對(duì)物理學(xué)有深遠(yuǎn)影響的楊-米爾斯理論為何未曾獲得諾貝爾獎(jiǎng)，以及它是否應(yīng)該獲得諾貝爾獎(jiǎng)，是許多人心頭的疑問(wèn)，學(xué)界也有各種觀點(diǎn)。本文作者曾在與諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)評(píng)委會(huì)主席馬茨·拉爾松會(huì)面時(shí)詢問(wèn)相關(guān)問(wèn)題，拉爾松給出了他的回答。（本文僅作觀點(diǎn)分享，不代表返樸觀點(diǎn)）

撰文 | 張明華（美國(guó)紐約州立大學(xué)杰出教授、中國(guó)科學(xué)院大氣物理研究所客座研究員）

人們?cè)谡務(wù)撐锢韺W(xué)家楊振寧先生的科學(xué)貢獻(xiàn)時(shí)，往往把目光聚焦于他在物理學(xué)上的卓越成就，而較少提及他對(duì)數(shù)學(xué)的重要影響。事實(shí)上，楊振寧的物理研究不僅改變了人類對(duì)自然規(guī)律的認(rèn)識(shí)，也深刻推動(dòng)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展。

筆者在楊振寧任職37年的美國(guó)紐約州立大學(xué)石溪分校（以下簡(jiǎn)稱石溪大學(xué)）從事大氣動(dòng)力學(xué)和數(shù)值模擬研究，與楊振寧有過(guò)工作往來(lái)。在此，筆者依據(jù)自己的所見所知，以及楊振寧在石溪大學(xué)留下的學(xué)術(shù)遺產(chǎn)，講述他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域濃墨重彩的貢獻(xiàn)。

此外，筆者代理石溪大學(xué)教務(wù)長(zhǎng)職務(wù)時(shí)，有幸接待瑞典皇家科學(xué)院院士、諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)評(píng)委會(huì)主席馬茨·拉爾松，與他就楊（振寧）-米爾斯理論為何未曾獲得諾貝爾獎(jiǎng)這常被提及的問(wèn)題作了深入交流。

楊振寧在石溪大學(xué)

物理學(xué)6座豐碑對(duì)數(shù)學(xué)的影響

17世紀(jì)以來(lái)物理學(xué)的發(fā)展，有6座劃時(shí)代的理論豐碑。

牛頓第二定律構(gòu)成了經(jīng)典力學(xué)的核心，使自然界的運(yùn)動(dòng)規(guī)律得以用數(shù)學(xué)形式描述——物體運(yùn)動(dòng)的改變（加速度）由其所受外力與質(zhì)量共同決定。這一定律至今仍是解釋和預(yù)測(cè)無(wú)數(shù)物理現(xiàn)象的基石，從自由落體、行星軌道到橋梁載荷、全球大氣環(huán)流，無(wú)不受其支配。該定律將“加速度”與“力”表述為三維空間中的矢量并把它們聯(lián)系起來(lái)，在數(shù)學(xué)上直接促成了微積分這一重要基礎(chǔ)領(lǐng)域的誕生，并奠定了向量分析的基礎(chǔ)。

愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論把時(shí)間與空間統(tǒng)一為時(shí)空。在這個(gè)四維時(shí)空中，質(zhì)量、能量和動(dòng)量決定時(shí)空的彎曲特征，而彎曲的時(shí)空又反過(guò)來(lái)決定物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)。物理定律在其中遵循廣義協(xié)變?cè)?，其?shù)學(xué)形式不隨參照系的改變而變化。廣義相對(duì)論成功地以時(shí)空幾何取代了牛頓的萬(wàn)有引力概念。該理論構(gòu)成了人們理解宇宙膨脹、黑洞等現(xiàn)象的理論基石。它在當(dāng)代科技中也發(fā)揮著關(guān)鍵作用，沒(méi)有它對(duì)牛頓力學(xué)的修正，深空航天飛行無(wú)法精確控制，全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)每天將累積高達(dá)十公里的誤差。此外，該理論對(duì)物理規(guī)律在四維彎曲空間中的描述，在數(shù)學(xué)上極大推動(dòng)了黎曼幾何和張量分析的發(fā)展。

