伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart），著名數(shù)學(xué)家，享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)科普作家，英國皇家學(xué)會會士。曾獲英國皇家學(xué)會的“法拉第獎?wù)隆?、美國科學(xué)促進(jìn)會的“公眾理解科學(xué)技術(shù)獎”和英國倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會與英國數(shù)學(xué)及應(yīng)用研究院頒發(fā)“塞曼獎?wù)隆?，英國沃里克大學(xué)數(shù)學(xué)系榮退教授。

他的新作《數(shù)學(xué)巨人傳：思考、創(chuàng)造的奇趣故事》講述了阿基米德、劉徽、花拉子米、牛頓、費(fèi)馬、高斯、黎曼、龐加萊、圖靈、拉馬努金、諾特和哥德爾等25位數(shù)學(xué)家的非凡生活和驚人發(fā)現(xiàn)。這些數(shù)學(xué)巨人的人生本就如同小說般精彩，更何況他們開創(chuàng)了數(shù)學(xué)。

今天就來講講那個集古典文學(xué)、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、哲學(xué)、占星學(xué)都卓有成績的卡爾達(dá)諾的故事。

來源：數(shù)學(xué)巨人傳 : 思考、創(chuàng)造的奇趣故事》

作者：[英] 伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）

譯者：張憬

封面圖來源：即夢AI生成

在十分年幼之時，我便全身心投入劍術(shù)修習(xí)，嚴(yán)肅對待每一節(jié)課，通過堅(jiān)持不懈的訓(xùn)練，終于在最勇猛的人當(dāng)中也有了一定的地位。晚上，我甚至敢違抗公爵的命令，全副武裝，在我居住的城市四處潛行。我戴著黑色的羊毛面罩，擋住自己的臉，腳穿羊皮鞋。我經(jīng)常整夜在外面游蕩，直到天亮，賣力地演奏樂器，并因此汗流浹背。

這是 1520 年前后，文藝復(fù)興時期的意式生活——至少對卡爾達(dá)諾來說是這樣。他在自傳《我的生平》（The Book of My Life）中坦白了許多事，包括上面那段?？栠_(dá)諾是個多面手，在數(shù)學(xué)和醫(yī)學(xué)方面尤其天賦異稟，享受著（如果可以這么說的話）肥皂劇和八卦小報(bào)似的職業(yè)生涯。

他揮霍家產(chǎn)，沉迷賭博，搞得自己身敗名裂，貧困潦倒。他曾經(jīng)因?yàn)閼岩蓜e人出老千，用刀劃破對方的臉。他被指控為異端，遭到囚禁；他的兒子因毒害妻子而被處死。

不過，卡爾達(dá)諾還曾讓失語的圣安德魯斯主教（Bishop of St Andrews）重新開口說話，并且贏得了1400 金克朗的獎賞。帶著勝利回到意大利之后，卡爾達(dá)諾加入了米蘭的醫(yī)生協(xié)會，這里曾在幾十年間拼命將他拒之門外。

最重要的是，卡爾達(dá)諾是一位數(shù)學(xué)大師，撰寫了一本超越時代的偉大教材——《大術(shù)》（Ars Magna），副標(biāo)題是“代數(shù)的法則”。經(jīng)由《大術(shù)》，代數(shù)學(xué)走向成熟，同時擁有了符號，得到了系統(tǒng)發(fā)展?？栠_(dá)諾可以被視為“代數(shù)學(xué)之父”的又一位競爭者。不過，和其他幾位一樣，讓他獲得這個頭銜是存在爭議的，情況沒有那么簡單。

卡 爾 達(dá) 諾 是 個 私 生 子。 他 的 父 親 法 齊 奧· 卡 爾 達(dá) 諾（Fazio Cardano）是一名律師，有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)天賦，脾氣一點(diǎn)就著。他住在帕維亞（Pavia），是列奧納多·達(dá)·芬奇（Leonardo da Vinci）的朋友。

