拉馬努金的“奇跡公式”

π，即圓周率，擁有無限多個小數(shù)位，通常被四舍五入為3.14。

1914年，傳奇數(shù)學家拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）給出了17個極其驚人的無窮級數(shù)公式，它們以極快的速度收斂到1/π。這些公式效率極高，比當時的其他方法能夠更快地計算圓周率。

π的倒數(shù)的無窮和表達式。

這些公式是如此基礎，不僅為此后所有用于計算圓周率π的的快速收斂級數(shù)奠定了基礎，還促成了多項突破性進展。這些進展至今仍在持續(xù)塑造數(shù)學的發(fā)展，尤其是在解析數(shù)論和計算數(shù)學領(lǐng)域。

一直以來，數(shù)學家和物理學家都想知道，拉馬努金的公式是否指向某些更為深層的東西？這些公式的起點是否本就與某種物理理論相契合？換言之，在自然界中，是否存在一個物理世界，會自行出現(xiàn)這些數(shù)學公式？

在一篇新發(fā)表于《物理評論快報》的研究中，兩名物理學家發(fā)現(xiàn)，拉馬努金的公式，可以自然出現(xiàn)在一類名為對數(shù)共形場論（LCFT）的物理理論中。

從尺度不變到黑洞視界

共形場論描述的是具有尺度不變對稱性的系統(tǒng)——本質(zhì)上，這類系統(tǒng)無論你把尺度放大或縮小到什么程度，看起來都保持不變，就像分形結(jié)構(gòu)一樣。

在物理情境中，這種性質(zhì)可以在水的臨界點看到——當水在約374°C、221個大氣壓下達到臨界狀態(tài)時，水的液態(tài)和氣態(tài)將變得彼此不可區(qū)分。在這一點上，水表現(xiàn)出尺度不變對稱性，其物理性質(zhì)就可以用共形場論來描述。

對數(shù)共形場論則出現(xiàn)在一些更“奇特”的物理情情境中，例如分數(shù)量子霍爾效應、逾滲（即事物如何在介質(zhì)中傳播）、聚合物，甚至是全息理論中。

而這項新研究就發(fā)現(xiàn)，拉馬努金公式起點所蘊含的數(shù)學結(jié)構(gòu)，同樣出現(xiàn)在這些對數(shù)共形場論背后的數(shù)學框架之中。

具體來說，通過將這些公式與對數(shù)共形場論聯(lián)系起來，研究人員能夠?qū)⑦@些無窮級數(shù)重新詮釋為共形場論中的基本數(shù)據(jù)。他們能夠高效地計算理論中的某些物理量，而這些量有望幫助人們更好地理解諸如湍流或逾滲等現(xiàn)象。這與拉馬努金從其公式的起點出發(fā)、高效地推導出圓周率的過程頗為相似。

而這種聯(lián)系甚至還延伸得更深遠。在論文的附錄中，研究人員展示了同樣的數(shù)學結(jié)構(gòu)也出現(xiàn)在通過全息理論描述的黑洞模型中。在全息理論的框架中，高維空間中的引力理論可以映射為低維空間中的量子物理。他們發(fā)現(xiàn)，拉馬努金的公式對應于攝動是如何在黑洞視界與時空邊界之間傳播的。

而同樣的一組方程，也能夠描述聚合物如何被拉伸、流體如何進入湍流狀態(tài)，以及逾滲材料中的團簇是如何形成的。

一扇新門

研究人員感慨道，在幾乎所有真正優(yōu)美的數(shù)學背后，幾乎總能發(fā)現(xiàn)，有某個物理系統(tǒng)在真實地映射著這些數(shù)學結(jié)構(gòu)。拉馬努金最初的動機或許完全是數(shù)學上的，但在他并不知情的情況下，其實也觸及了黑洞、湍流、逾滲等各種物理現(xiàn)象。

這項研究表明，拉馬努金百年前提出的公式，在提升當代高能物理計算的速度與可處理性方面，存在著此前未被發(fā)現(xiàn)的潛在應用。它為新的可能性打開了一扇門，表明使用同樣的方法，或許能夠揭示其他無理數(shù)的快速收斂公式，并有望簡化那些用于模擬湍流和臨界行為的理論計算過程。

不過，即便不考慮這些應用，研究人員也表示他們，本身就已深深震撼于拉馬努金數(shù)學的美感。而一位在20世紀初的傳奇數(shù)學家，在幾乎沒有接觸過現(xiàn)代物理學的情況下，預見了那些如今已成為我們理解宇宙核心的結(jié)構(gòu)，這著實令人驚嘆！

#參考來源：

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/c38g-fd2v

https://www.eurekalert.org/news-releases/1108308

#圖片來源：

封面圖&首圖：tommyvideo / Pixabay