導語

不論哪種動物，都能夠行走，奔跑甚至攀爬。當腿部受傷導致失能，動物的生存往往受到威脅，人的生活質量也會嚴重下降。理解動物行走背后的原理，即是關鍵的基礎研究，又能對治療及機器人設計都有幫助。2007年英國皇家學會的一篇綜述，講述了行走和跑步的基本物理學原理，并解釋涉及的因素對腿部系統(tǒng)全局特性、幾何形狀和控制的影響，特別是對于穩(wěn)定性和穿越粗糙地形時的影響。該研究揭示了與腿式機器領域相關的結構和控制原理，可指導類人機器人的設計，展現(xiàn)了仿生帶來的智慧。

關鍵詞：生物力學 (biomechanics)、穩(wěn)定性 (stability)、分段 (segmentation)、沖擊 (impact)

郭瑞東丨作者

趙思怡丨審校

論文題目：Intelligence by mechanics 論文鏈接：https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/17148057/ 發(fā)表時間：2007年1月15日 發(fā)表期刊：Philos Trans A Math Phys Eng Sci

類似彈簧的腿部運動

對于像人體或機器人這樣具有多個自由度的復雜系統(tǒng)，直接控制每一個關節(jié)是非常困難的。因此，需要一個更高層次的、簡化的模型來指導整體的運動控制，就像駕駛員通過控制方向盤來控制汽車，而不需要關心每個輪胎的具體轉動一樣。對于行走，彈簧-質量模型就是這樣一個理想的模板。

對運動的理解，源自上世紀60到70年代，一群拿著壓力感應板（力臺）的科學家。他們發(fā)現(xiàn)，走路的時候，身體的總機械能（勢能+動能）的變化節(jié)奏是錯開的——當動能攢滿爆發(fā)時，勢能正躲在谷底歇著呢。

為了解釋上述現(xiàn)象，科學家搬出了“倒立擺”模型。你可以腦補一個馬戲團的高手，單腳穩(wěn)穩(wěn)頂著一根長桿，桿子尖兒上再放個保齡球。走路時，你那條落地的腿，就相當于那根又長又硬的長桿，而你的上半身和腦袋，就是那個岌岌可危的保齡球。

你邁開左腿，左腿瞬間“石化”成一根鐵棍，把身體這個“保齡球”支在半空。右腿懸著，像鐘擺一樣蕩出去。當“保齡球”從左腿頂端滑到右腿頂端時，左腿負責把身體“掄”起來（增加動能），右腿則負責接住并穩(wěn)住重心（增加勢能）。這一掄一接，就完成了一次能量錯峰。

然而，上述模型無法準確預測地面反作用力隨時間變化的完整曲線（即“足跡”），在行走的站立中期，測力臺數(shù)據顯示地面反作用力曲線呈獨特的 “雙峰”或“駱駝背”形狀——即有兩個明顯的波峰。僵硬的倒立擺模型預測的地面反作用力是單一、平滑的駝峰狀，無法復現(xiàn)“雙峰”特征（圖1c）。

對此，科學家提出的針對運動的下一個模型是彈簧-質量（spring-mass）模型。該模型將身體視為一個質點，將腿視為一根彈簧。著地時彈簧被壓縮，儲存能量；離地時彈簧釋放能量，將身體推離地面。

行走時，腿并非完全僵硬。它表現(xiàn)出一種“擬彈性（quasi-elastic）”，當一只腳（如右腳）剛著地時，身體重量仍部分由另一只（左腳）支撐。隨著右腿“彈簧”被壓縮，負荷逐漸轉移到右腿，左腿被卸載。這個動態(tài)的加載過程產生了第一個力峰（圖1a）。在步態(tài)中期之后，右腿“彈簧”繼續(xù)運動，經歷一個輕微的卸載和再加載過程，產生第二個力峰，此時左腳即將著地開始新的雙支撐期。由此形成了圖1c的雙峰。