他總穿一件與眾不同的紫色斗篷，戴一頂黑色小帽，55 歲時牙齒已經(jīng)掉光?？栠_(dá)諾的母親基婭拉·米凱里亞（Chiara Micheria）是個年輕的寡婦，早有三個孩子，在生下卡爾達(dá)諾多年后嫁給了他的父親。她身材肥胖，脾氣和法齊奧不相上下，說生氣就生氣。她也是非常虔誠、極其聰明的人?；鶍I拉再次懷孕時，米蘭出現(xiàn)了瘟疫，于是她搬到了鄉(xiāng)下，而三個年齡較大的孩子則留在城里，最終染病而死。即將出生的卡爾達(dá)諾并沒有帶來喜悅：“雖然嘗試了多種墮胎藥……但都徒勞無功，我還是在 1501 年 9 月 24 日正常出生了?！?/p>

法齊奧的職業(yè)是律師，但他精通數(shù)學(xué)，曾為達(dá)·芬奇提供幾何方面的建議，并且在帕維亞大學(xué)和米蘭的皮亞蒂（Piatti）基金會教授幾何學(xué)。他將自己的數(shù)學(xué)和占星技能傳授給了兒子：“我的父親在我幼年時就教我算術(shù)的基礎(chǔ)知識，還同時讓我了解了一些神秘的東西……他教我阿拉伯占星術(shù)的要素……在我 12 歲以后，他教我歐幾里得《幾何原本》的前六卷書?！?/p>

卡爾達(dá)諾兒時體弱多病，父親原本計(jì)劃讓他繼承法律事業(yè)，但沒能如愿。他進(jìn)入帕維亞大學(xué)攻讀醫(yī)學(xué)，成績優(yōu)異，盡管被許多人認(rèn)為口不擇言、性格討厭，但他還是以一票的優(yōu)勢當(dāng)選為校代表。成功沖昏了他的頭腦。正是在這個時期，他開始帶著劍和樂器在城市的大街小巷游蕩，并且開始賭博。因?yàn)閷\(yùn)氣背后的數(shù)學(xué)頗為了解，卡爾達(dá)諾獲得了不小的優(yōu)勢。1564 年前后，他寫下了最早的概率論著作之一——《賭博之書》（Book on Games of Chance），最終在 1663 年出版。

他還能靠下棋賺錢，這也是一份收入。但隨著卡爾達(dá)諾變得越來越放蕩不羈，他既失去了運(yùn)氣，也失去了遺產(chǎn)。

但生活還要繼續(xù)。此時，卡爾達(dá)諾已經(jīng)有了醫(yī)學(xué)學(xué)位，他試圖進(jìn)入米蘭的醫(yī)生協(xié)會，這是通往高收入職業(yè)和舒適生活的大門。然而這一次，他的口無遮攔讓期待落空了，他被拒之門外，于是在附近的一個村莊當(dāng)了醫(yī)生。干著這份只能糊口的工作，他娶了民兵隊(duì)長的女兒露西婭·班達(dá)里尼（Lucia Bandarini）為妻。

由于再次被協(xié)會拒絕，他重上賭桌，結(jié)果損失了一大筆錢。他典當(dāng)了家中所有的財(cái)產(chǎn)，包括露西婭的珠寶，最后全家一貧如洗，幾乎走投無路。“我毀了自己！我完蛋了！”卡爾達(dá)諾這樣寫道。他和露西婭生了一個孩子，這孩子有多種輕微的先天缺陷，但在當(dāng)時不被認(rèn)為是殘疾。此時法齊奧已經(jīng)去世，卡爾達(dá)諾被定為他的繼承人，事情終于有了轉(zhuǎn)機(jī)。

1539 年，就連醫(yī)生協(xié)會也不再排斥他了。他還有了新的發(fā)展，出版了幾本數(shù)學(xué)著作，其中一本使他毫無爭議地躋身于數(shù)學(xué)開拓者的行列。

數(shù)學(xué)中的多數(shù)領(lǐng)域都是在復(fù)雜而混亂的歷史進(jìn)程中產(chǎn)生的，缺乏明確的方向，原因就在于，當(dāng)零散的想法開始互相關(guān)聯(lián)時，方向才真正浮現(xiàn)出來。數(shù)學(xué)的叢林會在人的探索中不斷生長。代數(shù)某些特點(diǎn)的呈現(xiàn)可以追溯到古希臘人，那時他們甚至沒有有效的符號可以代表整數(shù)。丟番圖發(fā)明了代表未知數(shù)的簡略符號，大大促進(jìn)了代數(shù)雛形的發(fā)展，但他的研究重點(diǎn)是解整數(shù)方程，與數(shù)論的聯(lián)系更為直接。古希臘和波斯的幾何學(xué)家用純粹的幾何方法解決了我們現(xiàn)在認(rèn)為屬于代數(shù)的問題?；ɡ用滓?guī)范了代數(shù)的過程，但沒能引入符號表示。

