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具有百年歷史的拓撲學難題——博內(nèi)問題核心探究 “少量局部信息能否唯一確定整個曲面”。1月20日，《量子雜志》

Quanta Magazine

圖源： Mark Belan / Quanta Magazine

Publications mathématiques de l’IHéS 142, 241–293 (2025)

一、原文大意

1月20日由《量子雜志》記者 Elise Cutts 撰寫的這篇文章，圍繞百年歷史的拓撲學難題 —— 博內(nèi)問題（Bonnet problem）展開。

皮埃爾·奧西恩·博內(nèi)（Pierre Ossian Bonnet，1819—1892）

博內(nèi)問題核心探究 “少量局部信息能否唯一確定整個曲面”，法國數(shù)學家皮埃爾·奧西恩·博內(nèi) （Pierre Ossian Bonnet，1819—1892）于1867年證明，若已知曲面上每一點的度量（metric）和平均曲率（mean curvature），通?？纱_定曲面形態(tài)，但 “通?！?并非 “總是”。

曲面上每一點的曲率可能都不相等，最大的曲率和最小曲率?。ㄋ阈g）平均值，得到平均曲率。

以平面、圓柱面（半徑為1）、球面（半徑為1）為例，求平均曲率：

平面、圓柱面與球面的度量差異：

通過 “粘貼一張平坦的標簽” ，可以看出平面與圓柱面因可無拉伸 / 撕裂變形，度量相同（標簽貼合）；而球面需拉伸 / 撕裂才能貼合標簽，故度量有所不同。

過去150年，數(shù)學家雖發(fā)現(xiàn)違背該規(guī)律的曲面（即具有相同度量和平均曲率卻有不同全局結構），但這些曲面均為非緊致（non-compact）的，要么向某方向無限延伸（如平面、圓柱），要么有邊緣（如從大形狀裁剪下的部分）。

而像球面、甜甜圈狀環(huán)面（tori）這類緊致（compact）曲面，1981年小布萊恩?勞森（H. Blaine Lawson, Jr.，參閱） 與 雷納托·德·阿澤維多·特里布齊（Renato de Azevedo Tribuzy） 證明球面及拓撲等價無孔緊致曲面可由局部信息唯一確定，對帶孔的緊致環(huán)面，僅理論推測給定度量和平均曲率最多對應兩個不同環(huán)面，卻始終未找到 “緊致博內(nèi)對”（compact Bonnet pairs）實例，學界一度認為環(huán)面也能由局部信息唯一確定。

圖源：Mark Belan / Quanta Magazine

Publications mathématiques de l’IHéS 142, 241–293 (2025)

直到2025年10月，柏林工業(yè)大學的 Alexander Bobenko、慕尼黑工業(yè)大學的 Tim Hoffmann 與北卡羅來納州立大學的 Andrew Sageman-Furnas 在《IHéS 數(shù)學出版物》（

Publications mathématiques de l’IHéS

從左到右：Andrew Sageman-Furnas，Tim Hoffmann，Alexander Bobenko

研究過程中，Alexander Bobenko 曾于21世紀初嘗試證明緊致博內(nèi)對存在，因難度大擱置，轉而研究離散曲面（discrete surfaces，類似光滑曲面像素化低分辨率版本）。

要獲得一個離散曲面，先取一個有限的點集合，然后用線將它們連接起來，形成具有平坦面的形狀。通過選擇不同的點，你可以用不同的方式表示給定的光滑曲面。例如，下面是一些表示球面的方法：

從左到右：6個點、26個點、62個點的離散曲面、光滑球面

圖源：Mark Belan / Quanta Magazine

2010年代，Andrew Sageman-Furnas（當時為哥廷根大學博士生）受漁網(wǎng)等編織材料力學啟發(fā)研究離散數(shù)學，提出博內(nèi)問題的離散版本，還與導師 Max Wardetzky 及 Tim Hoffmann 找到離散情形下構造博內(nèi)定理反例的方法 https://arxiv.org/abs/dg-ga/9610006 ，只是反例仍為非緊致。

圖源：Mark Belan / Quanta Magazine

Publications mathématiques de l’IHéS 142, 241–293 (2025)

2018年春，Andrew Sageman-Furnas 通過計算機搜索，找到一種類似 “折紙犀?！保╮hino）的帶孔緊致離散環(huán)面，其具備生成博內(nèi)對的屬性，且生成的博內(nèi)對也為緊致環(huán)面。雖存在計算機舍入誤差風險，但經(jīng) Tim Hoffmann 與 Andrew Sageman-Furnas 驗證，該 “犀?！?具有研究價值。他們發(fā)現(xiàn) “犀?！?邊緣的曲率線（curvature lines）僅位于平面或球面上，這一特殊性質成為關鍵線索。

讓·加斯東·達布（ Jean Gaston Darboux，1842 - 1917）

隨后，三人借鑒19世紀法國數(shù)學家讓·加斯東·達布（ Jean Gaston Darboux） 提出的生成特定曲率線曲面的公式，調(diào)整公式使曲率線閉合，得到光滑版 “犀?！?，并以此生成首對緊致博內(nèi)對（最初為鏡像對稱，后進一步調(diào)整得到更明顯不同的扭曲環(huán)面）。該成果顛覆學界認知，杜克大學的 Robert Bryant 與馬薩諸塞大學阿默斯特分校的 Rob Kusner 均表示意外，目前 Alexander Bobenko 還希望證明存在無自交的博內(nèi)環(huán)面。

二、主要數(shù)學思想

1. 曲率與度量

1）外在曲率與平均曲率：外在曲率描述曲面在空間中的彎曲情況，對曲面上任一點，沿不同方向計算曲率，取最大與最小曲率的平均值即為平均曲率（mean curvature），可反映曲面在周圍空間中的位置特征。