與行走時不同，在跑步中，勢能和動能是同相波動的（同時達到最大和最小值）。身體在彈跳的最高點，勢能和動能都最??；在著地壓縮的最低點（圖1d），勢能和動能（在水平方向上）的轉換也符合彈簧的物理規(guī)律（圖1d）。

圖1：行走（a，c）和跑步（b，d）的單次接觸從頂點到底部的彈簧質量模型。

在彈簧-質量模型中，行走和跑步共享同一個“彈性模板”。它們并非由不同的控制算法支配，而只是同一套彈性機制在不同能量和參數(shù)（如剛度和觸地角）下的不同表現(xiàn)。這簡化了我們對步態(tài)的理解和控制，無論是昆蟲還是大型的脊椎動物，當不同尺度的動物腿部被放到一起比較時，通過對體重和腿長進行標準化后，發(fā)現(xiàn)它們奔跑時采用的腿部剛度是相似的。這表明自然選擇在截然不同的尺度上“發(fā)現(xiàn)”了相似的力學最優(yōu)解。

彈簧-質量模型還為機器人設計提供了藍圖。不必為機器人的每個關節(jié)設計極其復雜的控制算法，而是可以先確保其腿部在整體上能像一個彈簧一樣工作（即實現(xiàn)“模板”），然后再用“錨定”控制去精細調節(jié)細節(jié)。這種基于簡單物理原理的控制策略往往更強大、更高效。

行走 vs 奔跑：

分段腿的“雙簧戲”與“彈簧協(xié)奏曲”

圖2：分段腿在跑步機以 2 米/秒速度行走和跑步時的運動學。

腿部分段并非被動地跟隨運動，而是主動適應不同步態(tài)力學需求的智能設計。行走時，節(jié)段間復雜的時序差創(chuàng)造了高效的倒立擺與輪緣機制；奔跑時，節(jié)段則協(xié)同工作，構成一個高效的彈簧質量系統(tǒng)。腿部分段的第一個好處——“復用性”由此顯現(xiàn)。通過調度不同關節(jié)的“戲份”，同一套機械結構就能在“節(jié)能滾動的倒立擺”（行走）和“高效彈跳的彈簧”（奔跑）兩種模式間無縫切換。

大腿，小腿和腳的比例之間有關系

人的腳相比大腿及小腿之間的比例因何而定？腳的長度是由站立的需求決定的，還是有其他因素在起作用？例如，在跑步時使用人體腿部幾何形狀是否也有利？該文通過實際觀察到的數(shù)據，指出人類這種“大腿-小腿-腳”的不對稱三段式設計，是個“力學作弊器”，能產生更高的“有效機械效益”。

理論計算得出，當一個較短的、未與腿軸對齊的腳部（長度約是大腿的0.4倍）參與工作時，整個腿的力學優(yōu)勢最大。這種不對稱設計使得在支撐身體時，關節(jié)所需的扭矩更小，也就更節(jié)能（圖3a）。

圖3：一個長度為大腿長度 0.4 倍的有效腳，有助于避免結構不穩(wěn)定。

不對稱的設計（腳短，大腿長）提供了極高的有效機械效益。這意味著，你的肌肉只需花較小的力氣，就能在腿部產生強大的支撐力，就像用一根杠桿輕松撬動重物一樣。

此外，大腿，小腿以及腳部的長度不同也有妙用。對稱的腿部設計（圖3b）在受壓時容易發(fā)生“結構失穩(wěn)”（突然彎曲），而人類的不對稱設計（圖3c）能巧妙避開這個陷阱，工作起來更穩(wěn)定。

腿部的不對稱設計將復雜的控制難題，通過身體本身的機械結構“硬件”解決了。這讓大腦這個“軟件”得以解放，我們才能一邊悠閑地散步，一邊思考晚上吃什么這種人生大事。這完美詮釋了論文標題“Intelligence by mechanics”的精髓，最高級的算法，往往被直接編碼在硬件設計之中。這其中的仿生學原理，值得機器人設計借鑒。

