拓撲量子物態(tài)是凝聚態(tài)物理與量子信息交叉領域的前沿方向. 過去十余年, 該領域不斷深化人們對量子多體系統(tǒng)的理解. 從拓撲絕緣體、拓撲超導體到各類新型量子材料, 這些特殊拓撲物態(tài)不僅在基礎研究中理論價值深厚, 更在未來量子技術中展現(xiàn)出廣闊的應用前景. 隨著對量子糾纏和對稱性認識的提升, 拓撲物態(tài)正成為連接物理學各分支的重要紐帶, 為揭示自然界復雜結構、探索新物理規(guī)律, 以及開發(fā)新一代量子器件提供了全新視角.

在眾多拓撲量子態(tài)中, 內(nèi)秉拓撲態(tài)(intrinsic topological states)具有長程糾纏, 反映了強關聯(lián)系統(tǒng)中涌現(xiàn)的非平凡量子結構 [1] . 與之相對, 對稱性保護拓撲態(tài)(symmetry-protected topological states, SPT態(tài))只具有短程糾纏, 但在特定對稱性的保護下依然呈現(xiàn)出非平凡的拓撲結構 [2] . 這些拓撲結構不能用傳統(tǒng)的局域序參量區(qū)分, 其特性通常以零能模、簡并態(tài)等形式體現(xiàn)在系統(tǒng)邊界上. 目前, 針對玻色子和費米子系統(tǒng)的SPT相, 已有較為系統(tǒng)的構造和分類研究, 并在量子計算、量子糾錯、量子相變等前沿方向展現(xiàn)出巨大的應用潛力.

然而, 大多數(shù)相關研究仍然基于理想的封閉系統(tǒng), 即系統(tǒng)與環(huán)境無耦合、量子態(tài)始終保持純態(tài). 在現(xiàn)實中, 量子系統(tǒng)不可避免地受到環(huán)境的影響, 如熱漲落、材料缺陷、光學損耗、退相干等, 使其表現(xiàn)為開放量子系統(tǒng) [3] . 在這種情況下, 現(xiàn)有的SPT理論框架往往不再適用, 由此引出了若干關鍵問題: 在開放量子系統(tǒng)中, 原有的拓撲物態(tài)在環(huán)境的擾動下能否保持穩(wěn)定? 除了封閉系統(tǒng)已知的拓撲結構, 開放系統(tǒng)是否還會涌現(xiàn)出全新的拓撲物態(tài)?

近年來的理論研究表明, 混態(tài)的對稱性結構遠比純態(tài)更為復雜多樣. 除了從純態(tài)對稱性直接推廣而來的強對稱性(strong symmetry), 還存在一種稱為弱對稱性(weak symmetry)的新類型 [4] . 強對稱性要求混態(tài)中每個純態(tài)分量在對稱操作下具有相同的守恒量, 而弱對稱性僅要求密度矩陣所代表的整體系綜在統(tǒng)計意義上滿足對稱性, 因此又被稱為平均對稱性(average symmetry). 在一些具有部分退相干、系統(tǒng)和熱環(huán)境具有相互作用的真實物理過程中, 系統(tǒng)可能僅以統(tǒng)計平均的方式保留對稱性, 這為刻畫量子混態(tài)的拓撲結構提供了新的視角 [ 5 , 6 ] .

在此背景下, 我們提出了一種新的研究思路: 利用張量網(wǎng)絡中的局域純化密度算符(locally purified density operator, LPDO), 構造并分類混態(tài)拓撲相 [7] . 張量網(wǎng)絡方法不僅顯著降低了量子多體系統(tǒng)的模擬復雜度, 還能為系統(tǒng)各組分之間的關聯(lián)和糾纏結構提供直觀而明確的表示, 因此在拓撲物態(tài)的數(shù)值模擬、解析構造和分類中具有重要的作用 [ 8 , 9 ] . 其中, LPDO是一種專門用于表示混態(tài)密度矩陣的網(wǎng)絡結構, 使我們能夠以可視化、簡潔清晰的方式研究不同對稱性在混態(tài)中的作用, 并為構造新型拓撲物態(tài)開辟新的途徑.

