分子線超圖和超超圖

Molecular Line HyperGraphs and SuperHyperGraphs

https://fs.unm.edu/NK/NK9-4.pdf

摘要

超圖通過允許超邊連接頂點(diǎn)的任意非空子集來擴(kuò)展經(jīng)典圖，從而捕捉復(fù)雜的群體級關(guān)系。超超圖通過引入遞歸嵌套的冪集層推進(jìn)了這一框架，這些層表示超邊之間的層次化和自引用連接。線圖通過將給定圖的每條邊轉(zhuǎn)化為一個頂點(diǎn)，并在對應(yīng)的邊共享一個端點(diǎn)時連接兩個這樣的頂點(diǎn)，來編碼給定圖的邊鄰接關(guān)系。迭代線圖重復(fù)應(yīng)用此構(gòu)造，每次應(yīng)用于上一步的結(jié)果。在化學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，分子圖和化學(xué)圖已確立，且超圖、線圖和超超圖也在此背景下被探索過。在本文中，我們引入分子線超超圖和分子迭代線超超圖，提供形式化定義，并討論潛在應(yīng)用。我們期望這些框架將能在化學(xué)中實(shí)現(xiàn)更清晰和更忠實(shí)的層次分子結(jié)構(gòu)表示。

關(guān)鍵詞：超超圖，超圖，線圖，分子圖，迭代線圖

1. 預(yù)備知識

本節(jié)概述了本文所采用的基本概念和符號表示。 全文中，所有被考慮的圖和超圖均假定為有限的。

1.1. 超圖與超超圖

超圖通過允許每條邊（稱為超邊）連接頂點(diǎn)集的任意非空子集，擴(kuò)展了標(biāo)準(zhǔn)圖模型，從而能夠?qū)Χ嘤趦蓚€頂點(diǎn)之間的交互進(jìn)行建模 [1–4]。超超圖在此基礎(chǔ)上構(gòu)建，通過對超圖結(jié)構(gòu)重復(fù)應(yīng)用冪集運(yùn)算，產(chǎn)生層次嵌套的超邊連接層 [5–7]。這種增強(qiáng)的結(jié)構(gòu)模型一直是最近幾項(xiàng)研究的焦點(diǎn) [8–10]。鑒于其對層次建模具有高描述能力，超超圖框架預(yù)計(jì)將支持不斷擴(kuò)大的應(yīng)用范圍 [11–14]，并且預(yù)計(jì)將在未來發(fā)揮更突出的作用。

定義 1.1（基集）。設(shè) S 為一個非空集合，稱為基集。所有高階對象，如冪集和超頂點(diǎn)，均由 S 構(gòu)建：

例 1.9（生物化學(xué) 2-超超圖：EGFR–MAPK 信號程序）。（參見 [21]）我們構(gòu)建一個具體的 2 級超超圖，用以組織生化反應(yīng) → 模塊 → 程序。

0 級（反應(yīng)基集）。設(shè)基集收集反應(yīng)/交互標(biāo)識符。

1.2. 線圖

線圖將圖的邊表示為頂點(diǎn)，若原始邊共享一個公共端點(diǎn)，則將它們連接起來（參見 [22–24]）。

解釋：每個頂點(diǎn)代表一個交互項(xiàng)（成對或三體），且每條超邊將所有在公共原子處相遇的交互項(xiàng)歸為一組——這種組織形式對于化學(xué)物理模擬中的多體勢組裝很有用。

線超超圖將每條超邊映射為一個頂點(diǎn)，并通過包含原始結(jié)構(gòu)中公共超頂點(diǎn)的超邊將它們連接起來 [30]。

1.3. 迭代線圖

迭代線圖是通過對一個圖重復(fù)應(yīng)用線圖變換而形成的，并將每次的結(jié)果作為下一次的輸入 [31–36]。

這說明了重復(fù)的線圖變換是如何從原子-原子鍵延伸到鍵之間的鄰接關(guān)系，進(jìn)而延伸到這些鄰接關(guān)系之間的鄰接關(guān)系，依此類推。

迭代線超圖將線超圖構(gòu)造重復(fù)應(yīng)用于超圖，從而在迭代過程中捕捉超邊的高階鄰接關(guān)系 [30]。

從化學(xué)角度看，1 級將反應(yīng)分組為模塊，2 級將模塊耦合轉(zhuǎn)化為“通道頂點(diǎn)”并記錄哪些通道在一個模塊處匯合，而 3 級記錄這些通道本身如何通過共享的通道頂點(diǎn)共同出現(xiàn)。

