量子蒙特卡羅是處理大規(guī)模強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)最有力的無(wú)偏數(shù)值工具之一，但其“測(cè)量能力”長(zhǎng)期受限于一個(gè)深層困境：只能高效測(cè)量在路徑積分表象下的對(duì)角物理量。非對(duì)角觀測(cè)量雖往往承載量子物質(zhì)的核心信息，卻因與采樣權(quán)重“零重疊”，在傳統(tǒng)QMC中幾乎“不可見(jiàn)”。

本文作者近期在《自然-通訊》發(fā)文提出一套新的通用框架，通過(guò)在連續(xù)路徑上連接原本難以重疊的采樣分布，為量子蒙特卡羅在大尺度體系中研究非對(duì)角關(guān)聯(lián)的臨界行為、無(wú)序算符以及量子多體糾纏等問(wèn)題提供了新路徑。其核心思想亦可延伸至大數(shù)據(jù)分布比較、機(jī)器學(xué)習(xí)中的重要性采樣等領(lǐng)域。感興趣的讀者可以進(jìn)一步閱讀相關(guān)論文。

撰文 | 王枳妍、劉澤楠（西湖大學(xué)物理系量子多體計(jì)算實(shí)驗(yàn)室）

量子蒙特卡羅（QMC）能在多項(xiàng)式的時(shí)間內(nèi)模擬尺寸很大的二維及高維量子體系，但“能模擬”不等于“什么都能測(cè)”。許多關(guān)鍵物理量，比如橫向自旋等時(shí)關(guān)聯(lián)、非對(duì)角虛時(shí)間關(guān)聯(lián)函數(shù)、甚至某些非局域的“無(wú)序算符”，都屬于所謂的非對(duì)角測(cè)量。這類測(cè)量會(huì)從根本上改變采樣位形的結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致常規(guī)“邊采樣邊讀數(shù)”的套路徹底失效。

為此，基于重賦權(quán)思想[1, 2]，我們提出了一種名為雙組分重賦權(quán)退火 (bipartite reweight-annealing，BRA) 的通用框架[3]，其核心在于：將任意非對(duì)角觀測(cè)統(tǒng)一寫為兩個(gè)配分函數(shù)之比，再通過(guò)兩條獨(dú)立、可控的退火路徑與一個(gè)已知的參考點(diǎn)，重構(gòu)出目標(biāo)結(jié)果。這一思想，還可以進(jìn)一步擴(kuò)展到更多非常規(guī)物理量的測(cè)量中，比如糾纏熵、糾纏負(fù)性、量子魔法等[4-6]。

本文集中討論如何解決QMC中的測(cè)量瓶頸，為系統(tǒng)研究非對(duì)角關(guān)聯(lián)、非局域的無(wú)序算符等前沿問(wèn)題打開(kāi)了大門。

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為什么非對(duì)角測(cè)量在 QMC 里這么難？

在凝聚態(tài)物理中，非對(duì)角物理量往往與對(duì)角物理量的行為表現(xiàn)不同，有可能揭示對(duì)角物理量更難直接反映的信息，或者能與對(duì)角的物理量形成互補(bǔ)。比如，常見(jiàn)的量子磁體材料中，當(dāng)我們選擇在z方向的基底探測(cè)物理量時(shí)，x和y方向等關(guān)聯(lián)函數(shù)對(duì)應(yīng)于橫向自旋漲落，其動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)因子能體現(xiàn)自旋波等激發(fā)的譜權(quán)重，這是實(shí)驗(yàn)與數(shù)值計(jì)算里最常用的對(duì)照之一；又比如，在U(1) 對(duì)稱性的反鐵磁系統(tǒng)中，z方向磁化強(qiáng)度在熱力學(xué)極限下為0，但是非對(duì)角關(guān)聯(lián)函數(shù)的不同的衰減行為可能標(biāo)志著自發(fā)的連續(xù)對(duì)稱性破缺（如XY非對(duì)角序）。在量子臨界點(diǎn)附近，橫向關(guān)聯(lián)函數(shù)的衰減指數(shù)也能反映普適類。當(dāng)然，一個(gè)典型例子是玻色-愛(ài)因斯坦凝聚中，與對(duì)角的密度-密度關(guān)聯(lián)不同，單粒子密度矩陣的非對(duì)角關(guān)聯(lián)函數(shù)具有著名的非對(duì)角長(zhǎng)程序（ODLRO），是量子相干的宏觀體現(xiàn)。因此，這些非對(duì)角算符往往與探測(cè)系統(tǒng)的量子相干性和糾纏有關(guān)，是凝聚態(tài)物理中的重要物理量之一。