楊（振寧）-米爾斯理論奠定了現(xiàn)代粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型的基礎(chǔ)。它提出了一個(gè)統(tǒng)一的規(guī)范理論，用以描述電磁相互作用、弱相互作用和強(qiáng)相互作用及其與基本粒子運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。電磁相互作用是化學(xué)鍵形成的根本原因，使原子得以結(jié)合為分子，也是我們所熟知電磁效應(yīng)的起因；弱相互作用主宰元素的放射性衰變與核反應(yīng)，是太陽(yáng)釋放能量的源泉；而強(qiáng)相互作用則使質(zhì)子與中子結(jié)合成原子核，其強(qiáng)大的作用力壓制了質(zhì)子間的電磁排斥。楊-米爾斯理論指出，電磁、弱和強(qiáng)相互作用都源于定域規(guī)范對(duì)稱性。其中對(duì)稱性決定了規(guī)范場(chǎng)的存在形式，而規(guī)范場(chǎng)的曲率則直接決定了相互作用的強(qiáng)度。

該理論成功描述了作為相互作用載體的玻色子，奠定了研究包括電子、中微子和夸克在內(nèi)的基本粒子及其相互作用的基石，并催生了多項(xiàng)重大實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)。對(duì)這些粒子的深入研究，又極大地推動(dòng)了超導(dǎo)磁體、真空技術(shù)和高能探測(cè)器等現(xiàn)代技術(shù)的發(fā)展。楊-米爾斯理論用微分幾何的語(yǔ)言刻畫對(duì)稱性，并通過(guò)抽象內(nèi)稟空間的幾何化投影把物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)與相互作用聯(lián)系起來(lái)，在數(shù)學(xué)上深刻推動(dòng)了微分流形、纖維叢與拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展。

楊振寧因其在楊-米爾斯理論、宇稱不守恒的工作以及物理學(xué)其他領(lǐng)域的重大貢獻(xiàn)，成為世界公認(rèn)的20世紀(jì)最杰出的物理學(xué)家之一。據(jù)美國(guó)《紐約時(shí)報(bào)》引述，著名物理學(xué)家弗里曼·戴森曾稱，20世紀(jì)物理學(xué)中在理論表達(dá)上最為卓越的前3位物理學(xué)家是愛(ài)因斯坦（相對(duì)論）、迪拉克（量子理論）與楊振寧（粒子物理）。

麥克斯韋電磁方程組和薛定諤方程構(gòu)成了經(jīng)典物理與量子領(lǐng)域中的兩座豐碑。麥克斯韋方程統(tǒng)一了電與磁，描述了電場(chǎng)和磁場(chǎng)如何相互激發(fā)并以波的形式傳播，由此預(yù)言了電磁波的存在，并將光學(xué)與電磁學(xué)融為一體。這一理論直接提供了從無(wú)線電、雷達(dá)、Wi-Fi到核磁共振與隱形飛機(jī)設(shè)計(jì)等現(xiàn)代技術(shù)的理論基礎(chǔ)。薛定諤方程則精確刻畫了電子、原子和分子的量子行為、能量分布及其與物質(zhì)輻射的關(guān)系。量子力學(xué)的成果已深度滲透至日常生活和現(xiàn)代技術(shù)——從半導(dǎo)體芯片、激光掃描、電視和手機(jī)屏幕的發(fā)光原理，到光刻機(jī)與新藥研制。這兩個(gè)里程碑在數(shù)學(xué)上極大拓展了偏微分方程與算子理論的應(yīng)用。

以玻爾茲曼熵公式為代表的另一座里程碑——統(tǒng)計(jì)力學(xué)理論，則揭示了能量、熵與概率之間的深層聯(lián)系。它從原子與分子的微觀運(yùn)動(dòng)出發(fā)，把隨機(jī)的微觀行為與確定的宏觀規(guī)律聯(lián)系起來(lái)。在這一框架下，熱力學(xué)第一與第二定律都成為微觀動(dòng)力學(xué)在統(tǒng)計(jì)上的必然結(jié)果。這一理論成功解釋并預(yù)測(cè)了氣體、液體和固體的宏觀特性與相變行為，奠定了發(fā)動(dòng)機(jī)、制冷技術(shù)、新材料和信息科學(xué)等領(lǐng)域的理論基礎(chǔ)。它也在數(shù)學(xué)上為概率論和遍歷性理論的應(yīng)用開辟了廣闊空間。