藏在硬件里的自我穩(wěn)定性

想象一下，你正騎著一輛自行車快速下坡，突然路上出現(xiàn)一個小石子。你的車把猛地晃了一下，但還沒等你的大腦發(fā)出“握緊車把！”的指令，你的身體和車子已經自動調整，恢復了平衡。這種不靠主動思考、而是靠系統(tǒng)自身物理特性實現(xiàn)的穩(wěn)定能力，就是“自我穩(wěn)定性Self-stability”的精髓。而在行走和奔跑中，我們的身體也通過自身硬件設計實現(xiàn)了自我穩(wěn)定性。

圖4a中的一個彈簧質量模型（代表跑步者）遇到一個臺階（地面高度變化）。它既沒有改變腿的剛度，也沒有特意調整落地的角度，卻成功地吸收了沖擊，并在下一步恢復了正常節(jié)奏。

圖4：彈簧質量模型在消除階躍沖擊時不改變剛度或觸地角度

當“彈簧腿”以正確角度踏上臺階時，沖擊本身會改變系統(tǒng)的狀態(tài)（如縮短了騰空時間），但這個變化恰恰會引導系統(tǒng)在下一步自動調整起飛角度，從而補償剛才的高度差，最終回歸穩(wěn)定循環(huán)（圖4b）。整個過程無需傳感器探測臺階，也無需大腦發(fā)出糾偏指令。

在腳觸地前，我們的腿會有一個向后“扒地”的動作。這個動作妙就妙在：如果地面突然升高（臺階），回撤動作會自然導致一個更平的落地角；如果地面降低，則會導致更陡的落地角。這種基于回撤的“預適應”機制，極大地拓寬了自我穩(wěn)定的角度范圍，讓我們能更從容地應對不可預測的地形。上述回撤程序可以僅用一步就完全抵消地面的擾動。

圖5：上樓梯時的腿部壓縮（a, b）和地面反作用力（c, d），其中樓梯高度不同

圖5是在不同高度臺階的粗糙地面上奔跑時，腿部壓縮（a, b）和地面反作用力（c, d）。（a, c）為實驗結果；（b, d）為無彈性雙節(jié)段伸肌模型的模擬結果。這張圖通過對比人類實驗數(shù)據和簡單機械模型的模擬結果，有力地證明了：即使在不平坦的地面上，奔跑的動物（包括人類）也能通過調整簡單的全局參數(shù)（如觸地時的腿長和角度）來維持穩(wěn)定的運動模式，而無需復雜的感官反饋和精細控制。

肌肉：不僅是發(fā)動機，更是智能減震器

要實現(xiàn)自我穩(wěn)定，光有彈簧腿的骨架還不夠，還需要“執(zhí)行器”——也就是肌肉。肌肉在維持自穩(wěn)定性上扮演了三個關鍵角色：

1. 可調彈簧：通過力反饋機制，肌肉能表現(xiàn)出類似彈簧的性質，但這根“彈簧”的剛度可以根據需要實時調整。

2. 非對稱阻尼器：這是肌肉最“智能”的一點。它像是一個非對稱的減震器：被拉長時（如落地緩沖）阻力很大，能有效吸收能量；主動縮短時（如蹬地發(fā)力）阻力很小，非常高效。這種特性對于瞬間穩(wěn)定沖擊至關重要。

3. 內置的沖擊保護：我們的肌肉群是懸吊在骨骼上的。當你腳踏地面時，巨大的沖擊能量首先被肌肉組織的粘彈性吸收和緩沖，而不是直接沖擊關節(jié)和大腦。這就像一個高級的懸架系統(tǒng)，保護著更精密的“車身”結構。

圖6：了肌肉的粘彈性懸吊模型。(a) 大腿和小腿上的肌肉質量被模擬為具有粘彈性懸吊。(b) 實測數(shù)據顯示，小腿表面的加速度（實線）呈現(xiàn)延遲的阻尼振蕩，這表明沖擊能量被有效地耗散了。

