我們多多少少都有過(guò)這樣的經(jīng)歷：一不小心把盤子、玻璃杯或者手機(jī)掉在地上，碎片滿地飛，結(jié)果撿起來(lái)一看，小碎渣特別多，大塊卻很少。

為什么？

其實(shí)不管是摔盤子、砸核桃，還是小行星在太空撞車，甚至原子核互相“對(duì)撞”，碎片的大小分布竟然都遵循同一個(gè)規(guī)律！

這可不是巧合，而是一個(gè)隱藏了上百年的數(shù)學(xué)謎團(tuán)。最近，法國(guó)物理學(xué)家埃馬紐埃爾·維勒莫（Emmanuel Villermaux）用一個(gè)超級(jí)簡(jiǎn)潔的理論，終于把它徹底破解了！

萬(wàn)事不決找數(shù)學(xué)！

當(dāng)一個(gè)物體破碎時(shí)，會(huì)發(fā)生某種奇怪的現(xiàn)象：無(wú)論這個(gè)物體是掉落的玻璃杯還是盤子，還是一個(gè)原子的原子核撞擊另一個(gè)原子核，甚至是兩顆小行星相撞。當(dāng)某物碎裂時(shí)，其碎片的大小總是遵循相同的趨勢(shì)。

圖源：snexplores

一個(gè)世紀(jì)以來(lái)，科學(xué)家們一直對(duì)破碎現(xiàn)象著迷?！斑@是一種魔力，”匈牙利德布勒森大學(xué)的物理學(xué)家費(fèi)倫茨·昆（Ferenc Kun）說(shuō)。

當(dāng)你用對(duì)數(shù)軸繪制碎片數(shù)量與它們大小的關(guān)系圖時(shí)，總會(huì)得到一條向下傾斜的直線。換句話說(shuō)，小碎片的數(shù)量遠(yuǎn)多于大碎片。

在數(shù)學(xué)中，這條線被稱為“冪律”。

如果你把一個(gè)土豆浸入液氮中然后扔下，你會(huì)得到與在煤礦中爆炸煤炭時(shí)相同的殘余物大小分布。

但問(wèn)題在于：為什么？

埃馬紐埃爾·維勒莫（Emmanuel Villermaux）現(xiàn)在提出了一個(gè)解釋。他的理論不僅解釋了為什么碎片大小的圖是一條直線，還預(yù)測(cè)了不同物體這條線的斜率應(yīng)該是多少。維勒莫是法國(guó)艾克斯-馬賽大學(xué)的物理學(xué)家，同時(shí)也是法國(guó)大學(xué)研究所的成員。他于去年11月在《物理評(píng)論快報(bào)》上分享了這一新發(fā)現(xiàn)。

另一位物理學(xué)家尼古拉·范登伯格（Nicolas Vandenberghe）指出，這一理論不僅僅解決了長(zhǎng)期以來(lái)的謎團(tuán)。他也在艾克斯-馬賽大學(xué)工作，但并未參與這項(xiàng)新研究。

許多工業(yè)過(guò)程“需要有合適的碎片大小”，范登伯格指出。他以煤炭為例。如果塊的大小不對(duì)，煤炭就燃燒不好。另一個(gè)例子是砂紙。其磨料由破碎的礦物顆粒制成，需要有非常特定且均勻的大小。因此，維勒莫的新理論在工業(yè)中可能有大量應(yīng)用。

在某物破碎之前，裂紋會(huì)出現(xiàn)并在其中擴(kuò)散。過(guò)去，科學(xué)家們經(jīng)常研究這些裂紋如何發(fā)展，以此來(lái)理解破碎現(xiàn)象。但這些理論總是依賴于特定的碰撞，研究人員需要使用特定碰撞的細(xì)節(jié)來(lái)解釋結(jié)果。

昆說(shuō)，他的工作“表明實(shí)際上，破碎的機(jī)制對(duì)結(jié)果并不重要”。

碎片數(shù)量真的是隨機(jī)嗎？

維勒莫采用了兩個(gè)廣泛的概念，首先是“最大隨機(jī)性”的概念。

最大隨機(jī)性預(yù)測(cè)，任何過(guò)程最可能的結(jié)果是具有最多發(fā)生方式的那一個(gè)。

以擲兩個(gè)骰子為例。

有六種方式可以讓骰子數(shù)字相加為七：1和6、2和5、3和4、4和3、5和2、6和1。但只有一種方式讓骰子相加為二：1和1。因此，擲出七的可能性更大。

科學(xué)家們現(xiàn)在將這種思維用于破碎的結(jié)果。當(dāng)某物破碎時(shí)，碎片大小的分布很可能是具有最多發(fā)生方式的那種分布。

