗克常數(shù)h與角動(dòng)量具有相同的量綱，圍繞原子中電子運(yùn)動(dòng)的量子化努力實(shí)際上是量子化角動(dòng)量及其分量，即將它們表述為?=h/2π的整數(shù)倍[4]。角動(dòng)量理論是量子力學(xué)的關(guān)鍵部分，角動(dòng)量理論的數(shù)學(xué)工具廣泛應(yīng)用于原子物理、原子核物理和基本粒子理論。

本文探討軌道角動(dòng)量表示的問(wèn)題。因?yàn)轭櫦皻v史上的表述習(xí)慣，會(huì)出現(xiàn)符號(hào)L和J混用的局面，不影響對(duì)問(wèn)題的討論。

經(jīng)典力學(xué)里的角動(dòng)量定義為L=x×p，寫(xiě)成分量形式為Lα=εαβγxβpγ，其中εαβγ是反對(duì)稱的Levi—Civita符號(hào)，滿足關(guān)系εijkεilm=δjlδkm-δjmδkl。角動(dòng)量有泊松括號(hào){Lα,Lβ}=εαβγLγ。又，在經(jīng)典力學(xué)里容易證明泊松括號(hào)與對(duì)易關(guān)系[Lα,Lβ]=LαLβ-LβLα之間僅差一個(gè)獨(dú)立常數(shù)，即[Lα,Lβ]=λ{(lán)Lα,Lβ}。在量子力學(xué)中備受關(guān)注的是對(duì)易關(guān)系，若采用直角坐標(biāo)系，角動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系為[Lα,Lβ]=i?εαβγLγ，簡(jiǎn)記為L×L=i?L。哈密頓力學(xué)的泊松括號(hào)表示是量子力學(xué)構(gòu)建的基礎(chǔ)。泊松括號(hào)，以及相應(yīng)的對(duì)易關(guān)系，對(duì)于闡明哪個(gè)變量是運(yùn)動(dòng)常數(shù)，在量子力學(xué)中則是哪些觀測(cè)量可以有共同本征態(tài)，特別有用。在中心力場(chǎng)下，采用球坐標(biāo)系，?是周期坐標(biāo)（注：Cyclic variable，指該坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)是周期的，請(qǐng)參考作用量—角變量理論。循環(huán)坐標(biāo)的譯法是錯(cuò)誤的。)，故Lz=p?是守恒量。由泊松括號(hào)，可知是運(yùn)動(dòng)常數(shù)。從{L2,H}=0，{Lz,H}=0，則由Jacobi恒等式知{{L2,Lz},H}=0，也就是說(shuō){L2,Lz}也是一個(gè)運(yùn)動(dòng)常數(shù)。若采用直角坐標(biāo)表示，Lx,Ly,Lz的表示形式是相同的，它們之間的泊松括號(hào)不為零，但是每一個(gè)又都可以與L2同時(shí)是運(yùn)動(dòng)常數(shù)[5]。這是后來(lái)的量子力學(xué)關(guān)注{H,L2,Lz}共同本征態(tài)表示問(wèn)題的緣起。

隨著量子力學(xué)的發(fā)展，角動(dòng)量的概念得到了擴(kuò)充。在量子力學(xué)中，作用于希爾伯特空間中的矢量ψ上的滿足對(duì)易關(guān)系J×J=i?J的算符即可稱為角動(dòng)量。軌道角動(dòng)量L=x×p，自旋S，以及總角動(dòng)量L+S，皆為角動(dòng)量算符。角動(dòng)量與SU(2)群的生成元遵從相同的對(duì)易關(guān)系，基于后者得到的表示|jm>常常會(huì)被當(dāng)作角動(dòng)量的表示[6，7]。由生成元的表示理論，可以得出(J2,Jz)的共同本征態(tài)表示|jm>，滿足：

這個(gè)由外爾1928年得到的群論表示便成了討論量子力學(xué)中的角動(dòng)量理論的基礎(chǔ)[6]。

關(guān)于軌道角動(dòng)量的量子力學(xué)處理，在量子力學(xué)創(chuàng)立伊始，玻恩—海森堡—約當(dāng)即在他們的矩陣力學(xué)論文中指出：“對(duì)于Lx=const.,Ly=const.,Lz=const.都成立的系統(tǒng)，角動(dòng)量的三個(gè)分量不能都是對(duì)角矩陣，否則會(huì)引出矛盾。這樣的系統(tǒng)必定是簡(jiǎn)并的(Ein solches System ist also notwendig entartet)”[8]。簡(jiǎn)并體系的量子力學(xué)處理要格外小心，它也是量子力學(xué)理論的主干。在量子力學(xué)的氫原子問(wèn)題中，關(guān)注{H,L2,Lz}的共同本征值問(wèn)題是為了用L2,Lz的量子數(shù)來(lái)區(qū)分簡(jiǎn)并的能級(jí)，即哈密頓算符H的本征值。

