專欄作者Natalie Wolchover探討應(yīng)用范疇論能否成為“綠色”數(shù)學(xué)。

來(lái)源 | Quanta Magazine及網(wǎng)絡(luò)公開(kāi)信息

編譯 | 數(shù)學(xué)家編譯小組

校對(duì) | 慧玲

2011年，John Baez在他的博客上寫(xiě)道：“我花了很長(zhǎng)時(shí)間探索傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的水晶般純凈之美，但現(xiàn)在我渴望研究一些更接地氣的東西。”這位在加州大學(xué)河濱分校和愛(ài)丁堡大學(xué)兩地工作的有影響力的數(shù)學(xué)物理學(xué)家，對(duì)地球的狀況日益擔(dān)憂，并認(rèn)為數(shù)學(xué)家們可以為此做些什么。

Baez呼吁發(fā)展新的數(shù)學(xué)——他稱之為"綠色"數(shù)學(xué)——以更好地捕捉地球生物圈和氣候的運(yùn)作方式。就他本人而言，他試圖應(yīng)用范疇論（category theory）——一個(gè)他專精的高度抽象的數(shù)學(xué)分支——來(lái)為自然世界建模。

這聽(tīng)起來(lái)像是個(gè)白日夢(mèng)。數(shù)學(xué)在描述簡(jiǎn)單、孤立的系統(tǒng)時(shí)表現(xiàn)出色，但當(dāng)我們從原子到有機(jī)體再到生態(tài)系統(tǒng)時(shí)，簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)模型通常效果遞減。這些系統(tǒng)實(shí)在太過(guò)復(fù)雜。

在哲學(xué)中，“感質(zhì)（qualia）”指的是我們經(jīng)驗(yàn)的主觀特性：比如愛(ài)麗絲看到藍(lán)色時(shí)的感受，或鮑勃感到快樂(lè)時(shí)的體驗(yàn)。正如已故哲學(xué)家Daniel Dennett所言，感質(zhì)是“事物在我們看來(lái)呈現(xiàn)的方式”。在這些隨筆中，我們的專欄作者追隨他們的好奇心，探索重要但不一定有確定答案的科學(xué)問(wèn)題。

但在Baez發(fā)表那篇博文后的幾年里，已有超過(guò)100位數(shù)學(xué)家加入他的行列，作為“應(yīng)用范疇論者”試圖以新方式為各種現(xiàn)實(shí)世界系統(tǒng)建模。應(yīng)用范疇論現(xiàn)在擁有年度會(huì)議、學(xué)術(shù)期刊、研究所以及由英國(guó)政府資助的研究項(xiàng)目。

然而，懷疑論者也大有人在。應(yīng)用范疇論者M(jìn)atteo Capucci告訴我：“當(dāng)我說(shuō)我們是弱勢(shì)群體，沒(méi)人喜歡我們時(shí)，這不完全正確，但也有一點(diǎn)真實(shí)?！?/p>

我開(kāi)始著手了解這個(gè)新興研究領(lǐng)域究竟是怎么回事。一個(gè)看似最純粹的純數(shù)學(xué)分支之一，怎么可能幫助揭開(kāi)像生物圈這樣復(fù)雜的系統(tǒng)的神秘面紗？它是否是對(duì)其他建模方法的重大改進(jìn)？數(shù)學(xué)真的能是綠色的嗎？起初看來(lái)希望渺茫。

出乎意料的是，我了解到應(yīng)用范疇論近來(lái)取得了一些成功。雖然應(yīng)用尚未像Baez希望的那樣綠色，但該方法在包括流行病學(xué)和人工智能安全在內(nèi)的關(guān)鍵領(lǐng)域正展現(xiàn)出潛力。似乎最抽象的理想化概念，有可能幫助我們更好地理解最混亂的現(xiàn)實(shí)。

范疇論起源于1945年，旨在形式化數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系，并很快發(fā)展成為一個(gè)強(qiáng)大且富有成果的數(shù)學(xué)分支。