其次，維勒莫知道質(zhì)量必須守恒。所有碎片的質(zhì)量總和必須等于未破碎物體的起始質(zhì)量。但他設(shè)計(jì)了一個(gè)更簡(jiǎn)單的版本：他證明，當(dāng)某物破碎時(shí)，一種密度形式——質(zhì)量除以體積——也必須近似守恒。

然后，維勒莫用數(shù)學(xué)計(jì)算出，如果這兩個(gè)想法都成立，碎石的大小分布會(huì)是什么樣子。

結(jié)果竟然是冪律！

維勒莫的公式還能預(yù)測(cè)繪制不同物體碎片大小時(shí)冪律的斜率。他的斜率不依賴于物體如何破碎、其大小、形狀或由什么制成。它只依賴于物體的所謂維度。

以形狀像線條的物體為例——鉛筆或筷子。對(duì)于這種大致“一維”或“1-D”物體的碎片大小圖，斜率將是-1。換句話說(shuō)，隨著碎片大小的增加，該大小的碎片數(shù)量以大致相同的速率減少。

有些東西，比如餐盤，具有顯著的長(zhǎng)度和寬度，但高度很小。這些大致二維（2-D）物體的斜率約為-2.2。因此，隨著碎片大小的增加，碎片數(shù)量的下降速度比1-D物體稍快一些。

而對(duì)于三維物體——比如保齡球，具有顯著的長(zhǎng)度、寬度和高度——斜率將是-3.5。

這些斜率值與維勒莫和其他科學(xué)家進(jìn)行的大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。例如，壓碎未煮熟的意大利面（大致1-D）產(chǎn)生的碎片，其大小圖的斜率為-1.3。在海洋中撕裂的薄包裝材料（大致2-D）顯示斜率為-2.4。而破碎波下的三維氣泡給出斜率為-3.5。

維勒莫還親自做了糖塊實(shí)驗(yàn)：從不同高度砸下去，無(wú)論高度怎么變，碎片分布的斜率始終是-3.5，穩(wěn)得一批！

不過(guò)有些東西確實(shí)打破了這些一般規(guī)則，為了解釋它們，維勒莫以幾種方式擴(kuò)展了他的理論。

例如，最大碎片的分布往往低于預(yù)測(cè)的直線。因此，維勒莫推導(dǎo)出了他的公式的更復(fù)雜版本。它除了質(zhì)量守恒外，還考慮了能量守恒。然后，他用對(duì)數(shù)軸重新繪制了一些90年前的數(shù)據(jù)。他對(duì)碎片大小的更復(fù)雜預(yù)測(cè)現(xiàn)在能夠更全面地解釋那個(gè)舊實(shí)驗(yàn)。

“用新思維看待近一個(gè)世紀(jì)前的數(shù)據(jù)非常好，”他說(shuō)?！爱?dāng)你更仔細(xì)地觀察它們時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一些新東西?！?/p>

維勒莫甚至可以解釋為什么軟物體的碎片分布與硬物體不同。軟物體在破碎時(shí)會(huì)產(chǎn)生塑性變形，這會(huì)影響碎片的形成。維勒莫假設(shè)，軟物體的某些小碎片不會(huì)形成，從而導(dǎo)致碎片分布更平坦，擁有較少的微小碎片和較多的較大碎片。他因此計(jì)算出塑料等軟物體的“有效”斜率。對(duì)于三維的塑料物體，這個(gè)有效斜率約為-1.5。

維勒莫的工作與2010年昆等人的一項(xiàng)研究結(jié)果非常吻合。在那項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中，他們將塑料球扔向墻壁，觀察碎片，并計(jì)算出有效斜率為-1.6。昆對(duì)維勒莫的理論感到非常興奮，他說(shuō)：“在這非常通用的數(shù)學(xué)中，他能融入塑性的影響。這太令人驚嘆了！”

這個(gè)理論不只是好玩，還有大用處。

許多工業(yè)過(guò)程都需要精確控制碎片大小，比如煤炭要碎到合適大小才好燃燒，砂紙的磨料顆粒必須均勻，制藥、食品加工、回收利用等領(lǐng)域都能用到這個(gè)理論。

生活中好多這種看似平常的現(xiàn)象，其實(shí)蘊(yùn)含了非常有意思的數(shù)學(xué)規(guī)律。乍看之下好像毫無(wú)意義，但實(shí)際上它們?cè)诠I(yè)、工程乃至科學(xué)研究等多個(gè)領(lǐng)域，正悄然發(fā)揮著重要作用。

來(lái)源：snexplores

原文：https://www.snexplores.org/article/how-objects-shatter-math-mystery

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本書(shū)可作為高中生和大學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的人門讀物，也可供數(shù)學(xué)愛(ài)好者閱讀。