量子蒙特卡羅是處理大規(guī)模強關聯(lián)系統(tǒng)最有力的無偏數(shù)值工具之一，但其“測量能力”長期受限于一個深層困境：只能高效測量在路徑積分表象下的對角物理量。非對角觀測量雖往往承載量子物質(zhì)的核心信息，卻因與采樣權(quán)重“零重疊”，在傳統(tǒng)QMC中幾乎“不可見”。

本文作者近期在《自然-通訊》發(fā)文提出一套新的通用框架，通過在連續(xù)路徑上連接原本難以重疊的采樣分布，為量子蒙特卡羅在大尺度體系中研究非對角關聯(lián)的臨界行為、無序算符以及量子多體糾纏等問題提供了新路徑。其核心思想亦可延伸至大數(shù)據(jù)分布比較、機器學習中的重要性采樣等領域。感興趣的讀者可以進一步閱讀相關論文。

撰文 | 王枳妍、劉澤楠（西湖大學物理系量子多體計算實驗室）

量子蒙特卡羅（QMC）能在多項式的時間內(nèi)模擬尺寸很大的二維及高維量子體系，但“能模擬”不等于“什么都能測”。許多關鍵物理量，比如橫向自旋等時關聯(lián)、非對角虛時間關聯(lián)函數(shù)、甚至某些非局域的“無序算符”，都屬于所謂的非對角測量。這類測量會從根本上改變采樣位形的結(jié)構(gòu)，導致常規(guī)“邊采樣邊讀數(shù)”的套路徹底失效。

為此，基于重賦權(quán)思想[1, 2]，我們提出了一種名為雙組分重賦權(quán)退火 (bipartite reweight-annealing，BRA) 的通用框架[3]，其核心在于：將任意非對角觀測統(tǒng)一寫為兩個配分函數(shù)之比，再通過兩條獨立、可控的退火路徑與一個已知的參考點，重構(gòu)出目標結(jié)果。這一思想，還可以進一步擴展到更多非常規(guī)物理量的測量中，比如糾纏熵、糾纏負性、量子魔法等[4-6]。

本文集中討論如何解決QMC中的測量瓶頸，為系統(tǒng)研究非對角關聯(lián)、非局域的無序算符等前沿問題打開了大門。

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為什么非對角測量在 QMC 里這么難？

在凝聚態(tài)物理中，非對角物理量往往與對角物理量的行為表現(xiàn)不同，有可能揭示對角物理量更難直接反映的信息，或者能與對角的物理量形成互補。比如，常見的量子磁體材料中，當我們選擇在z方向的基底探測物理量時，x和y方向等關聯(lián)函數(shù)對應于橫向自旋漲落，其動力學結(jié)構(gòu)因子能體現(xiàn)自旋波等激發(fā)的譜權(quán)重，這是實驗與數(shù)值計算里最常用的對照之一；又比如，在U(1) 對稱性的反鐵磁系統(tǒng)中，z方向磁化強度在熱力學極限下為0，但是非對角關聯(lián)函數(shù)的不同的衰減行為可能標志著自發(fā)的連續(xù)對稱性破缺（如XY非對角序）。在量子臨界點附近，橫向關聯(lián)函數(shù)的衰減指數(shù)也能反映普適類。當然，一個典型例子是玻色-愛因斯坦凝聚中，與對角的密度-密度關聯(lián)不同，單粒子密度矩陣的非對角關聯(lián)函數(shù)具有著名的非對角長程序（ODLRO），是量子相干的宏觀體現(xiàn)。因此，這些非對角算符往往與探測系統(tǒng)的量子相干性和糾纏有關，是凝聚態(tài)物理中的重要物理量之一。

從數(shù)值的角度上來說，我們當然希望能夠測量越多的信息，才能更精確地捕捉系統(tǒng)的行為。然而，不僅是解析上更難以計算，測量一般的非對角關聯(lián)函數(shù)在技術上也具有挑戰(zhàn)性。

圖1 測量示意圖：左邊是測量對角算符的情況，右邊是測量非對角算符遇到的情況，用分布大致對比這兩種測量。對角測量就相當于在原分布中采樣，而非對角測量由于目標分布和現(xiàn)有分布幾乎不重疊，對采樣的效率造成嚴重威脅。

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歷史上的巧解：很多很漂亮，但往往依賴特定結(jié)構(gòu)

過去幾十年，人們確實想出了不少精巧辦法，讓某些非對角量在特定模型或特定框架下變得可測。例如，行列式QMC（DQMC）[7]則利用Wick定理，將高階關聯(lián)函數(shù)拆解為低階格林函數(shù)的乘積；對于世界線/SSE這類框架，蠕蟲算法（worm algorithm）[8-10]通過引入“開放世界線”的更新，能夠直接采樣兩點格林函數(shù)，自然也可以計算非對角的等時間和虛時間關聯(lián)函數(shù)。但是其推廣到多體非對角關聯(lián)函數(shù)相對來說比較復雜。