文中還提到雙關節(jié)肌（如連接膝關節(jié)和踝關節(jié)的腓腸肌）的特殊作用。在行走時，雙關節(jié)肌有助于協(xié)調膝、踝關節(jié)的“推-拉”運動。它們能在關節(jié)之間直接傳遞能量，提高運動效率。例如，在奔跑蹬離地面時，髖部伸展的能量可以通過雙關節(jié)肌直接傳遞到踝關節(jié)，實現(xiàn)更高效的推進。

肌肉作為一個集驅動、傳感、彈簧、阻尼器、減震器于一體的終極智能材料。它的特性被深深地“編碼”到了運動系統(tǒng)的力學設計之中。憑借其內在的力-速度特性（負斜率阻尼）和潛在的正力反饋，肌肉為系統(tǒng)提供了應對擾動的瞬時穩(wěn)定能力，彌補了神經信號傳遞的延遲。

作為可變彈簧和阻尼器，肌肉實現(xiàn)了行走時的能量循環(huán)和奔跑時的彈性儲能，極大提高了效率。通過粘彈性懸置的方式，肌肉被動地、高效地吸收了運動過程中不可避免的沖擊，保護了身體結構。

因此，建造一個像動物一樣奔跑的機器人，不僅需要模仿骨骼的形態(tài)，更關鍵的是要開發(fā)出具有肌肉般綜合特性的新型驅動器。

仿生學教會機器人設計與控制的準則

將生物學中揭示的力學智能（如彈性、自我穩(wěn)定性、分段設計）有意識地應用于機器人的“構造”和“控制”中，可以極大地簡化控制難題、降低能耗、并增強機器人在復雜環(huán)境中的魯棒性。

具體先看機器人的設計，需要遵循下面7條準則:

1. 速度自適應的腿部柔順性：腿的剛度應能根據速度自動調整。這確保了從行走跑到奔跑的動態(tài)正確性和平穩(wěn)性，包括平穩(wěn)的步態(tài)轉換。

2. 關節(jié)剛度與分段的匹配：各關節(jié)的剛度必須與腿的幾何分段相匹配，以確保（例如膝和踝）共同為整體的腿部柔順性做出貢獻。

3. 人型的分段與取向：類人的分段（大腿、小腿、足）及其相對長度和角度，被證明可以節(jié)省能量并支持結構穩(wěn)定性。

4. 弓形配置作為備選：在無法實現(xiàn)最佳關節(jié)特性時，采用更彎曲的、成本更高的“弓形”腿部配置更為合適，這種配置本身更穩(wěn)定。

5. 可移動旋轉軸：由于機械效益會發(fā)生劇變，采用可移動的旋轉軸（如人類膝關節(jié)）有助于在腿部運動范圍內保持穩(wěn)定的負載。

6. 具備特定內在屬性的驅動器：驅動器應具備一定的內在柔順性和力-速度曲線的負斜率特性。這能確保其在面對擾動時做出即時、穩(wěn)定的響應，并有助于步態(tài)周期的自動化。

7. 驅動器的粘彈性懸置：通過粘彈性方式懸置質量較大的驅動器（如電機），可以大幅減少觸地沖擊的有害影響。

而在控制上，需要遵循以下9條，可降低對復雜傳感和實時計算的依賴，提高控制的魯棒性：

1. 正力反饋：可用于在關節(jié)和腿部層面產生穩(wěn)定的彈跳行為。

2. 柔順腿作為控制模板：將柔順的腿部模型作為核心模板，可以簡化動態(tài)運動的控制，并易于調整運動速度。

3. 探索自我穩(wěn)定性：應充分利用自我穩(wěn)定性來降低控制需求，避免傳感信息流的瓶頸。

4. 選擇合適的觸地攻角：只要腿部屬性選取得當，一個合適的觸地角就足以實現(xiàn)自我穩(wěn)定的行走和奔跑。

5. 擺動腿回撤：在觸地前使腿向后擺動（回撤），能顯著增強自我穩(wěn)定性。

6. 正確的觸地姿態(tài)：在觸地時使腿部各節(jié)段保持正確的取向，可以增強結構穩(wěn)定性。

7. 差異化的節(jié)段使用：通過恰當?shù)丶せ铍p關節(jié)驅動器（模仿生物體的雙關節(jié)肌），可以在行走和奔跑中實現(xiàn)類似“換擋”的效應。

