HyperGraph and SuperHyperGraph Theorywith Applications

超圖和超超圖理論及其應用

https://philpapers.org/archive/TAKHAS-2.pdf

摘要

超圖通過允許連接超過兩個頂點的超邊，推廣了這一框架 [1]。超級超圖通過迭代冪集構造進一步豐富了該模型，捕捉了超邊之間的層次和自引用結構 [2]。一個 ( m , n ) -超級超圖是一種數(shù)學結構，其中每個頂點對應于定義在基集上的一個 ( m , n )
-超級超函數(shù)，而超邊將此類函數(shù)分組在一起以表示高階關系和上下文連接。與關于圖和超圖的廣泛文獻相比，關于超級超圖的系統(tǒng)研究仍然相對有限。

為了幫助彌合這一差距，本書呈現(xiàn)了一份關于超級超圖相關基礎和高級概念的綜述。我們的目標是雙重的：(i) 增加超級超圖理論的可見性和可及性，從而刺激進一步的研究，以及 (ii) 加深從事基于圖和超圖模型工作的研究人員和從業(yè)者對其結構的數(shù)學理解。

關鍵詞：超級超圖理論，超圖理論， ( m , n )
-超級超圖理論，不確定圖理論，圖應用

第 1 章 引言

1.1 圖、超圖和超級超圖

網(wǎng)絡建模通常依賴于圖，其中實體由頂點表示，二元關系由邊表示 [3]。然而，經典圖可能不足以描述三個或更多實體同時交互的復雜網(wǎng)絡。超圖通過允許每個超邊連接頂點的任意非空子集來解決這一限制，從而捕捉高階交互 [4]。盡管具有表達能力，超圖可能仍然不足以表示許多現(xiàn)實世界系統(tǒng)中出現(xiàn)的分層、嵌套和固有層次關系。為了彌合這一差距，F(xiàn). Smarandache 引入了超級超圖的概念。超級超圖采用基于迭代冪集的構造來編碼嵌套連接模式和多層關系 [2,5]，并且最近引起了大量關注 [6, 7]。

圖和超圖為復雜系統(tǒng)提供了直觀的視覺隱喻，并支持人工智能、網(wǎng)絡科學、數(shù)據(jù)挖掘、信息學、化學、物理學及其他領域的廣泛應用 [8–11]。通過明確容納層次和多層關系，超級超圖為建模和分析現(xiàn)代網(wǎng)絡數(shù)據(jù)中遇到的復雜結構提供了一個強大的框架（例如，[12–14, 14–16]）。

表 1.1 總結了圖、超圖和超級超圖之間的關鍵區(qū)別。在本書中，除非另有說明， 被視為自然數(shù)。

使用超級超圖的優(yōu)勢包括幾個眾所周知的好處，例如：

• 通過迭代冪集自然地建模層次結構。
• 在統(tǒng)一框架內表示多路、多級關系。
• 包含圖 [3]、多圖 [18,19]、子頂點圖 [20–22]、超圖 [17]、超圖 [23]、h-模型 [24]、準超級超圖 [5]、冪集圖 [25]、k-鏈自由集 [26]、約翰遜圖 [27]、克內瑟圖 [28] 和多超圖 [29] 作為特殊（扁平化）實例。
• 在每一層支持豐富的屬性系統(tǒng)（模糊、直覺模糊、中智、plithogenic [2]）。
• 為真正的層次系統(tǒng)（如課程或供應鏈網(wǎng)絡）提供更好的適配。

圖、超圖和超級超圖結構已在廣泛的應用領域中得到研究。代表性示例總結在表 1.2 和 1.3 中。需要注意的是，超級超圖的研究仍處于早期階段，在撰寫本文時，大多數(shù)現(xiàn)有工作仍然是理論性的。因此，未來的研究預計將包括更多由計算實驗、機器學習技術和領域專家進行的詳細案例研究支持的實用研究。

1.3 我們的貢獻

從上述討論中可以清楚地看出，超級超圖對于建模層次結構和多路結構具有極其重要的意義。然而，與關于圖和超圖的廣泛文獻相比，關于超級超圖的系統(tǒng)研究仍然相對有限。