這些方案往往利用模型結(jié)構(gòu)、對稱性或更新方式，把“換分布”這件事局部化或隱式化，在各自適用范圍內(nèi)非常高效，也深刻影響了后來的算法設計。然而，它們大多無法推廣到任意算符、任意模型，更難以處理多體關聯(lián)、非局域算符等觀測量。

我們這次的目標更普適：把“測量”抽象成一個統(tǒng)一的比值問題，然后用同一套框架在普適的場景中去處理任意的算符觀測量。

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核心想法：把“不可直接比”變成“兩條可退火的比值”

前面我們說，在QMC的展開構(gòu)型中測量非對角，就像估計兩張不同的地圖一樣，那么有沒有什么辦法繞過直接估算呢？有的。

如果兩個分布離得太遠，我們就不硬比，而是讓它們分段接近。具體來說，分為三步：

這就像兩條獨立的登山路線：各自沿緩坡前進，最后在山脊處匯合。這里的參考點（reference point），就是讓問題變得可解的橋梁。

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等時非對角關聯(lián)：最基本的示例

要驗證這個方法是否有效，最簡單、也是最基礎的做法，就是找一些最基本的模型用來做基準測試。我們首先選擇有向圈算法[11-13]的最基礎模型 XXZ model，通過BRA算法計算的非對角關聯(lián)函數(shù)與精確對角化（exact diagonalization）的結(jié)果直接做對比。 最典型的

(Δ) 和分母 Z(Δ) 分別沿 Δ 從 1 退火到目標值（比如我們想知道的是 Δ=0.1 處的非對角關聯(lián)，那么我們就退火到 0.1 即可），每一步保證相鄰 Δ 的權(quán)重比在 O(1) 范圍內(nèi)，從而維持退火過程的相鄰配分函數(shù)保持極大的重疊。最后，將兩條路徑的累積比值與參考點的已知關聯(lián)相乘，即得目標關聯(lián)函數(shù)。

等時關聯(lián)只是第一步，除了等時的，當然也能算虛時間的，否則怎么能叫“通用框架”呢？

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虛時相關：沿“時間軸”做退火，把算符插入點搬來搬去

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外延與推廣：時間、空間、尺寸

前面我們講了對哈密頓量的參數(shù) Δ 做退火，或者對虛時間軸 τ 做退火，系統(tǒng)地展示了該方法計算等時、虛時、多體非局域算符的強大能力。你能否腦洞大開，意識到空間的格點、距離，系統(tǒng)的尺寸、甚至是維度都可以都可以成為那條可退火的“軸”？那么恭喜，你已經(jīng)領會到BRA的精神。正如一開始提出這個框架的研究者，這個看似簡單擴展的洞察，卻打開了新世界的大門。它意味著：

• 沿虛時間軸退火，可以滑動算符的插入點，從而獲得完整的虛時關聯(lián)函數(shù) G(τ)，這是提取激發(fā)譜的基石。
• 沿空間軸退火，可以改變算符之間的空間距離。例如，固定系統(tǒng)大小，通過調(diào)節(jié)中間耦合，我們可以將最近鄰關聯(lián) 的測量值，“搬運”到遠距離關聯(lián) ，從而高效掃描整個空間不同距離的關聯(lián)函數(shù)。
• 沿系統(tǒng)尺寸退火，可以從一個精確對角化可解的小系統(tǒng)（如4個格點）出發(fā)，通過逐漸“激活”新增格點間的耦合，將測量結(jié)果連續(xù)外推到巨大系統(tǒng)（如48個格點），實現(xiàn)了從小尺寸精確解到大尺寸蒙卡模擬的無縫銜接。

對 QMC 來說，測量的邊界一旦被推開，許多“以前只能在小系統(tǒng)上看”的問題，就能在大系統(tǒng)上系統(tǒng)研究。BRA 的價值不只在于某個具體結(jié)果，而在于提供了一套可復用的流程模板：寫成比值、選退火坐標（參數(shù)、空間、時間）、確保相鄰重疊、用參考點拼接。

它本質(zhì)上解決了統(tǒng)計學中“不同分布函數(shù)重疊估計”的經(jīng)典難題，其思想可延伸至大數(shù)據(jù)分布比較、機器學習中的重要性采樣等領域。在量子多體物理中，當“難測”變成“可退火”，新的研究領域——非對角臨界標度、無序算符的測量、量子多體糾纏的刻畫——也隨之打開。我們期待更多研究者接過這一工具，探索那些曾因“測不到”而被遮蔽的量子風景。

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