他是數(shù)學(xué)家中的數(shù)學(xué)家。

編譯 | 數(shù)學(xué)家編譯小組

校對(duì) | 慧玲、阿宅

阿特爾·塞爾伯格（Atle Selberg）的父母是奧勒·邁克爾·盧德維格森·塞爾伯格（Ole Michael Ludvigsen Selberg，1877-1950）與安娜·克里斯蒂娜·布里格斯達(dá)特·斯凱（Anna Kristina Brigtsdatter Skeie，1874-1971）。奧勒·塞爾伯格是一位數(shù)學(xué)教師，在48歲時(shí)憑借論文《關(guān)于質(zhì)數(shù)階代數(shù)可解方程理論的一個(gè)貢獻(xiàn)》（Ein Beitrag zur Theorie der algebraisch aufl?sbaren Gleichungen von Primzahlgrad）獲得奧斯陸大學(xué)博士學(xué)位。阿特爾出生時(shí)，他的父親是朗厄松中學(xué)的高級(jí)教師。但阿特爾出生后不久，他父親便調(diào)往霍達(dá)蘭郡沃斯的一所學(xué)校任教三年。至1921年，他已在卑爾根郡立中學(xué)教書。阿特爾的母親安娜·斯凱是教師布里特·阿內(nèi)森·斯凱（Brigt Arnesen Skeie，1846-1939）和布里塔·漢斯達(dá)特·布魯（Brita Hansdatter Bru，1842-1915）的女兒，同樣是一名教師。奧勒與安娜·塞爾伯格于1903年7月30日在哈蘭斯達(dá)爾結(jié)婚，共育有九個(gè)孩子——五男四女，阿特爾是他們中最小的。阿特爾的三位兄弟后來也成為了數(shù)學(xué)家。亨里克·塞爾伯格（Henrik Selberg，1906-1993）出生于卑爾根，后成為奧斯陸大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，研究方向?yàn)閺?fù)函數(shù)。雙胞胎兄弟西格蒙德·塞爾伯格（Sigmund Selberg，1910-1994）與阿爾內(nèi)·塞爾伯格（Arne Selberg，1910-1994）于1910年8月11日出生在朗厄松。西格蒙德成為挪威理工學(xué)院的數(shù)學(xué)教授，主要研究素?cái)?shù)。阿爾內(nèi)同樣任教于挪威理工學(xué)院，是一位應(yīng)用數(shù)學(xué)家，尤其專注于懸索橋的設(shè)計(jì)。

如前所述，阿特爾的父親因工作調(diào)動(dòng)多次搬遷，因此阿特爾在成長(zhǎng)過程中先后居住于沃斯、卑爾根，之后在1932年其父親成為約維克一所學(xué)校的校長(zhǎng)后遷居該地?；蛟S有人認(rèn)為阿特爾會(huì)從父親那里學(xué)到很多數(shù)學(xué)知識(shí)，但事實(shí)似乎并非如此。實(shí)際上，是父親藏書豐富的圖書館中的數(shù)學(xué)書籍，在阿特爾童年時(shí)將他引向了數(shù)學(xué)。大約12歲時(shí)，全家住在卑爾根附近的奈斯通，阿特爾到卑爾根讀中學(xué)。他曾回憶道[2]：

我坐火車去卑爾根上中學(xué)。某種程度上這挺不錯(cuò)的，算是一種通勤列車，車程略超過半小時(shí)。我們?cè)诨疖嚿献隽瞬簧俟φn。當(dāng)時(shí)有不少學(xué)生像我這樣通勤。

通過閱讀父親圖書館里的書籍，阿特爾自學(xué)了求解方程的方法。在他父親手抄的卡爾·斯特默（Carl Stormer）講義中，他遇到了級(jí)數(shù)