從數(shù)值的角度上來(lái)說(shuō)，我們當(dāng)然希望能夠測(cè)量越多的信息，才能更精確地捕捉系統(tǒng)的行為。然而，不僅是解析上更難以計(jì)算，測(cè)量一般的非對(duì)角關(guān)聯(lián)函數(shù)在技術(shù)上也具有挑戰(zhàn)性。

圖1 測(cè)量示意圖：左邊是測(cè)量對(duì)角算符的情況，右邊是測(cè)量非對(duì)角算符遇到的情況，用分布大致對(duì)比這兩種測(cè)量。對(duì)角測(cè)量就相當(dāng)于在原分布中采樣，而非對(duì)角測(cè)量由于目標(biāo)分布和現(xiàn)有分布幾乎不重疊，對(duì)采樣的效率造成嚴(yán)重威脅。

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歷史上的巧解：很多很漂亮，但往往依賴特定結(jié)構(gòu)

過(guò)去幾十年，人們確實(shí)想出了不少精巧辦法，讓某些非對(duì)角量在特定模型或特定框架下變得可測(cè)。例如，行列式QMC（DQMC）[7]則利用Wick定理，將高階關(guān)聯(lián)函數(shù)拆解為低階格林函數(shù)的乘積；對(duì)于世界線/SSE這類框架，蠕蟲(chóng)算法（worm algorithm）[8-10]通過(guò)引入“開(kāi)放世界線”的更新，能夠直接采樣兩點(diǎn)格林函數(shù)，自然也可以計(jì)算非對(duì)角的等時(shí)間和虛時(shí)間關(guān)聯(lián)函數(shù)。但是其推廣到多體非對(duì)角關(guān)聯(lián)函數(shù)相對(duì)來(lái)說(shuō)比較復(fù)雜。

這些方案往往利用模型結(jié)構(gòu)、對(duì)稱性或更新方式，把“換分布”這件事局部化或隱式化，在各自適用范圍內(nèi)非常高效，也深刻影響了后來(lái)的算法設(shè)計(jì)。然而，它們大多無(wú)法推廣到任意算符、任意模型，更難以處理多體關(guān)聯(lián)、非局域算符等觀測(cè)量。

我們這次的目標(biāo)更普適：把“測(cè)量”抽象成一個(gè)統(tǒng)一的比值問(wèn)題，然后用同一套框架在普適的場(chǎng)景中去處理任意的算符觀測(cè)量。

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核心想法：把“不可直接比”變成“兩條可退火的比值”

前面我們說(shuō)，在QMC的展開(kāi)構(gòu)型中測(cè)量非對(duì)角，就像估計(jì)兩張不同的地圖一樣，那么有沒(méi)有什么辦法繞過(guò)直接估算呢？有的。

如果兩個(gè)分布離得太遠(yuǎn)，我們就不硬比，而是讓它們分段接近。具體來(lái)說(shuō)，分為三步：

這就像兩條獨(dú)立的登山路線：各自沿緩坡前進(jìn)，最后在山脊處匯合。這里的參考點(diǎn)（reference point），就是讓問(wèn)題變得可解的橋梁。

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等時(shí)非對(duì)角關(guān)聯(lián)：最基本的示例

要驗(yàn)證這個(gè)方法是否有效，最簡(jiǎn)單、也是最基礎(chǔ)的做法，就是找一些最基本的模型用來(lái)做基準(zhǔn)測(cè)試。我們首先選擇有向圈算法[11-13]的最基礎(chǔ)模型 XXZ model，通過(guò)BRA算法計(jì)算的非對(duì)角關(guān)聯(lián)函數(shù)與精確對(duì)角化（exact diagonalization）的結(jié)果直接做對(duì)比。 最典型的