我們所說(shuō)的數(shù)學(xué)對(duì)象是什么意思？數(shù)字、函數(shù)和集合都是例子。對(duì)范疇論者來(lái)說(shuō)，定義一個(gè)對(duì)象的是它與其他對(duì)象的關(guān)系。國(guó)際象棋中的黑王是什么？愛(ài)丁堡大學(xué)的數(shù)學(xué)家Tom Leinster說(shuō)：“你可以說(shuō)它是一塊木頭，被雕刻成特定的形狀并涂成黑色，但這并不重要；它也可以是一個(gè)鹽瓶?！毕喾矗谕跏怯伤谄灞P(pán)上的移動(dòng)方式、如何捕獲對(duì)方棋子或被對(duì)方將軍來(lái)定義的。

一個(gè)范疇（category）就是一系列對(duì)象以及這些關(guān)系（即態(tài)射（morphism））的集合。讓我們把國(guó)際象棋視為一個(gè)范疇。為此，你可以把它描繪成一個(gè)圖表，其中每個(gè)對(duì)象（合法的棋局位置）用一個(gè)小方框表示，然后用箭頭連接方框來(lái)表示態(tài)射，即可能的移動(dòng)。范疇論學(xué)者研究如何映射、重疊或連接不同的范疇。

我們憑直覺(jué)都知道范疇的存在。例如，我們知道5英尺和5美元在數(shù)學(xué)上并不等同。你可以將5英尺乘以3英尺得到15平方英尺。但你不能將5美元和3美元相乘——沒(méi)有"平方美元"這種東西。你可以將5美元和3美元相加，或者將5美元乘以3（這里的3是數(shù)字，不是美元）。但5美元乘以3美元是沒(méi)有意義的。

對(duì)范疇論者來(lái)說(shuō)，美元值是一個(gè)稱為一維向量空間的范疇中的對(duì)象。想象一下數(shù)軸；一個(gè)美元金額就像一根從零點(diǎn)開(kāi)始、沿著數(shù)軸延伸一定距離的箭頭（或“向量”）。你可以通過(guò)將兩個(gè)向量首尾相接來(lái)相加，但向量相乘在一維向量空間中不是一個(gè)有效的態(tài)射。 盡管對(duì)向量空間或態(tài)射一無(wú)所知，我們卻總能在結(jié)賬時(shí)避免犯尷尬的范疇錯(cuò)誤。但當(dāng)概念比距離和美元更多樣、更復(fù)雜時(shí)，我們就會(huì)遇到問(wèn)題。 Baez告訴我：“這在建模中經(jīng)常出現(xiàn)，例如流行病學(xué)建模。如果你用傳統(tǒng)軟件編寫(xiě)模型，并在程序中輸入‘35’，這并不能告訴你它是35美元、35個(gè)人還是35劑藥物。所以你把這些都混同為數(shù)字，這就更容易出錯(cuò)?！?/p>

應(yīng)用范疇論提供了一個(gè)框架，用對(duì)象和態(tài)射來(lái)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界系統(tǒng)進(jìn)行建模。位于伯克利的Topos研究所（致力于范疇論應(yīng)用）的聯(lián)合創(chuàng)始人兼首席執(zhí)行官Brendan Fong說(shuō)：“范疇是組織邏輯結(jié)構(gòu)的方法?！?/p>

物理學(xué)家Bob Coecke在2000年代將其應(yīng)用于量子力學(xué)，此后又被擴(kuò)展到量子計(jì)算的推理。幾年后，Baez開(kāi)始思考生物圈的范疇化，而與Fong共同創(chuàng)立Topos研究所的數(shù)學(xué)家David Spivak則通過(guò)思考數(shù)據(jù)庫(kù)獨(dú)立開(kāi)創(chuàng)了應(yīng)用范疇論。Fong說(shuō)：“David有一種強(qiáng)烈的愿望，想要將世界形式化并使其清晰可讀。他在世界上最討厭的事情就是溝通不暢?！?/p>

在我在線觀看的一場(chǎng)2022年的講座中，Spivak設(shè)想了應(yīng)用范疇論在實(shí)踐中的運(yùn)作方式。一位會(huì)計(jì)向應(yīng)用范疇論者講述他們數(shù)據(jù)庫(kù)中的對(duì)象，比如員工和美元金額。然后，范疇論者會(huì)為該開(kāi)發(fā)一個(gè)形式化模型——一個(gè)具有嚴(yán)格邏輯結(jié)構(gòu)的范疇——然后可以將其連接到其他范疇（對(duì)應(yīng)其他數(shù)據(jù)庫(kù)和電子表格），從而對(duì)整個(gè)公司進(jìn)行建模。通過(guò)這種方式，應(yīng)用范疇論成為了一種通用語(yǔ)言，用于描述某個(gè)龐大系統(tǒng)中的異質(zhì)組成部分。