在薛定諤關(guān)于氫原子問(wèn)題的波力學(xué)處理中[9]，軌道角動(dòng)量的z-分量，在球坐標(biāo)系中表示，為Jz=。由本征值方程，解得ψ=Aeim?。物理要求ψ是單值函數(shù)，這樣m只能取整數(shù)；相應(yīng)地，因?yàn)閙=-j, -j+1, …, j-1, j，可見(jiàn)在這個(gè)問(wèn)題里j只能取整數(shù)值，j=0, 1, 2…。相較于從SU(2)群的生成元而來(lái)的表示|jm>，這里j的取值受到了限制。或者說(shuō)，(1)式所指代的表示并不嚴(yán)格地就是角動(dòng)量的表示。一般量子力學(xué)教科書(shū)很少對(duì)讀者指明這一點(diǎn)。此外，薛定諤的處理中隱含著薛定諤方程必須是可分離變量的要求。

長(zhǎng)期以來(lái)，因?yàn)檐壍澜莿?dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)群生成元有相同的對(duì)易關(guān)系，基于群生成元的表示{|jm>}就被當(dāng)作了角動(dòng)量表示。基于轉(zhuǎn)動(dòng)群生成元的|jm>表示本質(zhì)上是純代數(shù)的(purely algebraic in nature)。在群表示論的語(yǔ)境中，J2被稱為Casimir不變量，見(jiàn)于Hendrik Casimir1931年討論量子力學(xué)中的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題的學(xué)位論文[10]。SU(2)群的Casimir不變量J2是唯一的。表示{|jm>}中的m是Jz的本征值，而j是Jz的本征值的范圍(確切地說(shuō)，是本征值實(shí)部的最大值)而非算符J的本征值！Casimir不變量的本征值可以用來(lái)為李代數(shù)的表示分類(classify the representations of the Lie algebra)。對(duì)于自旋來(lái)說(shuō)，自旋被稱為角動(dòng)量只是基于對(duì)易關(guān)系的類比，那是與運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)的內(nèi)稟自由度，采用這樣的代數(shù)表示沒(méi)有問(wèn)題。1952年Schwinger把角動(dòng)量都當(dāng)作一定數(shù)目的的角動(dòng)量的疊加，未脫離|jm>表示的窠臼[11]。對(duì)于作為運(yùn)動(dòng)量的軌道角動(dòng)量，L=x×p，簡(jiǎn)單地把{|jm>}當(dāng)作角動(dòng)量的表示是否合適，大有商榷的余地。比如薛定諤方程涉及的{J2,Jz}共同本征態(tài)就排除了j取半整數(shù)的可能。

軌道角動(dòng)量是一個(gè)描述運(yùn)動(dòng)的物理量。軌道角動(dòng)量由位置和動(dòng)量構(gòu)成，自有它的物理，軌道角動(dòng)量的表示必須納入真實(shí)物理的考量[12]。有必要回答|jm>形式的表示的具體物理意義是什么。角動(dòng)量表示牽扯到L2，關(guān)注L2的物理意義是什么應(yīng)不算過(guò)分作用量的量綱為乘積。注意到物理量是有量綱的[H×t]或者[x×p]的量綱角動(dòng)量，不妨理解為角動(dòng)量的量綱高于能量、動(dòng)量這些物理量的量綱。軌道角動(dòng)量平方L2的量綱過(guò)高，我們似乎說(shuō)不上來(lái)L2的物理意義是什么。在經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)的中心場(chǎng)問(wèn)題中它是以的形式納入哈密頓量的表達(dá)式的。J2相較于J是二級(jí)算符，{J2,Jz}的共同本征態(tài)的意義是什么，共同本征態(tài)又有什么樣的結(jié)構(gòu)，這是我們?cè)谇蠼饨莿?dòng)量本征值時(shí)要關(guān)注的一個(gè)物理因素。