早在這一切發(fā)生之前，古巴比倫人就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了代數(shù)學(xué)中第一項(xiàng)真正重要的技術(shù)：解二次方程。我們現(xiàn)在承認(rèn)，這類問題開啟了 19 世紀(jì)代數(shù)學(xué)的大門，這也是學(xué)校數(shù)學(xué)課程所教授的代數(shù)學(xué)：從一個未知數(shù)和它的冪（平方、立方，等等）之間的某種數(shù)量關(guān)系中，推出這個未知數(shù)的值（或可能的一組值），也就是解多項(xiàng)式方程。

其中，如果未知數(shù)的最高次冪是它的平方，涉及的方程就是二次方程。古巴比倫留下知識記錄的數(shù)學(xué)家們知道怎樣求解這類問題，并且把方法教給了學(xué)生，有泥板上神秘的楔形文字為證。這里最困難的一步是求關(guān)鍵之?dāng)?shù)的平方根。

事后看來，下一步要研究的顯然是三次方程，涉及未知數(shù)的立方、平方和未知數(shù)本身。古巴比倫的一塊泥板提示了求解三次方程的一種特殊方法，但關(guān)于他們在這方面的發(fā)現(xiàn)，我們的了解也僅限于此了。古希臘和波斯的幾何方法頗為實(shí)用，奧馬爾·海亞姆（Omar Khayyam）的研究最為詳細(xì)。他的詩歌更加有名，尤其是《魯拜集》（Rubaiyat），愛德華·菲茨杰拉德（Edward FitzGerald） 的譯本使這本書名聲更盛。但純粹的代數(shù)解法似乎還遙不可及。

一切在意大利文藝復(fù)興這個頗具傳奇色彩的時期發(fā)生了改變。1515 年前后，博洛尼亞（Bologna）的一位教授斯希皮奧內(nèi)·德爾·費(fèi)羅（Scipione del Ferro）發(fā)現(xiàn)了特定類型三次方程的解法。之所以要區(qū)分類型，是因?yàn)楫?dāng)時人們還不承認(rèn)存在負(fù)數(shù)，所以方程兩邊都是正項(xiàng)。

費(fèi)羅將一些筆記傳給了女婿安尼巴萊·德爾·納韋（Annibale del Nave），其中提到他可以求解“立方項(xiàng)加未知數(shù)等于數(shù)”的方程。很可能還有兩種情形他也能解決。經(jīng)過一些初步變換，這兩種情形有效涵蓋了所有可能的情況。他的方法既涉及平方根，也涉及立方根。

除了德爾·納韋，費(fèi)羅的學(xué)生安東尼奧·費(fèi)奧雷（Antonio Fiore）也知道上文提到的解法。另外，尼科洛·豐塔納（Niccolo Fontana）獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了同一種解法——他還有一個廣為人知但現(xiàn)在看來很不雅的綽號叫塔爾塔利亞（Tartaglia），也就是“結(jié)巴”的意思。

費(fèi)奧雷當(dāng)時正打算另立門戶，當(dāng)個數(shù)學(xué)教師，他想出了一個好主意：與塔爾塔利亞進(jìn)行一場公開對決，比拼解答數(shù)學(xué)問題的能力。這種智力對決在當(dāng)時很常見。但有流言說三種情況都有了已知的解法，塔爾塔利亞為此大受刺激，極其擔(dān)心費(fèi)奧雷什么都知道了。于是他加班加點(diǎn)，勉強(qiáng)趕在對決前找到了所有解法。

結(jié)果，費(fèi)奧雷其實(shí)只會解一種方程。塔爾塔利亞拋出了費(fèi)奧雷無法應(yīng)對的題目，把他打了個落花流水。

這個勁爆的消息迅速傳播開來，也傳到了正在勤勤懇懇為《大術(shù)》收集素材的卡爾達(dá)諾耳朵里。他時刻留意著數(shù)學(xué)領(lǐng)域有什么新動向，能不能讓他的書更加完善，因而很快發(fā)現(xiàn)了一個極為珍貴的機(jī)會。