多年后他憶起那一刻時(shí)說（例如參見[18]）：

……那是如此奇妙而優(yōu)美的關(guān)系式，我決心要讀那本書，弄明白這個(gè)公式是怎么來的。

然而，斯特默的講義從用戴德金分割引入實(shí)數(shù)開始，這讓塞爾伯格感到困惑。但他堅(jiān)持讀了下去，并發(fā)現(xiàn)這些筆記很有啟發(fā)性。那時(shí)他的主要興趣是分析學(xué)，但他的哥哥西格蒙德建議他閱讀父親收藏的J·A·塞雷（J. A. Serret）著作中關(guān)于切比雪夫素?cái)?shù)分布的工作。當(dāng)時(shí)塞爾伯格正在約維克上高中，而他的哥哥西格蒙德是奧斯陸大學(xué)的學(xué)生。大約17歲時(shí)，塞爾伯格接觸到了拉馬努金（Ramanujan）的文集，那是西格蒙德從大學(xué)圖書館借出帶回家的。他不僅對(duì)所讀的數(shù)學(xué)內(nèi)容深感震撼，也對(duì)拉馬努金“充滿神秘感”的個(gè)性著迷。斯特默曾在《挪威數(shù)學(xué)雜志》（Norsk Matematisk Tidsskrift）上發(fā)表過一篇關(guān)于拉馬努金的文章，塞爾伯格也讀過。受拉馬努金及其著作的啟發(fā)，塞爾伯格轉(zhuǎn)向研究數(shù)論，并開始了自己的數(shù)學(xué)探索。進(jìn)展順利，他寫成了第一篇論文《論某些算術(shù)恒等式》。這篇23頁(yè)、用德語(yǔ)撰寫的論文于1936年發(fā)表。因此，可以說塞爾伯格在高中時(shí)期就已成長(zhǎng)為一位數(shù)論學(xué)家。數(shù)學(xué)并非塞爾伯格在高中期間自學(xué)的唯一科目，他還自學(xué)了外語(yǔ)。事實(shí)上，在更早的小學(xué)階段，他就在姐姐安娜的幫助下開始學(xué)習(xí)英語(yǔ)。

1935年，塞爾伯格從約維克的高中畢業(yè)，考入奧斯陸大學(xué)。他的哥哥亨里克將他引薦給早已影響過他的斯特默。塞爾伯格發(fā)現(xiàn)斯特默很樂意幫助這位已開始撰寫數(shù)學(xué)論文的年輕本科生。對(duì)塞爾伯格數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生重大影響的另一件事，是1936年奧斯陸國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上埃里希·赫克（Erich Hecke）的講座。仍在本科期間，他參加了1938年在赫爾辛基舉辦的斯堪的納維亞數(shù)學(xué)大會(huì)，并在托爾斯滕·卡萊曼（Torsten Carleman）主持的分會(huì)上作了20分鐘的報(bào)告。主修數(shù)學(xué)的他于1939年春季從奧斯陸大學(xué)畢業(yè)，獲得碩士學(xué)位。隨后的幾個(gè)月，他完成了第一階段的義務(wù)兵役。他原計(jì)劃前往漢堡與埃里?！ず湛擞懻撗芯?，并獲得了資助此項(xiàng)計(jì)劃的獎(jiǎng)學(xué)金，但因1939年秋第二次世界大戰(zhàn)爆發(fā)而改變了計(jì)劃。他本可留在奧斯陸進(jìn)行博士研究，但由于圖書館資源匱乏，他去了烏普薩拉，旁聽特里格夫·納格爾（Trygve Nagell，1895-1988）關(guān)于丟番圖方程的講座。塞爾伯格在烏普薩拉的大部分時(shí)間都在圖書館工作，后于1939年12月返回奧斯陸。然而，塞爾伯格說道[7]：

……戰(zhàn)爭(zhēng)于1940年4月初蔓延到挪威，這中斷了我的數(shù)學(xué)研究。當(dāng)我在古布蘭斯達(dá)爾與挪威軍隊(duì)一同抵抗德國(guó)入侵者時(shí)，我沒有思考數(shù)學(xué)。我們也到過厄斯特達(dá)倫的上部地區(qū)，最后在翁達(dá)爾斯內(nèi)斯附近結(jié)束。我是赫格斯塔德少校炮兵營(yíng)的一名士兵，我非常尊敬他。同樣，當(dāng)我在特蘭杜姆戰(zhàn)俘營(yíng)時(shí)，[我也沒有思考數(shù)學(xué)]。當(dāng)我最終獲釋后，我前往挪威西海岸，后來與家人一起去了哈當(dāng)厄。