也許，從物理現(xiàn)實(shí)出發(fā)，從頭考察一下{J2,Jz}的共同本征態(tài)問(wèn)題是有意義的。將軌道角動(dòng)量用物理空間表示會(huì)獲得更加明確的結(jié)論，此前我們已經(jīng)做了初步的努力[12]。量子力學(xué)中有采用升算符自真空中產(chǎn)生用不同占據(jù)數(shù)表示的狀態(tài)的做法，，升降算符a+, a是數(shù)算符a+a的本征值的升降算 符。這有點(diǎn)兒類似于角動(dòng)量理論中J±=Jx±iJy是算符Jz的本征值的升降算符。Schwinger就曾采用與空間參照系相結(jié)合的自旋產(chǎn)生、湮滅算符(spin creation and annihilation operators associated with a given spatial reference system)討論量子力學(xué)中的角動(dòng)量的表示問(wèn)題。本文中，我們將坐標(biāo)和動(dòng)量用無(wú)量綱的升降算符a+, a表示，將系統(tǒng)的狀態(tài)空間用數(shù)算符a+a的本征態(tài){|n1, n2, n3>}展開(kāi)，此正是與空間參照系相結(jié)合的表示，這為討論{J2,Jz}的本征值問(wèn)題提供了一個(gè)一般性的基礎(chǔ)，也提供了一個(gè)非常簡(jiǎn)單有效的途徑。我們的結(jié)果表明Jz的本征態(tài)只有很少的一部分是J2的本征態(tài)。{J2,Jz}只有偶發(fā)的共同本征態(tài)，且有特定的結(jié)構(gòu)，這在一定程度上反映了J2與Jz之間的角色關(guān)系。

其實(shí)，微觀粒子并無(wú)軌道的概念，故接下來(lái)我們只用角動(dòng)量的說(shuō)法；相應(yīng)地，自旋就是自旋，不必要引入自旋角動(dòng)量的說(shuō)法。

2 角動(dòng)量的本征值問(wèn)題

2.1 角動(dòng)量的一般性質(zhì)

在量子力學(xué)中，對(duì)角動(dòng)量的分量形式，Jx=ypz-zpy,Jy=zpx-xpz, Jz=xpy-ypx，引入替換pα→-i??α，則容易證明角動(dòng)量滿足對(duì)易關(guān)系[J,J]=i?J，且有[J2,Jx]=0，[J2,Jy]=0，[J2,Jz]=0。為了用物理現(xiàn)實(shí)的視角看待軌道角動(dòng)量問(wèn)題，我們引入基于同空間參照系相聯(lián)系的占據(jù)數(shù)表示的態(tài)矢空間{n1, n2, n3; nk=0, 1, 2, …}。

首先引入升降算符ak+, ak來(lái)表示坐標(biāo)與動(dòng)量算符：

其中Δ是量綱為[L]的參數(shù)。由正則對(duì)易關(guān)系[q,p]=i?I可知，算符ak, ak+滿足對(duì)易關(guān)系：

如此則有表示：

和：

其中nk=ak+ak，k=1, 2, 3。

采用無(wú)量綱算符ak, ak+的表示保持了角動(dòng)量原有的對(duì)易關(guān)系。此外，由升算符ak+可由真空態(tài)|0>構(gòu)造算符nk=ak+ak的本征態(tài)|nk>，故與空間參照系相聯(lián)系的態(tài)矢空間{|n1, n2, n3>; nk=0,1,2,…}可作為進(jìn)一步討論的基礎(chǔ)。這樣的做法源于關(guān)于正則共軛變量對(duì)q,p及其狀態(tài)矢量的表示，保證了角動(dòng)量是物理空間中的運(yùn)動(dòng)量的性質(zhì)。

2.2 jz視角下的角動(dòng)量本征值問(wèn)題

考察角動(dòng)量分量Jz=i?(a1a2+-a1+a2)，容易驗(yàn)證它和數(shù)算符對(duì)易，

因?yàn)榇岁P(guān)系的存在，故只需要在每一個(gè)nb有確定本征值nb=n1+n2(nb為正整數(shù))的{|n1, n2, n3>}子空間中構(gòu)造Jz的本征態(tài)，其可以由有限數(shù)目的這種形式的態(tài)矢疊加而成，這大大簡(jiǎn)化了問(wèn)題。接下來(lái)為簡(jiǎn)單計(jì)，取?=1。