為了幫助彌合這一差距，本書提供了一份關于超級超圖相關基礎和高級概念的綜述。我們的目標是雙重的：(i) 提高超級超圖理論的可見性和可及性，從而刺激進一步的研究；以及 (ii) 加深從事基于圖和超圖模型工作的研究人員和從業(yè)者對這些結構的數(shù)學理解。

本書主要聚焦于理論發(fā)展。我們真誠地希望，相關領域的專家能夠開展進一步的計算實驗和現(xiàn)實世界的案例研究。

第 2 章 預備知識：基本超級超圖理論

我們匯集了后文中使用的基本術語和符號。除非另有明確說明，所有考慮的圖均為有限、無向且無自環(huán)的；僅在指定時允許存在多重邊。

2.1 圖和超圖

圖和超圖是離散結構的基本組合模型。經典（無向）圖可以被視為超圖的一種特殊情況，其中每條邊恰好包含兩個頂點 [3]。相比之下，經典超圖允許一條邊連接任意（有限）數(shù)量的頂點，使其適合表示多路關系 [1, 102, 103]。我們簡要介紹定義以及相關概念。

通過這種方式，超邊編碼了多人協(xié)作關系，這是普通的（成對）圖邊無法單獨捕捉的。

2.2 超級超圖

超級超圖通過從基集的迭代冪集形成頂點和邊，將這一思想進一步推進；這種觀點已出現(xiàn)在最近的幾個研究中 [7,106,107]。據(jù)報道，其應用包括分子結構建模、復雜網(wǎng)絡分析和信號處理等 [108–112]。在整個過程中，層級 n n 是一個固定的非負整數(shù)。我們簡要介紹定義以及相關概念。

表 2.1 再次展示了圖、超圖和超級超圖之間的概念關系。超級超圖有望為表示現(xiàn)實世界系統(tǒng)中出現(xiàn)的層次網(wǎng)絡結構提供一個清晰且富有表現(xiàn)力的框架。我們在下面給出超級超圖的具體例子。

例 2.2.4（作為 2-超級超圖的大學課程束網(wǎng)絡）。大學課程是一個結構化的課程集合，被組織成模塊和項目，以指導學生的學術進展 [117, 118]。我們對大學課程的一小部分進行建模，其中課程被分組為模塊，并且?guī)讉€模塊被組合成學位項目模式。

例 2.2.5（作為 3-超級超圖的多醫(yī)院監(jiān)測協(xié)議）。 近年來，多醫(yī)院管理已變得日益必要 [119, 120]。我們要對不同醫(yī)院如何組織多級生命體征監(jiān)測協(xié)議進行建模。

步驟 1：基集和第一級組合。設原子生命體征信號的基集為

2.3 超級超圖的推廣定理

超級超圖可以推廣多種圖及相關數(shù)學結構。作為一個說明性的起點，我們明確考察超級超圖如何推廣幾個經典對象，即抽象單純復形、有限擬陣和平衡不完全區(qū)組設計（BIBDs）。

因此，每個有限擬陣都可以被視為一個 1-超級超圖，在其超級邊上滿足特定的關聯(lián) - 正則性約束，反之，任何這種形式的 1-超級超圖都確定一個擬陣。因此，有限擬陣是 1-超級超圖的特例。

定理 2.3.8（超級超圖的普適性）。 下列每一個結構都可以忠實地表示為一個 n n-超級超圖：

• 普通圖；
• 超圖 [17]；
• 多重圖 [18,19]；
• 超級圖 [23]；
• 多重超圖 [29]；
• 準超級超圖 [5]；
• n n 次冪圖 [129]；
• 子集-頂點圖 [22]；
• 子集-頂點多重圖 [20]；
• h-模型 [24]；
• k-鏈自由超圖 [26]；
• 冪集圖 [130]；
• n n 次冪集圖 [128]；
• 約翰遜圖 [131]；
• 克內瑟圖 [132]；
• 集合 [105]；
• 多重集 [133]；
• 迭代多重集 [134]；
• 冪集 [130]；
• n n 次冪集 [135]；
• 抽象單純復形 [136,137]；
• 有限擬陣 [125]；
• 平衡不完全區(qū)組設計 (BIBDs) [127,138]。

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