氣候建?！狟aez最初提出的綠色數(shù)學(xué)候選之一——試圖模擬典型的龐大系統(tǒng)：地球本身。地球系統(tǒng)不同領(lǐng)域的專家必須以邏輯方式整合他們的知識(shí)和數(shù)據(jù)流，才能理解整體。但Baez和其他人告訴我，應(yīng)用范疇論者在氣候科學(xué)中尚未取得任何立足點(diǎn)，部分原因是氣候模型已經(jīng)足夠復(fù)雜，能夠運(yùn)作，盡管它們拼接在一起的方式缺乏數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性。數(shù)學(xué)家們認(rèn)為，這種嚴(yán)謹(jǐn)性可以使模型更強(qiáng)大、更靈活，并且更能整合新信息，但推倒重來(lái)既需要說(shuō)服力也需要付出努力。

愛(ài)沙尼亞塔林理工大學(xué)的Amar Hadzihasanovic說(shuō)：“這是我們?cè)趹?yīng)用范疇論中始終面臨的挑戰(zhàn)之一。我們可以去找人們，告訴他們，‘如果你能根據(jù)這些首要原則來(lái)構(gòu)建你的模型，它會(huì)更好?！麄儎t會(huì)告訴你，‘好吧，那需要多長(zhǎng)時(shí)間？’在你能夠獲益之前，需要巨大的投入?！?/p>

數(shù)學(xué)對(duì)解決氣候危機(jī)中政治應(yīng)對(duì)不足的問(wèn)題幾乎無(wú)能為力，但應(yīng)用范疇論在公眾關(guān)注的其他領(lǐng)域則走得更遠(yuǎn)。

例如，Baez一直在與Topos研究所和加拿大計(jì)算機(jī)科學(xué)家Nate Osgood合作，后者專攻疾病爆發(fā)的流行病學(xué)建模。在薩斯喀徹溫大學(xué)從事加拿大疫情應(yīng)對(duì)工作時(shí)，Osgood對(duì)現(xiàn)有建模軟件不允許專家整合不同領(lǐng)域的知識(shí)感到沮喪。

為了預(yù)測(cè)疫情爆發(fā)將如何發(fā)展，流行病學(xué)家經(jīng)常使用存量-流量圖：圖中包括人群存量（易感者、感染者、康復(fù)者、死亡者）和箭頭，箭頭根據(jù)暴露或毒力等因素顯示人群之間的流動(dòng)。存量和流量就是一個(gè)范疇中的對(duì)象和態(tài)射。圖中方框和箭頭的排列可以轉(zhuǎn)化為描述系統(tǒng)演化的方程。

在過(guò)去幾年里，Osgood、Baez和他們的團(tuán)隊(duì)開(kāi)發(fā)了一個(gè)名為StockFlow的軟件包，將這類建模形式化。專家們可以對(duì)疫情爆發(fā)的不同方面進(jìn)行建模，例如健康差異如何影響易感人群的感染率，而這些范疇可以組合成更大的范疇。Baez說(shuō)：“范疇論能夠處理那些更復(fù)雜的組合形式?！?/p>

StockFlow尚未在流行病學(xué)家中普及，但Osgood將其教授給他的學(xué)生，希望能影響下一代建模者。Leinster說(shuō)：“這是真正可以應(yīng)用的東西，是正經(jīng)的東西。”

與此同時(shí)，Hadzihasanovic和Capucci都是“Safeguarded AI”項(xiàng)目的成員，該項(xiàng)目由英國(guó)政府資助的先進(jìn)研究與發(fā)明局（ARIA）資助，旨在將范疇論應(yīng)用于人工智能安全問(wèn)題。該項(xiàng)目的核心問(wèn)題是：如何讓不可預(yù)測(cè)且容易出錯(cuò)的人工智能系統(tǒng)值得信賴，去操作核電站或電網(wǎng)等關(guān)鍵現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)？