從最簡(jiǎn)單的nb=1開(kāi)始。所涉及的子空間的基態(tài)矢包括|1, 0, n3>, |0, 1, n3>，Jz的本征值問(wèn)題為

解得m=±1，相應(yīng)地：

接著有：

結(jié)果中出現(xiàn)了
形式的態(tài)，共4項(xiàng)，這是原來(lái)的基態(tài)矢集中沒(méi)有的元素。顯然只當(dāng)n3=0, 1時(shí)，(9)式才構(gòu)成J2的本征態(tài)問(wèn)題，J2|>=λ|>，解得λ=2, 6，相應(yīng)的J2的本征態(tài)為

對(duì)于|m=-1>，可得到同樣的結(jié)論。

對(duì)于nb=2，所涉及的子空間的基態(tài)矢包括|2, 0, n3>, |1, 1, n3>, |0, 2, n3>，如上解Jz的本征值問(wèn)題，可得本征值為m=±2，相應(yīng)的本征態(tài)矢為

將算符J2作用到相應(yīng)的Jz的本征態(tài)上：

可見(jiàn)只當(dāng)n3=0, 1時(shí)，它們才是J2的本征態(tài)，對(duì)應(yīng)本征值分別為λ=6, 12。

對(duì)|m=-2>作用的結(jié)果得到同樣的結(jié)論。

對(duì)于nb=3，所涉及的子空間的基態(tài)矢包括|3, 0, n3>, |1, 2, n3>, |2, 1, n3>, |0, 3, n3>，如上解jz的本征值問(wèn)題，可得本征值為m=±3;±1，相應(yīng)的本征態(tài)矢為

將算符J2作用到相應(yīng)的Jz的本征態(tài)上，以|m=3>為例，

結(jié)果中出現(xiàn)了
形式的態(tài)，共6項(xiàng)。同樣是只當(dāng)n3=0,1時(shí)，式(15)構(gòu)成算符J2的本征值問(wèn)題，相應(yīng)的本征值為λ=12, 20。

對(duì)于nb=3時(shí)的態(tài)矢|m=-3>，|m=1>，|m=-1>，可得到同樣的結(jié)論。上述結(jié)果啟發(fā)我們，存在偶發(fā)的(sporadic)(J2,Jz)的共同本征態(tài)，且本征值表現(xiàn)出某種結(jié)構(gòu)。

對(duì)于nb=4，所涉及的子空間的基態(tài)矢包括|4, 0, n3>, |3, 1, n3>, |2, 2, n3>, |1, 3, n3>, |0, 4, n3>，如上解Jz的本征值問(wèn)題，可得本征值為m=±4;±2，相應(yīng)的本征態(tài)矢為

以|m=4>為例計(jì)算J2|m=4>，同樣是出現(xiàn)了形式的態(tài)，此處共8項(xiàng)。只當(dāng)n3=0, 1時(shí)，才構(gòu)成算符J2的本征值問(wèn)題，相應(yīng)的本征值為λ=20, 30。針對(duì)nb=4情形下的|m=-4>, |m=2>, |m=-2>態(tài)，可得到同樣的結(jié)論。

繼續(xù)針對(duì)nb=n1+n2的{|n1, n2, n3>}子空間構(gòu)造Jz的本征態(tài)，計(jì)算算符J2作用于其上的結(jié)果，可得到同樣的結(jié)論。實(shí)際上，可以得到算符nb與Jz的共同本征態(tài)|nb=m; jz=m?>的普遍表示。|nb=m; jz=m?>，如前簡(jiǎn)記為|m>，處于n1+n2=m的{|n1, n2, n3>}子空間中，具體為

解本征值問(wèn)題Jz|m>=m|m>，可得本征態(tài)矢的一般表示：

其中
。此表達(dá)式比只靠對(duì)易關(guān)系給出的表示明顯包含更多的物理信息。在從對(duì)易關(guān)系得到的理論中，|m>只是一個(gè)符號(hào)，但在此處它是態(tài)矢空間{|n1, n2, n3>}中確定的子空間{|n1+n2=m, n3>}中的一個(gè)狀態(tài)矢量。Jz的本征值為±m(xù), ±(m-2),……，取值間隔為2，但不能為0。只當(dāng)n3=0,1時(shí)，|m>才是J2的本征態(tài)，本征值分別為λ=m(m+1), (m+1)(m+2)。此外，在|m>的表示中包含n3這個(gè)未定的因素或曰自由參數(shù)，這是此前的理論不可能發(fā)掘到的信息。這恰恰反映了軌道角動(dòng)量分量存在于低一個(gè)維度空間里的現(xiàn)實(shí)。