2）內(nèi)蘊曲率與度量：內(nèi)蘊曲率是曲面不依賴外部空間的幾何屬性，而度量（metric）是曲面上測量距離的規(guī)則，由內(nèi)蘊曲率決定。如平面與圓柱可通過無拉伸、無撕裂的變形轉換，兩點間曲線長度不變，故度量相同；但平面無法無損傷地包裹球面，曲線長度會改變，故二者度量不同。

2. 離散與光滑

1）離散曲面的工具性：離散曲面由有限點和連線構成平面，可模擬光滑曲面，且因點數(shù)量有限，能借助計算機研究。Alexander Bobenko 與 Tim Hoffmann 長期研究如何通過離散曲面保留光滑曲面的關鍵幾何特征；Andrew Sageman-Furnas 則通過離散曲面的博內(nèi)問題反例，為光滑曲面研究提供思路。

2）從離散到光滑的遷移：Andrew Sageman-Furnas 找到的離散 “犀?！?環(huán)面，其曲率線僅位于平面或球面的特殊性質，為光滑曲面研究提供線索。研究團隊借鑒達布公式，將離散曲面的特殊結構遷移到光滑曲面，最終構造出光滑的緊致博內(nèi)對。

離散 “犀?！?環(huán)面

圖源：原論文插圖

三、核心創(chuàng)新點

1. 首次構造 “緊致博內(nèi)對”

此前發(fā)現(xiàn)的博內(nèi)定理反例均為非緊致曲面，而該研究首次找到一對緊致環(huán)面（tori）：它們擁有相同的度量（metric）和平均曲率（mean curvature），卻具備完全不同的全局結構，填補了 “緊致曲面是否違背博內(nèi)定理” 的研究空白，證明緊致曲面中也存在 “局部信息無法唯一確定全局結構” 的情況。

緊致博內(nèi)對：兩個不全等的浸入式實解析環(huán)面（immersed real analytic tori），二者通過保平均曲率等距變換（mean curvature preserving isometry）相關聯(lián)。每個曲面上對應的生成元（generators）分別以橙色和藍色標注。需注意，頂部的兩個大型氣泡狀凸起比底部對應的氣泡狀凸起更為靠近，且兩個曲面均具有180度旋轉對稱性。這對博內(nèi)環(huán)面源自一族帶平面曲率線（planar curvature lines）的等溫環(huán)面（isothermic torus）的共形變換（conformal transformations）：橙色生成元源自平面曲線，因此彼此全等（congruent），而藍色生成元則不全等。

圖源：原論文插圖

2. 離散與光滑幾何的跨領域聯(lián)動

打破 “光滑幾何研究領先，離散幾何滯后” 的傳統(tǒng)認知，以離散曲面為突破口：先通過計算機在離散幾何中找到具備生成博內(nèi)對屬性的緊致 “犀?！?環(huán)面，再基于其特殊曲率線特征（僅在平面或球面），結合達布公式調(diào)整，推導得到光滑的緊致博內(nèi)對，實現(xiàn)離散幾何對光滑幾何研究的推動。

3. 突破經(jīng)典公式的限制

達布提出的生成特定曲率線曲面的公式，原本生成的曲率線呈螺旋狀且延伸至無窮遠，無法形成封閉的緊致曲面。研究團隊通過調(diào)整該公式，使曲率線能夠閉合，成功構造出光滑的 “犀?！?環(huán)面，進而生成緊致博內(nèi)對，拓展了經(jīng)典公式的應用范圍。

圖源：原論文插圖

四、待解決問題與科研攻關方向

1. 待解決問題

動畫源：Quanta Magazine

1）無自交的緊致博內(nèi)對是否存在：目前發(fā)現(xiàn)的緊致博內(nèi)對（扭曲環(huán)面）存在自交現(xiàn)象（如數(shù)字“8”形狀），尚未證明是否存在無自交的博內(nèi)環(huán)面（Bonnet tori），這是當前最直接的未解決問題。

2）緊致博內(nèi)對的普遍性：現(xiàn)有成果僅為 “存在性” 證明，尚未明確緊致博內(nèi)對在所有緊致曲面中的分布規(guī)律，例如不同孔數(shù)的緊致曲面（如雙孔環(huán)面）是否也存在博內(nèi)對，仍需進一步探索。

2. 科研攻關方向

1）深化離散與光滑幾何的融合：此次研究中離散幾何為光滑幾何提供關鍵線索，未來可進一步探索離散曲面的特殊結構（如更多特殊曲率線分布、不同拓撲不變量），嘗試遷移到更高維光滑流形的研究中，為高維拓撲學難題提供新方法。

2）拓展博內(nèi)問題的研究維度：當前研究集中于二維緊致曲面，未來可向更高維緊致流形延伸，探究在高維空間中 “局部信息（如高維度量、曲率）與全局結構的關系”，是否存在類似 “高維緊致博內(nèi)對” 的現(xiàn)象，豐富博內(nèi)問題的理論體系。

3）計算機與理論數(shù)學的深度協(xié)作：此次研究依賴計算機搜索離散曲面實例，未來可開發(fā)更精準的計算模型，減少舍入誤差對結果驗證的影響；同時結合理論數(shù)學，建立離散與光滑幾何轉換的更嚴謹邏輯框架，提升研究結果的可靠性與普適性。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/two-twisty-shapes-resolve-a-centuries-old-topology-puzzle-20260120/

https://link.springer.com/article/10.1007/s10240-025-00159-z

https://arxiv.org/abs/dg-ga/9610006

https://arxiv.org/abs/2110.06335v2

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