我能看到這里的必要性，而團(tuán)隊(duì)的答案很巧妙：為人工智能構(gòu)建用于練習(xí)的復(fù)雜系統(tǒng)形式化模型。這些模型必須具有與現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)相同的邏輯結(jié)構(gòu)，正確表示許多不同類型對(duì)象之間的態(tài)射。

Capucci說(shuō)：“范疇論提供了一種模塊化和組合化的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。我們正在開(kāi)發(fā)可以在眾多情況下部署的基礎(chǔ)技術(shù)?！?/p>

應(yīng)用范疇論者中有一種共識(shí)：隨著系統(tǒng)變得越來(lái)越復(fù)雜和互聯(lián)，隨著人工智能的介入越來(lái)越深，他們的方法終將獲得回報(bào)。憑經(jīng)驗(yàn)行事是行不通的。Hadzihasanovic說(shuō)：“這最終將是一項(xiàng)非常重要的工作。”

許多從業(yè)者進(jìn)入這個(gè)領(lǐng)域是因?yàn)樗麄冋J(rèn)同Baez的環(huán)境保護(hù)理念，并希望最終能處理更綠色的課題。Baez仍然抱有很高的期望。作為民謠歌手及活動(dòng)家Joan Baez的表親，他深受其叔叔（Joan的父親）——一位同時(shí)也是積極參與社會(huì)活動(dòng)的貴格會(huì)信徒的物理學(xué)家——的影響。他說(shuō)，幫助這個(gè)世界而"不只是讓自己開(kāi)心"是"融入我骨子里"的東西。

我問(wèn)他，他認(rèn)為范疇論能幫助我們理解生物圈的哪些方面。

在他看來(lái)，我們對(duì)生物系統(tǒng)的范疇劃分是不恰當(dāng)?shù)?。我們誤以為它們是機(jī)器，是通過(guò)攝入物質(zhì)和能量，產(chǎn)生期望產(chǎn)出和廢物的、執(zhí)行特定任務(wù)的對(duì)象。Baez說(shuō)：“我們只關(guān)注我們?cè)诤醯牟糠郑鲆暳藦U物和能量的來(lái)源。我們整個(gè)技術(shù)，乃至整個(gè)數(shù)學(xué)，都建立在這種態(tài)度之上?！?/p>

然而，生命系統(tǒng)是另一類范疇。它們并非為執(zhí)行任務(wù)而構(gòu)建。他說(shuō)，進(jìn)化使生命變得“極其微妙和復(fù)雜，其方式我們無(wú)法完全理解”。例如，基因并非機(jī)器中各有其特定目的的獨(dú)立部件；它們都有多種作用和影響。在生態(tài)系統(tǒng)中，沒(méi)有廢物；一個(gè)生物的排泄物是另一個(gè)生物的美餐。

“我認(rèn)為我們還沒(méi)有能夠理解這類系統(tǒng)的數(shù)學(xué)，”Baez說(shuō)，他認(rèn)為對(duì)這些系統(tǒng)建模將涉及具有前所未研究的邏輯結(jié)構(gòu)的新范疇?！斑@正是我想要發(fā)展的那種數(shù)學(xué)，因?yàn)槲冶в幸粋€(gè)希望：如果我們能更好地理解世界，不再將自然界視為我們機(jī)器隨意取用、以實(shí)現(xiàn)我們目標(biāo)的原材料，那么這將有助于我們更友善地對(duì)待這個(gè)世界。我們現(xiàn)在抱有的那種態(tài)度正在碰壁。那種態(tài)度最終會(huì)毀滅整個(gè)星球?！?/p>

的確，如果我們能將自己和其他生物、生態(tài)系統(tǒng)以及氣候視為共同范疇中的對(duì)象，我們或許會(huì)更加珍視它們。

像這些數(shù)學(xué)家一樣，我也渴望在做我所熱愛(ài)的事情的同時(shí)，讓世界變得更美好。（我們不都是嗎？）從哲學(xué)角度看，我看到了應(yīng)用范疇論的潛力。這種方法是否真能幫助人類或地球，時(shí)間會(huì)給出答案。但對(duì)于那些感到有召喚要去行善、也要去做數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，值得一試。

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