2.3 J2視角下的角動(dòng)量本征值問(wèn)題

換個(gè)角度，從平方算符J2出發(fā)來(lái)探討(J2, Jz)的共同本征態(tài)。容易驗(yàn)證，角動(dòng)量平方算符J2與算符nt=n1+n2+n3=a1+a1+a2+a2+a3+a3對(duì)易，

算符J2與nt有共同本征態(tài)，這樣就可方便地在特定nt的{|n1, n2, n3>}子空間里表示J2。對(duì)于本征值nt=n1+n2+n3給定的情形，該子空間由個(gè)基矢量|n1, n2, n3>所張成。J2作用到這個(gè)基矢量上的結(jié)果，總可以按照分成四個(gè)閉合的等價(jià)類，且其中數(shù)量相同的3類所包含的基矢量集具有排列對(duì)稱性(permutation)，這反映的恰是算符J2的內(nèi)在對(duì)稱性。

對(duì)于nt=1，所涉及的子空間的3個(gè)基態(tài)矢包括|1, 0, 0>, |0, 1, 0>, |0, 0, 1>，其都是J2的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值λ=2。|1, 0, 0>, |0, 1, 0>可以疊加出Jz的本征態(tài)，見(jiàn)式(8)。

對(duì)于nt=2，所涉及的子空間的6個(gè)基態(tài)矢包括|2, 0, 0>, |0, 2, 0>, |0, 0, 2>, |1, 1, 0>, |1, 0, 1>, |0, 1, 1>。如上解本征值問(wèn)題J2| >=λ| >，可得：

容易驗(yàn)證，|λ=0>不是Jz的本征態(tài)。至于|λ=6>的態(tài)，考察Jz|1, 1, 0>為例，可見(jiàn)

，故不可能構(gòu)成本征值問(wèn)題。但是，

，故疊加態(tài)|1, 0, 1>±i|0, 1, 1>是對(duì)應(yīng)m=±1的本征態(tài)。共同本征值是稀疏的、偶發(fā)的。

對(duì)于nt=3，所涉及的子空間的10個(gè)基態(tài)矢包括|3, 0, 0>, |0, 3, 0>, |0, 0, 3>, |2, 1, 0>, |2, 0, 1>, |0, 2, 1>, |1, 2, 0>, |0, 1, 2>, |1, 0, 2>, |1, 1, 1>。算符J2作用到這些態(tài)上，根據(jù)結(jié)果可分成四個(gè)不同的閉合的等價(jià)類，分別為 |1, 1, 1>；|3, 0, 0>, |1, 2, 0>, |1, 0, 2>；|0, 3, 0>, |2, 1, 0>, |0, 1, 2>；|0, 0, 3>, |2, 0, 1>, |0, 2, 1>。具體地，

這是λ=12的本征態(tài)；它不是Jz的本征態(tài)。對(duì)于|3, 0, 0>, |1, 2, 0>, |1, 0, 2>構(gòu)成的子空間，解本征值問(wèn)題J2| >=λ| >，可得：

對(duì)于|0, 3, 0>, |2, 1, 0> |0, 1, 2>構(gòu)成的子空間解本征值問(wèn)題J2| >=λ| >，可得：

對(duì)于|0, 0, 3>, |2, 0, 1> |0, 2, 1>構(gòu)成的子空間解本征值問(wèn)題J2| >=λ| >，可得：

這些態(tài)都不是Jz的本征態(tài)。

對(duì)于nt=4，所涉及的子空間的15個(gè)基態(tài)矢包括 |4, 0, 0>, |0, 4, 0>, |0, 0, 4>, |3, 1, 0>, |3, 0, 1>, |0, 3, 1>, |1, 3, 0>, |0, 1, 3>, |1, 0, 3>；|1, 1, 2>；|2, 1, 1>, |1, 2, 1>, |2, 0, 2>, |2, 2, 0>, |0, 2, 2>。算符J2作用到這些態(tài)上，會(huì)將它們分成四個(gè)不同的閉合的等價(jià)類，分別為|2, 1, 1>, |0, 3, 1>, |0, 1, 3>；|1, 2, 1>, |1, 0, 3>, |3, 0, 1>；|1, 1, 2>, |1, 3, 0>, |3, 1, 0>；和|4, 0, 0>, |0, 4, 0>, |0, 0, 4>, |2, 0, 2>, |2, 2, 0>, |0, 2, 2>。