1942年，他被任命為研究員，次年獲得博士學(xué)位。他的論文《論黎曼ζ函數(shù)的零點(diǎn)》（On the zeros of Riemann's zeta-function）于1943年10月22日答辯，就在11月底德國(guó)入侵者關(guān)閉大學(xué)之前。考官是哈拉爾德·玻爾（Harald Bohr）和索拉夫·斯科倫（Thoralf Skolem），但由于戰(zhàn)爭(zhēng)，從丹麥逃到瑞典的哈拉爾德·玻爾無法前往挪威。斯特默出席了答辯會(huì)，并宣讀了哈拉爾德·玻爾的評(píng)審報(bào)告。答辯剛結(jié)束，塞爾伯格就被德國(guó)人逮捕入獄，后以離開奧斯陸返回父母居住的約維克為條件獲釋。戰(zhàn)爭(zhēng)的剩余時(shí)間里，他在約維克獨(dú)自進(jìn)行關(guān)于黎曼猜想的研究。

1947年8月13日，他在斯德哥爾摩與工程師赫維格·利伯曼（Hedvig Liebermann，1919.11.20-1995.7.6）結(jié)婚。赫維格是來自特蘭西瓦尼亞的家具制造商盧扎爾·利伯曼（Luzar Liebermann）與塞雷娜·薩洛塔·雅各博維茨（Serena Sarolta Jakobovits）的女兒。阿特爾與赫維格·塞爾伯格育有兩個(gè)孩子：英格麗德·瑪麗亞·塞爾伯格（Ingrid Maria Selberg，生于1950年3月13日，現(xiàn)與劇作家穆斯塔法·馬圖拉結(jié)婚）和拉爾斯·阿特爾·塞爾伯格（Lars Atle Selberg）?；楹蟛痪?，塞爾伯格夫婦前往美國(guó)，阿特爾在普林斯頓高等研究院度過了1947-48學(xué)年。此后，他雖獲邀在高等研究院再待一年，但選擇去另一所美國(guó)大學(xué)訪問。為此他必須離境并獲取新簽證。他和妻子前往蒙特利爾，幾經(jīng)周折拿到新簽證后返回普林斯頓。保羅·埃爾德什（Paul Erd?s）在塞爾伯格于加拿大期間抵達(dá)研究院，塞爾伯格一回來兩人便見面了。正是在此時(shí)，塞爾伯格與埃爾德什得出了素?cái)?shù)定理的初等證明。下文將詳述。

接下來的一年，他在雪城大學(xué)任數(shù)學(xué)副教授，并于1949年作為永久成員回到普林斯頓高等研究院。1951年，塞爾伯格晉升為普林斯頓大學(xué)教授。值得一提的是，塞爾伯格的妻子赫維格在1950年代是高等研究院的研究員，在馮·諾依曼小組工作，后來又在普林斯頓等離子體物理實(shí)驗(yàn)室任職。

1950年，塞爾伯格在哈佛舉辦的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上榮獲菲爾茲獎(jiǎng)（Fields Medal）。授獎(jiǎng)旨在表彰他對(duì)維戈·布倫（Viggo Brun）篩法理論的推廣，以及他在黎曼ζ函數(shù)零點(diǎn)方面的重大工作——他證明了有正比例的零點(diǎn)滿足黎曼猜想。頒獎(jiǎng)詞還提到了他與P·埃爾德什共同完成的素?cái)?shù)定理的初等證明，以及其對(duì)任意算術(shù)級(jí)數(shù)中素?cái)?shù)的推廣。素?cái)?shù)定理的歷史非常有趣。該定理表述為：