當(dāng)時，費(fèi)羅的早期成果已經(jīng)遺失，于是卡爾達(dá)諾拜訪了塔爾塔利亞，懇求他透露三次方程的秘密。塔爾塔利亞最終松了口。傳說他讓卡爾達(dá)諾發(fā)誓保密，但既然卡爾達(dá)諾本來就打算寫書，這種可能性看來就不太大了。

不管怎么說，正式出版的《大術(shù)》包含了塔爾塔利亞的三次方程解法。成果歸功于自己，卻被別人搶先公開了，惱羞成怒的塔爾塔利亞以《各種問題和發(fā)明》（Diverse Questions and Inventions）作為回?fù)?，其中收錄了他和卡爾達(dá)諾之間的所有通信。按照書中的說法，卡爾達(dá)諾曾在 1539 年莊嚴(yán)宣誓“絕不公開您的發(fā)現(xiàn)”，后來誓言卻被打破了。

不算太意外的是，事情的真相可能更加復(fù)雜。過了一段時間，后來成為卡爾達(dá)諾學(xué)生的洛多維科·費(fèi)拉里（Lodovico Ferrari）聲稱他當(dāng)時在場，而卡爾達(dá)諾并沒有同意對塔爾塔利亞的方法保密。

不過，費(fèi)拉里也不見得是一個公正的旁觀者。針對塔爾塔利亞所說的違背誓言一事，他發(fā)布了一則公告，要以辯論的方式挑戰(zhàn)塔爾塔利亞，話題由塔爾塔利亞選擇。

1548 年 8 月的一天，一大群人聚集在教堂里觀看這場辯論。我懷疑沒有多少人真的為數(shù)學(xué)而來，有些人可能完全不懂，他們大多只是想看雙方大吵特吵。雖然辯論結(jié)果沒有已知的記錄，但費(fèi)拉里很快就被任命為皇室子弟的家庭教師；相比之下，塔爾塔利亞從沒說過自己獲勝，他丟掉了在布雷西亞（Brescia）的工作，還一直對結(jié)果頗有怨言?？磥砦覀兛梢宰龀鲇懈鶕?jù)的猜測。

諷刺的是，這一切都沒有必要。在準(zhǔn)備《大術(shù)》的過程中，卡爾達(dá)諾和費(fèi)拉里看到了費(fèi)羅的論文，其中就包含了三次方程早先的解法。他們都認(rèn)為，這種解法的真正源頭在這里?？栠_(dá)諾之所以提到塔爾塔利亞的成果，是為了解釋他為什么會聽說費(fèi)羅的成果，僅此而已。

也許吧。但如果卡爾達(dá)諾已經(jīng)從更早的來源知道了這個解法，他為什么還求塔爾塔利亞透露秘密呢？也許他并沒有求他，我們只知道塔爾塔利亞的一面之詞。此外，卡爾達(dá)諾也有自己的心思，他需要的不僅僅是三次方程的解法本身。

在卡爾達(dá)諾的指導(dǎo)下，費(fèi)拉里設(shè)法更進(jìn)一步，求解了四次方程。最重要的是，費(fèi)拉里的解法要先將題目轉(zhuǎn)換為相關(guān)的三次方程。也就是說，如果不介紹三次方程的解法，卡爾達(dá)諾就沒法向世人展示這種四次方程的解法。

也許事情完全像卡爾達(dá)諾和費(fèi)拉里宣稱的那樣。塔爾塔利亞擊敗費(fèi)奧雷的事讓卡爾達(dá)諾意識到三次方程的解法已經(jīng)被攻克了。隨后，經(jīng)過一番挖掘，他找到了費(fèi)羅的手稿，由此獲得了他的書中所寫的方法。

受到這個發(fā)現(xiàn)的激勵，費(fèi)拉里又攻克了四次方程?？栠_(dá)諾將相關(guān)發(fā)現(xiàn)寫進(jìn)了自己的著作。作為卡爾達(dá)諾的學(xué)生，費(fèi)拉里很難抱怨自己的成果被收錄其中，他似乎還挺為這件事自豪的。出于對塔爾塔利亞的尊重，卡爾達(dá)諾稱贊他重新發(fā)現(xiàn)了同一方法，并引起了自己的注意。