借助該方法, 我們系統(tǒng)研究了一類混態(tài)拓撲相——平均對稱性保護拓撲相(average symmetry-protected topological phases, ASPT相), 并針對一維和二維體系以及玻色子和費米子等多種開放量子系統(tǒng)給出了完整的分類方案 [7] . 特別地, 我們揭示了一種僅存在于開放量子系統(tǒng)、在純態(tài)中沒有對應物的特殊拓撲物態(tài), 稱為本征ASPT相. 此外, 我們提出了兩種可在實驗平臺上實現(xiàn)并驗證此類拓撲物態(tài)的方案. 本研究不僅建立了理解混態(tài)中新型拓撲結構的理論框架, 也為凝聚態(tài)物理與量子信息交叉前沿的探索提供了新的思路.

具體而言, LPDO方法的核心思想是在每個物理自由度上引入局域的環(huán)境自由度, 從而構造出混態(tài)對應的局域純化態(tài), 并利用張量網(wǎng)絡進行建模, 如 圖1(a) 所示. 該方法不僅延續(xù)了傳統(tǒng)矩陣乘積態(tài)(matrix product state, MPS)在高效表征和計算方面的優(yōu)勢, 還天然適用于刻畫真實的開放量子系統(tǒng), 因此已被應用于含噪聲量子線路模擬、量子態(tài)層析等量子信息處理任務 [ 10 , 11 ] .

圖 1

(網(wǎng)絡版彩色)基于LPDO的ASPT相構造和分類. (a) 密度矩陣的LPDO表示. (b) 局域張量在強對稱性和弱對稱性下的變換形式. (c) 蜂窩晶格和 C 自旋的疇壁. (d) Z2×Z2×Z2對稱性保護的(2+1)維SPT相的張量結構. (e) Z2×Z2×Z2對稱性保護的(2+1)維SPT相的張量元. (f) Z2×Z4對稱性保護的(2+1)維本征ASPT相的張量元

為了精準刻畫ASPT相, 我們在理論上提出了兩類單射性條件, 以確保所得到的混態(tài)結構僅具有短程關聯(lián), 從而規(guī)避了對稱性自發(fā)破缺和長程糾纏帶來的額外復雜性, 使研究能夠聚焦于可控且穩(wěn)定的拓撲結構. 我們系統(tǒng)討論了強對稱性和弱對稱性所導致的局域張量變換方程, 如 圖1(b) 所示. 物理自由度(紅色實線)的對稱操作會使虛擬自由度(黑色細實線)和環(huán)境自由度(藍色粗實線)產(chǎn)生相應的對稱變換, 可有效刻畫系統(tǒng)的非平凡拓撲結構. 當系統(tǒng)具有強對稱性時, 密度矩陣的每個純態(tài)分量均具有同樣的對稱性和對稱荷, 因此物理自由度的對稱操作 Uk 僅會在虛擬自由度上產(chǎn)生一個規(guī)范變換 Vk , 使得每個純態(tài)分量均保持不變. 此時, 虛擬自由度產(chǎn)生的規(guī)范變換對應于對稱群的投影表示, 所保護的拓撲結構對應于封閉系統(tǒng)的SPT分類. 當系統(tǒng)具有弱對稱性時, 密度矩陣在平均的意義上保持對稱性, 但不同的純態(tài)分量之間可能會互相轉(zhuǎn)換或重新線性組合, 因此除了虛擬自由度上的變換 Vg 以外, 還會在環(huán)境自由度上產(chǎn)生一個額外的幺正變換 Mg , 以保證密度矩陣在弱對稱性變換下的不變性. 這種情況下, 對稱操作引起的左右矢相位變換會相互抵消, 難以單獨保護非平凡拓撲相.