在以上的討論中，筆者不以時(shí)間為序，而依據(jù)這些理論對(duì)數(shù)學(xué)的塑造和影響方式，來(lái)梳理6座物理學(xué)豐碑。前面3座——牛頓力學(xué)、廣義相對(duì)論、楊-米爾斯理論都是基于好奇心和洞察力推演而生，先有理論，再經(jīng)試驗(yàn)或觀測(cè)驗(yàn)證；后3座——麥克斯韋方程、薛定諤方程、統(tǒng)計(jì)力學(xué)則源自大量實(shí)驗(yàn)與觀測(cè)，后經(jīng)理論升華而得。前3座由推演而生的理論，都深刻影響了數(shù)學(xué)的發(fā)展，催生了新的數(shù)學(xué)分支。

值得一提的是，美國(guó)克雷數(shù)學(xué)研究所提出的“千禧年七大數(shù)學(xué)難題”中包括流體力學(xué)中的納維-斯托克斯方程和粒子物理中的楊-米爾斯方程。若有人能夠解答其中的任何一道題，即可獲得100萬(wàn)美元獎(jiǎng)金。這也折射出物理學(xué)的里程碑與數(shù)學(xué)發(fā)展的密切關(guān)系，亦成為楊振寧在數(shù)學(xué)界留下的眾多印記之一。

為什么沒(méi)有二次得諾貝爾獎(jiǎng)

一個(gè)常被提及的疑惑是，既然楊-米爾斯理論在物理學(xué)中的地位如此顯赫，為何這一理論本身未曾獲得諾貝爾獎(jiǎng)？ 2019年11月，瑞典皇家科學(xué)院院士、諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)評(píng)委會(huì)主席馬茨·拉爾松訪問(wèn)石溪大學(xué)。當(dāng)時(shí)筆者代理學(xué)校教務(wù)長(zhǎng)職務(wù)，負(fù)責(zé)全校學(xué)術(shù)事務(wù)，接待他的訪問(wèn)時(shí)，我們談及了這個(gè)問(wèn)題。

拉爾松提到，評(píng)審委員會(huì)長(zhǎng)期面臨一個(gè)源自諾貝爾遺囑的界定問(wèn)題——諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)旨在獎(jiǎng)勵(lì)物理學(xué)領(lǐng)域“最重要的發(fā)現(xiàn)或發(fā)明”，從瑞典語(yǔ)翻譯成英文是“The person who shall have made the most important discovery or invention in the field of physics”。對(duì)于像愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論和楊-米爾斯理論這類“建立”性貢獻(xiàn)，盡管其影響深遠(yuǎn)，但委員會(huì)內(nèi)部對(duì)于是否將其納入“發(fā)現(xiàn)或發(fā)明”存有分歧?；蛟S這也解釋了為何他們二人所獲的諾貝爾獎(jiǎng)均非因其核心理論——愛(ài)因斯坦因成功解釋了光電效應(yīng)獲獎(jiǎng)，而楊振寧則與李政道一起因宇稱不守恒工作而獲獎(jiǎng)。

雖然楊-米爾斯規(guī)范場(chǎng)理論未能得諾獎(jiǎng)，然而在其理論基礎(chǔ)上通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證作出貢獻(xiàn)的科學(xué)家們，卻相繼榮獲諾貝爾獎(jiǎng)。事實(shí)上，與愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論一樣，楊振寧的楊-米爾斯理論的重要性超越了他得諾獎(jiǎng)的成果。

這也提醒我們，科學(xué)的真正價(jià)值不在于獎(jiǎng)項(xiàng)，而在于它改變?nèi)祟悓?duì)世界的認(rèn)識(shí)。

楊振寧與石溪大學(xué)數(shù)學(xué)系的淵源

石溪大學(xué)是楊振寧最重要的學(xué)術(shù)家園之一。他在這里不僅創(chuàng)立和領(lǐng)導(dǎo)了理論物理研究所，為物理系的研究奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，也深刻影響了數(shù)學(xué)系的學(xué)術(shù)方向和地位。