8. 拮抗肌的共激活：像肌肉那樣的拮抗驅動器的共激活，可以增強穩(wěn)定性。

9. 可調的沖擊吸收能力：通過激活水平，可以調節(jié)肌肉式驅動器的沖擊吸收能力。

圖7 耶拿運動科學實驗室建造的三個彈性腿機器人實例

上述原則，已有具體的實踐，例如圖7a中的單腿彈跳器：驗證了彈簧-質量模型作為跑步模板的可行性。圖7b的 兩段腿跑步機：探索了分段設計的影響。圖7c的 雙足機器人擁有彈性三節(jié)段腿，基于單關節(jié)和雙關節(jié)的彈性耦合，該機器人實現(xiàn)了穩(wěn)定的、具有類人膝踝關節(jié)運動學的行走。

類似的機器人設計，在該文出現(xiàn)后的近20年間，也有不少，例如受生物肌肉-肌腱啟發(fā)，提出一種可控扭簧腿結構，并引入反饋延遲和屈服彈簧。實驗表明，該設計能有效降低能耗，提升腿部敏捷性，同時保證動態(tài)性能[1,2]。

這些設計表明，與其試圖用強大的處理器和復雜的算法去“壓制”機器人的自然動力學，不如在設計和構造階段就“植入”智能的力學特性（如彈性、分段、質量分布）。這樣，控制器的任務就從“微管理”每一個關節(jié)，轉變?yōu)椤耙龑А焙汀袄谩毕到y(tǒng)內在的、穩(wěn)定的動力學特性。這種基于“力學智能”的方法，是制造出能像動物一樣在復雜、不可預測的環(huán)境中高效、穩(wěn)健運動的下一代機器人的關鍵。

參考資料

1 并聯(lián)腿四足機器人的參數(shù)優(yōu)化和步態(tài)控制 陳明方1，李明1，張永霞1，陳中平2，莫翔1 （1. 昆明理工大學 機電工程學院，昆明　650500；2. 攀枝花市經濟和信息化局，四川攀枝花　617000）

2 Yaguang ZHU（朱雅光）, Minghuan ZHANG（張明換）, Xiaoyu ZHANG（張小雨）, Haipeng QIN（秦海鵬）. Dynamic compliance of energy-saving legged elastic parallel joints for quadruped robots: design and realization. Front. Mech. Eng., 2024, 19(2): 13

https://doi.org/10.1007/s11465-024-0784-4

吳金閃：系統(tǒng)科學導引（三）物理部分

本課程是 《系統(tǒng)科學概論》 課程的后續(xù)課程?！陡耪摗肥窍到y(tǒng)科學研究的入門課程。學生需要通過《概論》課程來了解什么是系統(tǒng)科學（系統(tǒng)科學的思想），以及了解一些具體的系統(tǒng)科學的研究方法。系統(tǒng)科學后續(xù)課程的目標是在此基礎上，學會一些研究方法，體會一些系統(tǒng)科學的研究工作的實例。同時，為了給后續(xù)的課程做準備，在《概論》課程之后，專業(yè)課程之前，在本課程中，我們要學會一些數(shù)學物理的基礎。

目前課程主要包含兩個模塊：數(shù)學基礎、物理學基礎。其中，數(shù)學模塊主要是集合與映射、矢量空間和概率論。物理模塊主要是經典力學、統(tǒng)計力學、計算物理學初步和量子力學。

本課程即是上述課程中的物理基礎模塊。

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