當(dāng) 時(shí)，不大于 的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)趨于 。

該猜想在18世紀(jì)被提出，但盡管多方努力，當(dāng)時(shí)一直未找到證明。黎曼曾接近證明該結(jié)果，但因復(fù)變函數(shù)理論尚未充分發(fā)展而未能完成。到1896年，必要的解析工具已齊備，雅克·阿達(dá)馬（Jacques Hadamard）和夏爾·德·拉瓦萊·普桑（Charles de la Vallée Poussin）各自運(yùn)用復(fù)分析獨(dú)立證明了該定理。該定理的成功證明被視為解析數(shù)論最偉大的成就之一。1949年，塞爾伯格與埃爾德什找到了一個(gè)不涉及復(fù)函數(shù)理論的初等證明。后續(xù)事件并非完全清晰，但塞爾伯格在《數(shù)學(xué)年刊》（Annals of Mathematics）第50卷上發(fā)表了兩篇論文：《素?cái)?shù)定理的一個(gè)初等證明》（An elementary proof of the prime number theorem）和《關(guān)于算術(shù)級(jí)數(shù)中素?cái)?shù)的狄利克雷定理的一個(gè)初等證明》（An elementary proof of Dirichlet's theorem about primes in an arithmetic progression）。次年，他發(fā)表了《算術(shù)級(jí)數(shù)情形的素?cái)?shù)定理的一個(gè)初等證明》（An elementary proof of the prime number theorem for arithmetic progressions）。不難看出塞爾伯格與埃爾德什之間誤解的根源?；旧希袛?shù)學(xué)家都可以置于一條“合作傾向”的譜線上。塞爾伯格與埃爾德什正處兩端——埃爾德什的大部分成果以合著論文形式發(fā)表，而塞爾伯格幾乎沒有合著作品。他們處于“合作傾向”譜線的兩極！

在塞爾伯格眾多杰出的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)中，還包括以下方面的工作：

……蘭金-塞爾伯格（Rankin-Selberg）方法、黎曼ζ函數(shù)理論中的“磨光器”技巧及其在臨界線及其附近零點(diǎn)問題上的深刻應(yīng)用（塞爾伯格篩法作為其副產(chǎn)品）、……塞爾伯格跡公式、塞爾伯格ζ函數(shù)、……自守函數(shù)、狄利克雷級(jí)數(shù)。

塞爾伯格的論文集以兩卷形式出版（1989年，1991年）。馬蒂·尤蒂拉（Matti Jutila）在評(píng)論中寫道：

阿特爾·塞爾伯格論文集的出版受到數(shù)學(xué)界的熱烈歡迎，原因有幾方面。首先，作者是一位在世的大師，約五十年來對(duì)數(shù)學(xué)（尤其是廣義的解析數(shù)論）產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。其次，他1947年以前的論文大多發(fā)表于發(fā)行有限的挪威叢書或期刊，部分甚至在二戰(zhàn)期間出版，現(xiàn)在終于易于獲取。第三，通過這兩卷塞爾伯格論文集，大量極為有趣的數(shù)學(xué)成果得以面世……[該著作]使人得以從內(nèi)部欣賞作者創(chuàng)造性工作的宏偉架構(gòu)。

塞爾伯格是1977年在奧斯陸出版的《阿克塞爾·圖埃（Axel Thue）數(shù)學(xué)論文選》的四位編者之一。1989年，塞爾伯格發(fā)表了《圍繞拉馬努金百年誕辰的思考》（Reflections around the Ramanujan centenary），這是他在1988年1月于孟買塔塔研究所舉行的拉馬努金百年誕辰會(huì)議閉幕式上的演講文本。這篇在拉馬努金誕辰100周年之際的致敬文章，顯示了拉馬努金對(duì)塞爾伯格數(shù)學(xué)發(fā)展的重要影響。

羅杰·希思-布朗（Roger Heath-Brown）在[18]中寫到塞爾伯格時(shí)，引用了塞爾伯格的話：

塞爾伯格非常謙虛，即使對(duì)他最重要的成就也是如此。例如他在1990年曾說：“我認(rèn)為我所做的事情……雖然有時(shí)涉及技術(shù)細(xì)節(jié)，甚至在我早期的一些工作中包含大量計(jì)算……但基本思想總是相當(dāng)簡(jiǎn)單，可以用相當(dāng)簡(jiǎn)單的術(shù)語(yǔ)解釋……在某種程度上，我可能有一個(gè)相當(dāng)單純的頭腦，所以我只能處理這類想法。我不認(rèn)為別人在理解我的工作上遇到過嚴(yán)重困難?！闭J(rèn)識(shí)他的人會(huì)認(rèn)出這不只是他的態(tài)度，也是他特有的表達(dá)方式。

讓我們記下塞爾伯格在[2]中被問及愛好時(shí)的回答：

年輕時(shí)我對(duì)植物學(xué)非常感興趣，收集了大量植物標(biāo)本。現(xiàn)在我不再收集植物了，但我仍然對(duì)它們感興趣，我可能認(rèn)識(shí)并能識(shí)別的物種比大多數(shù)人都多。多年來我也收集海貝。