過(guò)去半個(gè)世紀(jì)以來(lái)，石溪大學(xué)數(shù)學(xué)系會(huì)集了一批頂尖數(shù)學(xué)家，包括菲爾茲獎(jiǎng)得主約翰·米爾諾和西門·唐納森，以及多位阿貝爾獎(jiǎng)、沃爾夫獎(jiǎng)得主和美國(guó)科學(xué)院院士。許多人的研究，皆受惠于由楊-米爾斯理論所引領(lǐng)的現(xiàn)代幾何與拓?fù)鋵W(xué)，可以說(shuō)是學(xué)脈承續(xù)，皆蒙其澤。楊振寧的物理學(xué)理論在石溪大學(xué)數(shù)學(xué)系生根發(fā)芽，成為推動(dòng)數(shù)學(xué)與物理交融的重要源泉。

譬如唐納森因其在四維流形上對(duì)楊-米爾斯聯(lián)絡(luò)的研究而獲菲爾茲獎(jiǎng)，并由此開啟了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的“唐納森理論”。杰出教授布萊恩·勞森與合作者揭示了楊-米爾斯場(chǎng)的穩(wěn)定性與孤立現(xiàn)象，其在幾何領(lǐng)域的開創(chuàng)性貢獻(xiàn)獲得美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)的勒羅伊·斯蒂爾獎(jiǎng)。杰出教授陳秀雄及其合作者借鑒了楊-米爾斯型橢圓系統(tǒng)的思想，證明了凡諾型復(fù)代數(shù)流形在何種條件下都存在凱勒-愛(ài)因斯坦度量，并由此獲得美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)的奧斯瓦爾德·維布倫幾何獎(jiǎng)。

上世紀(jì)70年代，著名數(shù)學(xué)家陳省身攜青年學(xué)者丘成桐訪問(wèn)石溪大學(xué)，在那里與楊振寧相逢。丘成桐先生后來(lái)回憶，那次訪問(wèn)使他第一次真切體會(huì)到物理與幾何之間的深刻聯(lián)系，這一思想啟發(fā)了他此后在規(guī)范場(chǎng)、微分幾何域的研究。他最終成為首位獲得菲爾茲獎(jiǎng)的華人數(shù)學(xué)家。

楊振寧在統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的一項(xiàng)重要貢獻(xiàn)是楊-巴克斯特方程。它也對(duì)石溪大學(xué)數(shù)學(xué)系乃至整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響，成為該校在可積系統(tǒng)、量子群、低維拓?fù)涞妊芯糠较虻年P(guān)鍵思想源泉。

值得一提的是，已有3位數(shù)學(xué)家因與楊-巴克斯特方程密切相關(guān)的工作而榮獲菲爾茲獎(jiǎng)。其中之一是美國(guó)加州大學(xué)伯克利分校教授沃恩·瓊斯，他利用源于楊-巴克斯特方程的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出瓊斯多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式是數(shù)學(xué)中的紐結(jié)不變量，可用于區(qū)分不同的紐結(jié)。第二位是美國(guó)普林斯頓高等研究院教授愛(ài)德華·威滕，他揭示了楊-巴克斯特方程與數(shù)學(xué)中的辮群操作、紐結(jié)及鏈環(huán)不變量的內(nèi)在關(guān)系。另一位是曾在俄羅斯科學(xué)院斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所工作的弗拉基米爾·德林費(fèi)爾德，他創(chuàng)立了量子群理論，其核心結(jié)構(gòu)中的R-矩陣正是楊-巴克斯特方程的解。

這里還有一個(gè)題外軼事，這個(gè)斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所還走出了一位傳奇數(shù)學(xué)家——格里戈里·佩雷爾曼。他曾是石溪大學(xué)數(shù)學(xué)系的訪問(wèn)學(xué)者，成功解出了“千禧年七大數(shù)學(xué)難題”中迄今唯一被證明的難題——龐加萊猜想。為此，國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)盟授予他菲爾茲獎(jiǎng)，美國(guó)克雷數(shù)學(xué)研究所也向他頒發(fā)100萬(wàn)美元獎(jiǎng)金，但這些均被他拒絕了。

在證明龐加萊猜想的論文中，佩雷爾曼提到部分研究是依靠在石溪大學(xué)、柯朗數(shù)學(xué)研究所及加州大學(xué)伯克利分校訪問(wèn)期間積攢的個(gè)人儲(chǔ)蓄完成的。他的3篇文章都留下了兩個(gè)聯(lián)系郵箱：一個(gè)屬于斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所，另一個(gè)屬于石溪大學(xué)數(shù)學(xué)系。然而獲獎(jiǎng)之后，他切斷了與這兩個(gè)單位的聯(lián)系，并徹底離開了數(shù)學(xué)界，遠(yuǎn)離名譽(yù)和公眾視野。據(jù)知情人說(shuō)，他在俄羅斯圣彼得堡過(guò)著極其低調(diào)、近乎隱居的生活，成為托爾斯泰式的人物，獲得精神上的純粹自由。