1.4. 分子線圖與迭代線圖

分子圖（Molecular Graph）將分子建模為以原子為頂點(diǎn)、鍵為邊的圖，以表示其結(jié)構(gòu)連通性 [38–43]。與分子圖相關(guān)的概念包括化學(xué)圖（chemical graph）[44–48]。分子圖已在各種研究工作中得到了廣泛研究 [49–52]。

分子線圖（Molecular Line Graph）將分子圖的每個鍵表示為一個頂點(diǎn)，如果這些鍵共享一個原子，則將它們連接起來（參見 [53, 54]）。分子迭代線圖（Molecular Iterated Line Graph）重復(fù)應(yīng)用線圖變換，以揭示連續(xù)的高階鍵鄰接關(guān)系 [55–57]。

因此，苯是線圖算子的一個不動點(diǎn)，反映了環(huán)周圍均勻的鍵-鍵鄰接關(guān)系。

例 1.31（直鏈烷烴骨架：正戊烷片段 C?–C?–C?–C?–C?）。我們通過簡單的分子圖對一個無支鏈的五碳骨架（如正戊烷中所示）進(jìn)行建模

G編碼原子–原子連通性（C–C 鍵）。 L ( G )
將鍵轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)，并記錄哪些鍵在公共碳原子處相鄰——例如，這對于沿烷烴骨架構(gòu)建振動或 NMR 耦合模型中的鍵–鍵耦合項(xiàng)很有用。迭代至 捕捉了鍵–鄰接關(guān)系本身之間的鄰接性，這可以在正戊烷等直鏈烴中組織高階約束（例如，順序耦合路徑或粗粒度片段相互作用）。

1. 分子線超圖與迭代線超圖

分子超圖將原子表示為頂點(diǎn)，化學(xué)鍵表示為超邊，從而捕捉分子結(jié)構(gòu)中的多原子相互作用 [62–64]。近年來，分子超圖一直是各種研究的主題 [65,66]。分子線超圖通過將鍵表示為頂點(diǎn)并在共享公共原子時連接它們，從而對分子超圖進(jìn)行變換。迭代線超圖重復(fù)應(yīng)用線超圖變換，在連續(xù)層級中揭示鍵之間的高階鄰接關(guān)系。

1. 分子線超超圖（Molecular Line SuperHypergraph）和迭代線超超圖（Iterated Line SuperHypergraph）

分子 n-超超圖（Molecular n-SuperHypergraph）使用直到深度 n 的嵌套原子集或相互作用集來對分層分子結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模（參見 [67–69]）。分子線超超圖將分子超邊（superedges）映射為頂點(diǎn)，通過共享原子將它們連接起來，從而實(shí)現(xiàn)高階化學(xué)連通性分析。分子迭代線超超圖反復(fù)將分子超邊變換為頂點(diǎn)，揭示復(fù)雜化學(xué)結(jié)構(gòu)中的多層次分層連通性。

這具體闡明了一次迭代中的頂點(diǎn)（相互作用組）如何成為下一次迭代中被歸入超邊的“單元”，從而通過重復(fù)的線-超超圖提升（lifting），對功能部分之間的高階關(guān)聯(lián)進(jìn)行編碼。

例 3.8（共軛芳香族片段（對位二取代苯））。我們從苯環(huán)的鍵標(biāo)識符構(gòu)建一個第 1 層分子超超圖，并計(jì)算其分子迭代線超超圖直至第二次迭代。

1. 結(jié)論

在本文中，我們引入了分子線超超圖（Molecular Line SuperHyperGraphs）和分子迭代線超超圖（Molecular Iterated Line SuperHyperGraphs）的概念，給出了形式化定義，并探討了其潛在應(yīng)用。展望未來，我們預(yù)期后續(xù)工作將借助模糊圖（Fuzzy Graphs）[70]、直覺模糊圖（Intuitionistic Fuzzy Graphs）[71]、中智圖（Neutrosophic Graphs）[72–75]、中智超圖（Neutrosophic HyperGraphs）[76,77]、不確定圖（Uncertain Graphs）[78,79] 以及普利托生圖（Plithogenic Graphs）[80–82] 等框架來擴(kuò)展這些概念。我們同時也期待編程工具與庫的開發(fā)進(jìn)展，以及通過計(jì)算機(jī)機(jī)器學(xué)習(xí)與實(shí)驗(yàn)研究開展的定量分析。

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