除菲爾茲獎(jiǎng)外，塞爾伯格因其工作獲得了許多榮譽(yù)。1986年，他與塞繆爾·艾倫伯格（Samuel Eilenberg）共同獲得沃爾夫基金會(huì)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)（Wolf Foundation Prize in Mathematics）。授予塞爾伯格的獎(jiǎng)項(xiàng)理由是[4]：

……以表彰他在數(shù)論、離散群和自守形式方面深刻而原創(chuàng)的工作?！谠缙诠ぷ髦校⑻貭枴と麪柌窠淌谧C明了黎曼ζ函數(shù)在臨界線上的零點(diǎn)具有正密度。他構(gòu)想并發(fā)展了一般篩法，現(xiàn)已成為解析數(shù)論的基本工具。他關(guān)于篩法的思想導(dǎo)出了著名的‘塞爾伯格公式’，這是他素?cái)?shù)定理初等證明的基礎(chǔ)。他發(fā)現(xiàn)了以他命名的跡公式，并由此催生了群表示論與數(shù)論之間新的相互作用。他開創(chuàng)了格算術(shù)性的研究。他的貢獻(xiàn)如此深刻且眾多，他的名字已成為數(shù)學(xué)史的一部分。

我們還注意到，2002年阿貝爾獎(jiǎng)（Abel Prize）設(shè)立時(shí)，他們向塞爾伯格頒發(fā)了榮譽(yù)獎(jiǎng)[5]：

決定向著名挪威數(shù)學(xué)家阿特爾·塞爾伯格授予榮譽(yù)獎(jiǎng)，以認(rèn)可他作為世界頂尖數(shù)學(xué)家的地位。他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)如此深刻和原創(chuàng)，他的名字將永遠(yuǎn)是數(shù)學(xué)史的重要部分。

除了這些獎(jiǎng)項(xiàng)，他還當(dāng)選為挪威科學(xué)院、丹麥皇家科學(xué)院和美國(guó)藝術(shù)與科學(xué)院院士。1987年，他被授予挪威皇家圣奧拉夫勛章指揮官之星。

1987年他70歲時(shí)，從普林斯頓高等研究院退休。在普林斯頓期間，他一直保留挪威國(guó)籍，但在1990年代他取得了美國(guó)國(guó)籍。他的妻子赫維格于1995年7月去世。2003年2月14日，他與貝蒂·弗朗西斯（“米基”）·康普頓（Betty Frances ("Mickey") Compton，1929-）結(jié)婚。他在普林斯頓的家中因心臟病去世，享年90歲。去世后，人們紛紛致以哀悼。其中兩條記錄于[2]（及其他多篇文章）。高等研究院院長(zhǎng)彼得·戈達(dá)德（Peter Goddard）說：

阿特爾的離去是研究院乃至整個(gè)科學(xué)界的巨大損失。他影響深遠(yuǎn)的貢獻(xiàn)在數(shù)學(xué)世界留下了深刻的印記，我們失去的不僅是一位數(shù)學(xué)巨人，更是一位親愛的朋友。

普林斯頓大學(xué)尤金·希金斯數(shù)學(xué)教授彼得·薩納克（Peter Sarnak）說：

20世紀(jì)擁有許多極具天賦的數(shù)學(xué)家，其中，我認(rèn)為有少數(shù)幾位擁有‘點(diǎn)金之手’。在他們深入思考的任何主題上，他們看得比前人更遠(yuǎn)，看似毫不費(fèi)力地揭示了更多表層之下的真理。他們的工作為未來的諸多發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。阿特爾就是這樣一位數(shù)學(xué)家；他是一位數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)家。

我們以[20]中的這段贊頌作為結(jié)尾：

形容阿特爾·塞爾伯格數(shù)學(xué)天才的一種方式是他擁有‘點(diǎn)金之手’。在他深入思考的那些領(lǐng)域，他比前幾代人看得更遠(yuǎn)，反復(fù)揭示隱藏在表面之下的真理。他對(duì)長(zhǎng)期懸而未決問題的突破基于富有想象力且新穎的想法，這些想法一旦被消化，便被贊譽(yù)為簡(jiǎn)潔而決定性的。

參考來源

[1] Biography in Encyclopaedia Britannica. http://www.britannica.com/biography/Atle-Selberg

[2] G L Alexanderson, Atle Selberg, in D J Albers and G L Alexanderson (eds.), Fascinating Mathematical People: interviews and memoirs (Princeton University Press, Princeton, 2011), 254-273.

