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這個謎題由 Dan Dima 建議，他基于 Stan Wagon 提出的一個謎題，Stan Wagon 將其歸功于 Erich Friedman - 感謝所有人！

我們考慮一個單人雙陸棋類游戲。游戲棋盤由無限序列的位置組成，標(biāo)記為 0、1、2、……。開始時(shí)，在位置 0 處有 5 個棋子（"棋手"）。

每回合投擲兩個骰子。為簡化起見，我們假設(shè)骰子只有兩種等概率結(jié)果：1 和 2。

如果投擲兩個骰子得到兩個不同的值，玩家根據(jù)骰子上的數(shù)字向前移動兩個棋子（同一個棋子可以移動兩次）。

如果骰子相同，每個骰子使用兩次，因此玩家可以根據(jù)骰子的數(shù)字移動四個棋子（同一個棋子可以移動多次）。

一個棋子單獨(dú)在某個位置的情況稱為孤子。玩家的目標(biāo)是避免孤子；游戲在產(chǎn)生孤子的回合后結(jié)束。

避免孤子的簡單策略如下：如果骰子結(jié)果不同 - 太糟糕了，將產(chǎn)生孤子。否則 - 選擇兩個棋子，每個移動兩次。可以證明，這種策略在游戲中的預(yù)期骰子投擲次數(shù)為 1，除了最后一次投擲。

您的目標(biāo)：找出使用最優(yōu)策略時(shí)的預(yù)期投擲次數(shù)。注意這可以用有理數(shù)表示，但您也可以提供精確到 6 位小數(shù)的十進(jìn)制數(shù)。

額外挑戰(zhàn)"*"：解決謎題的同時(shí)，不使用只能產(chǎn)生 1 或 2 結(jié)果的骰子，而是使用標(biāo)準(zhǔn)骰子，在 1、2、3、4、5、6 范圍內(nèi)均勻概率產(chǎn)生值。

Q&A

Q1：雙陸棋類游戲中的孤子是什么？

A：孤子是指一個棋子單獨(dú)在某個位置的情況。在這個游戲中，玩家的目標(biāo)就是避免產(chǎn)生孤子，一旦產(chǎn)生孤子，游戲就會結(jié)束。

Q2：簡單策略的預(yù)期投擲次數(shù)是多少？

A：簡單策略的預(yù)期投擲次數(shù)為1次，除了最后一次投擲。這種策略是：如果骰子結(jié)果不同就會產(chǎn)生孤子，如果骰子相同就選擇兩個棋子每個移動兩次。

Q3：這個挑戰(zhàn)題的目標(biāo)是什么？

A：挑戰(zhàn)題要求找出使用最優(yōu)策略時(shí)的預(yù)期骰子投擲次數(shù)，可以用有理數(shù)或精確到6位小數(shù)的十進(jìn)制數(shù)表示。額外挑戰(zhàn)是使用標(biāo)準(zhǔn)六面骰子而不是只有1、2兩種結(jié)果的骰子。