對(duì)于|2, 1, 1>, |0, 3, 1>, |0, 1, 3>構(gòu)成的子空間，解本征值問(wèn)題J2| >=λ| >，可得：

對(duì)于|1, 2, 1>, |1, 0, 3>, |3, 0, 1>構(gòu)成的子空間，解本征值問(wèn)題J2| >=λ| >，可得：

對(duì)于|1, 1, 2>, |1, 3, 0>, |3, 1, 0>構(gòu)成的子空間，解本征值問(wèn)題J2| >=λ| >，可得：

對(duì)于 |4, 0, 0>, |0, 4, 0>, |0, 0, 4>, |2, 0, 2>, |2, 2, 0>, |0, 2, 2>構(gòu)成的子空間，解本征值問(wèn)題J2| >=λ| >，可得：

除了|λ=0>(m=0)以外，上述這些態(tài)都不是Jz的本征態(tài)。{|λ=0>可能也不是Jz的本征態(tài)，可能是把結(jié)果為0，錯(cuò)當(dāng)成0乘上原來(lái)的態(tài)了}

對(duì)于nt=5，所涉及的子空間的21個(gè)基態(tài)矢包括|5, 0, 0>, |0, 5, 0>, |0, 0, 5>； |4, 1, 0>, |4, 0, 1>, |0, 4, 1>, |1, 4, 0>, |0, 1, 4>, |1, 0, 4>；|3, 0, 2>, |3, 2, 0>, |0, 3, 2>, |2, 3, 0>, |0, 2, 3>, |2, 0, 3>；|2, 1, 2>, |2, 2, 1>, |1, 2, 2>；|1, 3, 1>, |1, 1, 3>, |3, 1, 1>。算符J2作用到這些態(tài)上，會(huì)將它們分成四個(gè)不同的閉合的等價(jià)類，分別為|1, 3, 1>, |1, 1, 3>, |3, 1, 1>；|5, 0, 0>, |3, 0, 2>, |3, 2, 0>, |1, 0, 4>, |1, 4, 0>, |1, 2, 2>；|0, 5, 0>, |0, 3, 2>, |2, 3, 0> , |4, 1, 0>, |0, 1, 4>, |2, 1, 2>；|0, 0, 5>, |0, 2, 3>, |2, 0, 3>, |4, 0, 1>，|0, 4, 1>, |2, 2, 1>。

對(duì)于|1, 3, 1>, |1, 1, 3>, |3, 1, 1>構(gòu)成的子空間，解本征值問(wèn)題J2| >=λ| >，可得：

對(duì)于 |5, 0, 0>, |3, 0, 2>, |3, 2, 0>, |1, 0, 4>, |1, 4, 0>，|1, 2, 2>構(gòu)成的子空間，解本征值問(wèn)題J2| >=λ| >，可得λ=2, 12, 30。

對(duì)另外的類似的兩組基態(tài)矢，結(jié)果分別為

以及：

對(duì)于nt=6，所涉及的子空間的28個(gè)基態(tài)矢包括 |6, 0, 0>, |0, 6, 0>, |0, 0, 6>； |5, 1, 0>, |5, 0, 1>，|0, 5, 1>, |1, 5, 0>, |0, 1, 5>, |1, 0, 5>；|4, 0, 2>, |4, 2, 0>, |0, 4, 2>, |2, 4, 0>, |0, 2, 4>, |2, 0, 4>；|1, 4, 1>, |1, 1, 4>, |4, 1, 1>； |3, 3, 0>, |3, 0, 3>, |0, 3, 3>；|3, 2, 1>, |3, 1, 2>, |1, 3, 2>, |2, 3, 1>, |1, 2, 3>, |2, 1, 3>；|2, 2, 2>。算符J2作用到這些態(tài)上，會(huì)將它們分成不同的等價(jià)類，分別為|6, 0, 0>, |0, 6, 0>, |0, 0, 6>, |4, 0, 2>, |4, 2, 0>, |0, 4, 2>, |2, 4, 0>, |0, 2, 4>, |2, 0, 4>, |2, 2, 2>；|5, 1, 0>, |1, 5, 0>, |1, 1, 4>, |3, 3, 0>, |3, 1, 2>, |1, 3, 2>；|5, 0, 1>, |1, 0, 5>, |1, 4, 1>, |3, 0, 3> , |1, 2, 3>, |3, 2, 1>；以 及 |0, 5, 1>, |0, 1, 5>, |4, 1, 1>, |0, 3, 3>, |2, 3, 1>, |2, 1, 3>。