[3] Atle Selberg 1917-2007, Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey, USA. http://www.ias.edu/news/press-releases/2009-30

[4] Atle Selberg Winner of Wolf Prize in Mathematics - 1986, The Wolf Foundation. http://www.wolffund.org.il/index.php?dir=site&page=winners&cs=221

[5] N A Baas, 2002 - an Honorary Abel Prize to Atle Selberg, in H Holden and R Piene (eds.), The Abel Prize: 2003-2007 The First Five Years (Springer Science & Business Media, 2009), 9-11.

[6] N A Baas, Atle Selberg: On the zeros of the zeta-function of Riemann (Norwegian), Skr. K. Nor. Vidensk. Selsk. 4 (2011), 139-146.

[7] N A Baas and C F Skau, The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics, Bull. Amer. Math. Soc. 45 (4) (2008), 617-649.

[8] N A Baas and C F Skau, Lord of the numbers. Atle Selberg on life and his mathematics (Norwegian), Normat 56 (1) (2008), 3-4.

[9] N A Baas and C F Skau, Selberg interview. I. Mathematical development (Norwegian), Normat 56 (1) (2008), 5-23; 48.

[10] N A Baas and C F Skau, Selberg interview. II. Siene methods, prime number theorems and Erd?s (Norwegian), Normat 56 (2) (2008), 49-67; 96.

[11] N A Baas and C F Skau, The Selberg interview. III. The Riemann hypothesis and the trace formula (Norwegian), Normat 56 (3) (2008), 97-110; 144.

[12] E Bombieri, Selberg's sieve and its applications, in Number theory, trace formulas and discrete groups, Oslo 1987 (Boston, MA, 1989), 29-48.

[13] F Chamizo Lorente, Fernando Atle Selberg: 1917-2007 (Spanish), Gac. R. Soc. Mat. Esp. 11 (1) (2008), 193-208.

[14] D Bump, The Rankin-Selberg method: a survey, in Number theory, trace formulas and discrete groups, Oslo 1987 (Boston, MA, 1989), 49-109.

[15] B Devine, Interview: Atle Selberg - June 11, 1989. http://publications.ias.edu/sites/default/files/DOCdev1.pdf

[16] D Goldfeld, The Elementary Proof of the Prime Number Theorem: An Historical Perspective, in Number Theory: New York Seminar 2003 (Springer, New York, 2004), 179-192.

[17] R Heath-Brown, US mathematician from Norway ranked among the greats, The Guardian (25 September 2007).

[18] R Heath-Brown, Obituary: Atle Selberg, Bull. Lond. Math. Soc. 42 (5) (2010), 949-955.

[19] D Hejhal, Remembering Atle Selberg, 1917-2007, Notices Amer. Math. Soc. 56 (6) (2009), 692-710.

[20] D Hejhal and P Sarnak, Some commentary on Atle Selberg's mathematics, Bull. Amer. Math. Soc. 45 (4) (2008), 485-487.

[21] Math man Atle Selberg dead at 90, Phys.org (August 28, 2007) http://phys.org/news107536966.html

[22] T H Maugh, Atle Selberg, 90; researcher 'left a profound imprint on the world of mathematics', Los Angeles Times (August 22, 2007).

[23] Media Highlights, The College Mathematics Journal 41 (2) (2010), 173-180.

[24] Obituary of Paul Erd?s, in The Times London (25 September, 1996).

[25] Obituary notice: Atle Selberg (14-07-1917 to 06-08-2007), Hardy-Ramanujan J. 30 (2007), 73-74.

[26] J Pearce, Atle Selberg, 90, Lauded Mathematician, Dies, New York Times (17 August 2007).

[27] W Plump, Discovery comes unexpectedly for the creative mind of Selberg, Princeton Packet (February 12, 1991).

[28] J Spencer and R Graham, The elementary proof of the prime number theorem, The Mathematical Intelligencer 31 (3) (2009), 18-23.

[29] M Weil, Mathematician Atle Selberg; Won Fields Medal, Washington Post (August 19, 2007).

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