《大術(shù)》之所以重要，還有一個原因?？栠_(dá)諾運(yùn)用他的代數(shù)方法求和為 10、積為 40 的兩個數(shù)，得到的答案是 5 15 ± ? 。由于彼時負(fù)數(shù)沒有平方根，他宣布這個結(jié)果“玄妙而無用”。求解三次方程時，如果存在三個實(shí)數(shù)解，也會遇到同類情形。

1572 年，拉斐爾·邦貝利（Rafael Bombelli）發(fā)現(xiàn)，如果忽略這些表達(dá)式的含義，按部就班地計(jì)算，就能得到正確的實(shí)數(shù)解。最終，這個思路引出了復(fù)數(shù)系統(tǒng)，在復(fù)數(shù)系統(tǒng)中， ?1 是有平方根的。從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)的擴(kuò)展對當(dāng)今的數(shù)學(xué)、物理學(xué)和工程學(xué)至關(guān)重要。

16 世紀(jì) 40 年代，卡爾達(dá)諾再度行醫(yī)。然后（就像我說過的，他的人生經(jīng)歷跟肥皂劇和八卦小報(bào)一樣），悲劇發(fā)生了。他的長子詹巴蒂斯塔·卡爾達(dá)諾（Giambatista Cardano）同布蘭多尼婭·迪塞羅尼（Brandonia di Seroni）秘密結(jié)婚。在卡爾達(dá)諾看來，這位新娘無恥又沒用。她的父母都是見錢眼開的小人，而她身為妻子竟然當(dāng)眾嘲弄詹巴蒂斯塔，說家里的三個孩子不是他的骨肉。

詹巴蒂斯塔毒殺了她，并很快認(rèn)罪。法官堅(jiān)持認(rèn)為，避免死刑的唯一辦法是卡爾達(dá)諾與迪塞羅尼家就賠償達(dá)成共識。但他們索要的賠償金數(shù)額巨大，卡爾達(dá)諾無力支付，于是他的兒子遭受了酷刑，左手被砍掉，然后被斬首。

卡爾達(dá)諾是條硬漢，他扛住了一切，但被迫搬家，去博洛尼亞當(dāng)了醫(yī)學(xué)教授。在那里，他的傲慢又得罪了醫(yī)學(xué)界的同行，他們嘗試讓上面解雇他。他的小兒子阿爾多·卡爾達(dá)諾（Aldo Cardano）欠下了巨額賭債，還闖入父親家中偷竊錢財(cái)和珠寶。

卡爾達(dá)諾認(rèn)為自己別無選擇，只能上報(bào)案件，阿爾多因此被逐出博洛尼亞。即便這樣，卡爾達(dá)諾依然保持樂觀，他寫道，盡管出了這么多悲慘的事，“我仍然是非常幸運(yùn)的，如果換成別人，他也會認(rèn)為自己是幸運(yùn)的”。

但命運(yùn)還在醞釀更多的災(zāi)難，而這些災(zāi)難的起因是他跟占星術(shù)扯在了一起?？栠_(dá)諾曾在 1570 年為耶穌占星。他還寫了一本贊美尼祿（Nero）A 的書，后者屠殺過早期的基督徒。兩件事加在一起讓他遭受了異端的指控。他被關(guān)進(jìn)監(jiān)獄，后來又被釋放，但無法再擔(dān)任任何學(xué)術(shù)職務(wù)。

卡爾達(dá)諾去了羅馬，沒想到在那里受到了熱情的歡迎。教皇格里高里十三世顯然寬恕了他，還給了他一筆退休金。他進(jìn)入了當(dāng)?shù)氐尼t(yī)生協(xié)會，并且寫下了自己的人生，但沒有出版。在他去世 60 多年后，這本自傳終于問世。根據(jù)傳說，卡爾達(dá)諾是自殺身亡的，因?yàn)樗A(yù)言了自己的死期，并且出于內(nèi)行的驕傲捍衛(wèi)了預(yù)言的準(zhǔn)確性。

本文經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載自圖靈新知（ID：Tuling963），如需二次轉(zhuǎn)載請聯(lián)系原作者。歡迎轉(zhuǎn)發(fā)到朋友圈。

點(diǎn)個“小愛心”吧