針對(duì)|5, 1, 0>, |1, 5, 0>, |1, 1, 4>, |3, 3, 0>, |3, 1, 2>, |1, 3, 2>構(gòu)成的子空間求解本征值問(wèn)題J2| >=λ| >，可得λ=6, 20, 42。針對(duì)|5, 0, 1>, |1, 0, 5>, |1, 4, 1>, |3, 0, 3>, |1, 2, 3>, |3, 2, 1>構(gòu)成的子空間和針對(duì)|0, 5, 1>, |0, 1, 5>, |4, 1, 1>, |0, 3, 3>, |2, 3, 1>, |2, 1, 3>構(gòu)成的子空間求解本征值問(wèn)題，結(jié)果與此相同。針對(duì)|6, 0, 0>, |0, 6, 0>, |0, 0, 6>；|4, 0, 2>, |4, 2, 0>, |0, 4, 2>, |2, 4, 0>, |0, 2, 4>, |2, 0, 4>；|2, 2, 2>構(gòu)成的子空間解本征值問(wèn)題J2| >=λ| >，可得λ = 0, 20, 42。

具體的本征矢量表達(dá)式太長(zhǎng)，且與前述結(jié)果可相類比，故此處從略。它們都不是Jz的本征態(tài)。

我們看到，可以在nt=n1+n2+n3給定的{|n1, n2, n3>}的子空間中找到J2的本征態(tài)。除了nt=1, 2的情形外，這些J2的本征態(tài)都不可能是Jz的本征態(tài)。這個(gè)結(jié)論與上節(jié)中從Jz出發(fā)得到的結(jié)論吻合。

3 結(jié)束語(yǔ)

長(zhǎng)期以來(lái)，空間轉(zhuǎn)動(dòng)群生成元的表示|jm>被誤當(dāng)作量子力學(xué)中的軌道角動(dòng)量的表示，我們的角動(dòng)量理論對(duì)此給予了糾正。利用來(lái)自坐標(biāo)—?jiǎng)恿康纳邓惴?，基于與空間參照系相結(jié)合的占據(jù)態(tài)表示{n1, n2, n3; nk=0, 1, 2, …}，這讓關(guān)于角動(dòng)量的表示始終是物理的而非簡(jiǎn)單地是代數(shù)的。我們看到Jz與nb=n1+n2對(duì)易而J2與nb=n1+n2+n3對(duì)易，這為構(gòu)建它們的本征態(tài)提供了一個(gè)簡(jiǎn)便有效的途徑。結(jié)果表明J2與Jz具有稀疏的共同本征態(tài)。只當(dāng)n3=0, 1時(shí)，那些由nb=n1+n2限定的{n1, n2, n3}子空間中構(gòu)造的jz的本征態(tài)才是J2的本征態(tài)，且本征值分別為±m(xù), ±(m-2), …(m≠0)；λ=m(m+1), (m+1)(m+2)。那些由nt=n1+n2+n3限定的{n1, n2, n3}子空間中構(gòu)造的J2的本征態(tài)，J2作用到個(gè)基矢量上的結(jié)果總是按照l(shuí)1+3l2分成四個(gè)閉合的等價(jià)類，三個(gè)數(shù)目相同的等價(jià)類具有排列不變性，反映了J2的固有對(duì)稱性；只在nt=1, 2的情形下才有Jz的本征態(tài)，任何nt≥3的J2的本征態(tài)都不是Jz的本征態(tài)。在具體的涉及角動(dòng)量的量子力學(xué)問(wèn)題中，諸如朗道能級(jí)問(wèn)題[13]、自旋—軌道耦合問(wèn)題等，我們的理論能提供簡(jiǎn)單有效的求解路徑，并有助于發(fā)掘本征態(tài)/本征值的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。

參考文獻(xiàn)

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[13] Landau L. Zeitschrift für Physik，1930，64 (9-10)：629

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