(Δ) 和分母 Z(Δ) 分別沿 Δ 從 1 退火到目標(biāo)值（比如我們想知道的是 Δ=0.1 處的非對(duì)角關(guān)聯(lián)，那么我們就退火到 0.1 即可），每一步保證相鄰 Δ 的權(quán)重比在 O(1) 范圍內(nèi)，從而維持退火過(guò)程的相鄰配分函數(shù)保持極大的重疊。最后，將兩條路徑的累積比值與參考點(diǎn)的已知關(guān)聯(lián)相乘，即得目標(biāo)關(guān)聯(lián)函數(shù)。

等時(shí)關(guān)聯(lián)只是第一步，除了等時(shí)的，當(dāng)然也能算虛時(shí)間的，否則怎么能叫“通用框架”呢？

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虛時(shí)相關(guān)：沿“時(shí)間軸”做退火，把算符插入點(diǎn)搬來(lái)搬去

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外延與推廣：時(shí)間、空間、尺寸

前面我們講了對(duì)哈密頓量的參數(shù) Δ 做退火，或者對(duì)虛時(shí)間軸 τ 做退火，系統(tǒng)地展示了該方法計(jì)算等時(shí)、虛時(shí)、多體非局域算符的強(qiáng)大能力。你能否腦洞大開(kāi)，意識(shí)到空間的格點(diǎn)、距離，系統(tǒng)的尺寸、甚至是維度都可以都可以成為那條可退火的“軸”？那么恭喜，你已經(jīng)領(lǐng)會(huì)到BRA的精神。正如一開(kāi)始提出這個(gè)框架的研究者，這個(gè)看似簡(jiǎn)單擴(kuò)展的洞察，卻打開(kāi)了新世界的大門。它意味著：

• 沿虛時(shí)間軸退火，可以滑動(dòng)算符的插入點(diǎn)，從而獲得完整的虛時(shí)關(guān)聯(lián)函數(shù) G(τ)，這是提取激發(fā)譜的基石。
• 沿空間軸退火，可以改變算符之間的空間距離。例如，固定系統(tǒng)大小，通過(guò)調(diào)節(jié)中間耦合，我們可以將最近鄰關(guān)聯(lián) 的測(cè)量值，“搬運(yùn)”到遠(yuǎn)距離關(guān)聯(lián) ，從而高效掃描整個(gè)空間不同距離的關(guān)聯(lián)函數(shù)。
• 沿系統(tǒng)尺寸退火，可以從一個(gè)精確對(duì)角化可解的小系統(tǒng)（如4個(gè)格點(diǎn)）出發(fā)，通過(guò)逐漸“激活”新增格點(diǎn)間的耦合，將測(cè)量結(jié)果連續(xù)外推到巨大系統(tǒng)（如48個(gè)格點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)了從小尺寸精確解到大尺寸蒙卡模擬的無(wú)縫銜接。

對(duì) QMC 來(lái)說(shuō)，測(cè)量的邊界一旦被推開(kāi)，許多“以前只能在小系統(tǒng)上看”的問(wèn)題，就能在大系統(tǒng)上系統(tǒng)研究。BRA 的價(jià)值不只在于某個(gè)具體結(jié)果，而在于提供了一套可復(fù)用的流程模板：寫成比值、選退火坐標(biāo)（參數(shù)、空間、時(shí)間）、確保相鄰重疊、用參考點(diǎn)拼接。

它本質(zhì)上解決了統(tǒng)計(jì)學(xué)中“不同分布函數(shù)重疊估計(jì)”的經(jīng)典難題，其思想可延伸至大數(shù)據(jù)分布比較、機(jī)器學(xué)習(xí)中的重要性采樣等領(lǐng)域。在量子多體物理中，當(dāng)“難測(cè)”變成“可退火”，新的研究領(lǐng)域——非對(duì)角臨界標(biāo)度、無(wú)序算符的測(cè)量、量子多體糾纏的刻畫——也隨之打開(kāi)。我們期待更多研究者接過(guò)這一工具，探索那些曾因“測(cè)不到”而被遮蔽的量子風(fēng)景。

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