然而, 當強弱對稱性同時存在時, 兩者在虛擬和環(huán)境自由度中的耦合效應可能對拓撲結構形成協(xié)同保護, 導致系統(tǒng)邊界出現(xiàn)混合反常(mixed anomaly), 從而形成穩(wěn)定的拓撲物態(tài). 特別地, 當系統(tǒng)的對稱性并不是強弱對稱性的簡單直積, 而是形成某種群擴展結構時, 就可能涌現(xiàn)出一種在純態(tài)系統(tǒng)中從未出現(xiàn)過的新物態(tài)——本征ASPT相. 例如, 具有Z4對稱性(由兩個Z2群擴展而成)的一維量子系統(tǒng)沒有非平凡的SPT相, 這是因為群擴展結構對虛擬自由度的變換施加了更嚴格的自洽性條件, 這些條件就像額外的障礙(obstruction), 阻止了非平凡拓撲結構的形成. 但是, 如果將其中一個Z2改為弱對稱性, 它在左右矢上的相位變換會相互抵消, 少了一個約束條件的限制, 反而能夠形成非平凡的拓撲結構. 我們系統(tǒng)推導了出現(xiàn)本征ASPT相的條件, 并且構造了一維和二維系統(tǒng)中本征ASPT相的具體張量網(wǎng)絡表示, 其中二維系統(tǒng)中由Z2×Z4保護的ASPT相的張量網(wǎng)絡結構如 圖1(c~f )所示.

尤其值得強調(diào)的是, 基于LPDO中環(huán)境自由度的不同物理意義, 我們詳細討論了這些混態(tài)拓撲相的兩種實驗實現(xiàn)方案 [7] , 分別對應退相干系統(tǒng)和無序系統(tǒng). 一方面, 在量子計算平臺上可以通過引入輔助比特來表示環(huán)境自由度, 基于量子線路實現(xiàn)純化量子態(tài)的實驗制備, 進而在退相干系統(tǒng)中實現(xiàn)量子混態(tài). 另一方面, 環(huán)境自由度還能作為密度矩陣所代表的系綜中各量子態(tài)的標簽, 借助蒙特卡羅方法對LPDO的環(huán)境自由度采樣, 即可構建相應的哈密頓量或量子線路系綜, 通過無序系統(tǒng)實現(xiàn)量子混態(tài)制備. 此外, 我們給出了多個具體樣例, 包括一維拓撲物態(tài)在退相干系統(tǒng)中的量子線路實現(xiàn)方案, 以及二維拓撲物態(tài)在無序系統(tǒng)中的哈密頓量構造, 為后續(xù)的實驗驗證提供了明確且可行的路徑. 需要指出的是, 這兩類實驗實現(xiàn)方案也面臨一定的挑戰(zhàn). 例如, 在退相干系統(tǒng)的實現(xiàn)中, 如何精確控制輔助比特與系統(tǒng)的相互作用而不引入額外噪聲, 是實驗中必須克服的主要問題. 而在無序系統(tǒng)的方案中, 在實驗總次數(shù)的限制下如何保證環(huán)境自由度采樣的統(tǒng)計充分性, 以區(qū)分拓撲效應和無序引起的偶然效應, 也是一個關鍵難點. 這些問題的解決需要進一步發(fā)展量子控制與模擬的實驗技術.

綜上所述, LPDO不僅為混態(tài)拓撲相的研究提供了一種清晰、直觀且系統(tǒng)化的理論工具, 也為探索非理想環(huán)境下的拓撲量子結構開辟了全新思路. 研究結果表明, 豐富且獨特的拓撲量子現(xiàn)象依然能夠在開放系統(tǒng)中涌現(xiàn), 其中部分拓撲相作為本征結構, 在純態(tài)系統(tǒng)中并不存在. 展望未來, 隨著實驗平臺的不斷進步和量子控制精度的提升, 我們有望在真實物理體系中實現(xiàn)并操控這些混態(tài)拓撲物態(tài), 為拓撲量子計算、量子通信及量子材料設計注入新的活力.

參考文獻

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