AI 攻克了理論物理中的開(kāi)放性問(wèn)題！

近日，谷歌團(tuán)隊(duì)開(kāi)發(fā)了一個(gè)基于 Gemini Deep Think 模型的混合神經(jīng)符號(hào)系統(tǒng)，成功推導(dǎo)出宇宙弦發(fā)射引力輻射功率譜的 6 種全新精確解法。

該研究的重要意義在于，AI 不僅加速了科學(xué)發(fā)現(xiàn)，更重要的是，該系統(tǒng)推導(dǎo)出人類研究者尚未觸及的新型閉式結(jié)果。

圖丨相關(guān)論文（來(lái)源：arXiv）

宇宙弦被認(rèn)為是引力波背景輻射的重要來(lái)源之一，它產(chǎn)生于因宇宙早期相變導(dǎo)致的真空對(duì)稱破缺。

這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵在一個(gè)超級(jí)難算的積分，它是計(jì)算宇宙弦在振蕩時(shí)輻射出的引力波功率譜，具體來(lái)說(shuō)是一個(gè)在球面上的積分 I(N，α)。由于分母在特定點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)奇點(diǎn)（變?yōu)闊o(wú)窮大），因此該積分常會(huì)引起數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定的問(wèn)題。

（來(lái)源：arXiv）

此前，數(shù)學(xué)家們的求解方法有限，例如找到它在特定條件下的近似解，但長(zhǎng)期以來(lái)尚未能找到一種統(tǒng)一、準(zhǔn)確的解析表達(dá)式。

在這項(xiàng)研究中，該系統(tǒng)結(jié)合了 Gemini Deep Think 模型、系統(tǒng)化的樹(shù)搜索（TS，Tree Search）框架以及自動(dòng)化數(shù)值反饋機(jī)制，提供了一種新的方案。研究人員將“找出這個(gè)積分的解析解”作為目標(biāo)，同時(shí)提供了一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”：能夠任意調(diào)用、高精度的數(shù)值計(jì)算程序。

該系統(tǒng)的工作過(guò)程是：通過(guò)不斷提出解題思路，將系統(tǒng)推導(dǎo)的中間表達(dá)式轉(zhuǎn)化為 Python 代碼，再用研究人員提供的數(shù)值計(jì)算程序標(biāo)準(zhǔn)作為依據(jù)，以確認(rèn)表達(dá)式的準(zhǔn)確性。

按照這種方法，該系統(tǒng)進(jìn)行了大量自主探索。需要了解的是，這個(gè)方案并不是像聊天機(jī)器人那樣的一問(wèn)一答的閉環(huán)，而是通過(guò)設(shè)置負(fù)向提示，強(qiáng)迫系統(tǒng)探索完全不同的路徑：快速驗(yàn)證結(jié)果后，正確則繼續(xù)深入探索，錯(cuò)了就馬上換方向。

這樣，該系統(tǒng)在完成 600 個(gè)不同的解題路徑后，自動(dòng)將那些因代數(shù)錯(cuò)誤或數(shù)值發(fā)散導(dǎo)致的近 80% 失敗數(shù)據(jù)過(guò)濾。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，該系統(tǒng)最終獲得 6 種可完全走通、相對(duì)獨(dú)立的全新解法。

新解法包括三大類型。第一類是，基于單項(xiàng)式展開(kāi)（Monomial Basis Approaches），包括生成函數(shù)法（Generating Function）、高斯積分提升法（Gaussian Integral Lifting）以及混合坐標(biāo)變換法（Hybrid Coordinate Transformation）；

（來(lái)源：arXiv）

第二類是，基于譜分解（Spectral Basis Approaches）的伽遼金矩陣法和沃爾泰拉遞推法；

（來(lái)源：arXiv）

第三類是，利用格根鮑爾方法（Gegenbauer Method）構(gòu)造的精確解析解。

（來(lái)源：arXiv）

當(dāng)然，研究團(tuán)隊(duì)也特別提到，這種方法并非 AI 系統(tǒng)的全自動(dòng)化探索，而是人機(jī)的分工協(xié)作，即 AI 系統(tǒng)的重點(diǎn)任務(wù)是廣域搜索以及試錯(cuò)，研究人員則在關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)指出方向，例如人工精煉達(dá)到最簡(jiǎn)形式等。

在研究過(guò)程中，該系統(tǒng)識(shí)別并糾正了早期沃爾泰拉遞推法中的一個(gè)漏洞，然后通過(guò)建立兩種方法的等價(jià)性，把無(wú)窮級(jí)數(shù)裂項(xiàng)相消求和轉(zhuǎn)為有限表達(dá)式。

圖丨方法比較：N=20 時(shí)的絕對(duì)誤差與速度（來(lái)源：arXiv）

從計(jì)算性能層面來(lái)看，不同類型的解法結(jié)果存在明顯的差異。具體而言，基于冪級(jí)數(shù)的前三種方法在 N 超過(guò) 15 的情況，容易因?yàn)?zāi)難性抵消而導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定；而譜分解（伽遼金法、沃爾泰拉遞推法）和格根鮑爾方法則保持穩(wěn)健。

實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)顯示，相較于單項(xiàng)式方法，譜分解方法在速度上高出數(shù)個(gè)數(shù)量級(jí)，其中伽遼金矩陣法的速度比理論上的精確解還快，這背后的原因正是特殊矩陣結(jié)構(gòu)的快速求解。當(dāng) N 達(dá)到 20 時(shí)，相關(guān)單項(xiàng)式方法完全失效，而譜分解方法的絕對(duì)誤差仍然能夠保持在機(jī)器精度量級(jí)。

研究團(tuán)隊(duì)認(rèn)為，在這些解法中格根鮑爾方法最優(yōu)雅，原因在于其正交權(quán)函數(shù) (1-t2) 恰好抵消了被積函數(shù) f_N(t) 分母中的 (1-t2)。通過(guò)這種方法推導(dǎo)出的系數(shù)公式，能用于廣義余弦積分函數(shù)用有限閉式來(lái)表示。

圖丨格根鮑爾方法解析解的驗(yàn)證（來(lái)源：arXiv）

但這個(gè) AI 系統(tǒng)的價(jià)值并沒(méi)有止步于此。在獲得精確解后，研究團(tuán)隊(duì)又進(jìn)行了另一種嘗試：當(dāng)用該系統(tǒng)嘗試參數(shù) N 無(wú)窮大的情況，積分行為是否會(huì)有所變化？

結(jié)果顯示，在這種情況下，該系統(tǒng)的第三類解法，即格根鮑爾方法提供了一個(gè)漸近公式。

讓研究人員感到意外的是，該系統(tǒng)在處理漸近公式中的一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)時(shí)，竟然想到了費(fèi)曼參數(shù)化技巧，這是量子場(chǎng)論中進(jìn)行類似積分處理時(shí)的常用方法之一，而 AI 系統(tǒng)是在分析時(shí)聯(lián)想到了這種方法。

這帶來(lái)的好處是，通過(guò)跨領(lǐng)域聯(lián)想能夠?qū)?fù)雜的離散求和問(wèn)題轉(zhuǎn)變成連續(xù)的空間積分，并呈現(xiàn)出一個(gè)極為簡(jiǎn)潔的公式。經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，該公式不僅與數(shù)值計(jì)算結(jié)果一致，而且可更直觀地呈現(xiàn)功率譜隨角度變化的規(guī)律。

（來(lái)源：arXiv）

這項(xiàng)研究的突破，已不局限于 AI 解決了某個(gè)物理難題本身，而是向領(lǐng)域呈現(xiàn)了一種新的研究范式。在整個(gè)研究探索的過(guò)程中，AI 所發(fā)揮的關(guān)鍵作用不再只是可加速計(jì)算的工具，而是在更多維度展現(xiàn)出能力：它可以理解復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)相關(guān)問(wèn)題提供不同角度的解題思路，然后通過(guò)編寫(xiě)代碼對(duì)思路進(jìn)行驗(yàn)證。

更重要的是，它能跳出現(xiàn)有思路，從物理問(wèn)題中提煉數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，再將這個(gè)問(wèn)題與量子場(chǎng)論建立聯(lián)系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了跨領(lǐng)域的思維躍遷?；蛟S在這種協(xié)作模式下，AI 能夠幫助研究者發(fā)現(xiàn)那些尚未被注意到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

參考資料：

https://arxiv.org/pdf/2603.04735

排版：劉雅坤