在與楊振寧有著深厚學(xué)術(shù)淵源的同事中，石溪大學(xué)前數(shù)學(xué)系主任、美國(guó)科學(xué)院院士詹姆斯·西蒙斯尤為值得一提。他的研究集中在與楊-米爾斯理論緊密關(guān)聯(lián)的拓?fù)鋵W(xué)前沿。他證明了高維球面上楊-米爾斯場(chǎng)的穩(wěn)定性與時(shí)空幾何特征的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，該結(jié)論為理解量子理論中的隧道效應(yīng)與非微擾效應(yīng)提供了數(shù)學(xué)思路。他在1982年創(chuàng)辦了文藝復(fù)興科技公司，開創(chuàng)了用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行量化投資的先河，其卓越成就令國(guó)際金融界折服。譬如，深度求索（DeepSeek）創(chuàng)始人梁文鋒曾在文章中提到，西蒙斯的思想一直是他克服困難、堅(jiān)持探索的動(dòng)力。西蒙斯憑借投資所得支持?jǐn)?shù)學(xué)和物理研究。他在石溪大學(xué)建立的西蒙斯幾何和物理中心就是該校數(shù)學(xué)與物理交融的一個(gè)例子。

楊振寧（左）與西蒙斯。石溪大學(xué)供圖

在楊振寧的引薦下，西蒙斯支持中國(guó)科學(xué)界：他資助清華大學(xué)建立了陳賽蒙斯樓，推動(dòng)該校的數(shù)學(xué)和理論物理研究；同時(shí)在北京大學(xué)北京國(guó)際數(shù)學(xué)研究中心設(shè)立了“西蒙斯博士后”獎(jiǎng)，助力青年數(shù)學(xué)家的成長(zhǎng)。據(jù)陳省身先生的學(xué)生回憶，陳先生晚年曾風(fēng)趣地說(shuō)：“希望自己能多活幾年，好向西蒙斯多要些錢——用來(lái)支持?jǐn)?shù)學(xué)教育與研究?！?/p>

當(dāng)然，楊振寧也得益于與數(shù)學(xué)系的合作。譬如西蒙斯就曾為他和物理系的同事講授過(guò)聯(lián)絡(luò)與曲率的幾何解釋、纖維叢與主叢和陳-韋爾理論等思想。楊振寧為此代表物理系贈(zèng)送給西蒙斯一本英語(yǔ)詞典，笑稱他單詞拼寫不好，引得聽眾莞爾。

楊振寧與石溪大學(xué)數(shù)學(xué)系淵源的這些點(diǎn)滴，共同構(gòu)成了一個(gè)側(cè)影，映照出其理論如何超越物理，如源頭活水般滋潤(rùn)著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究與人才傳承。

楊振寧的工作以數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)深化對(duì)物理的認(rèn)識(shí)，又以物理的邏輯推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。他所追求的“科學(xué)之美”，是邏輯與形式的和諧統(tǒng)一。這種對(duì)美的執(zhí)著貫穿了他一生的研究與思考。

為表彰其對(duì)學(xué)術(shù)和教育的卓越貢獻(xiàn)，石溪大學(xué)在他退休之際，將理論物理研究所命名為楊振寧理論物理研究所，以紀(jì)念他為該研究所的發(fā)展所奠定的根基。在退休慶祝會(huì)上，談及感受時(shí)，他先引用了唐代詩(shī)人李商隱的“夕陽(yáng)無(wú)限好，只是近黃昏”，隨即展示了自己更認(rèn)同的朱自清詩(shī)句：“但得夕陽(yáng)無(wú)限好，何須惆悵近黃昏?！?他引用的詩(shī)意與他的方程一樣，簡(jiǎn)潔而深邃，既照亮人心，也照亮世界。

楊振寧先生的貢獻(xiàn)，既在學(xué)術(shù)，也在胸懷。正如香港中文大學(xué)中國(guó)文化研究所原所長(zhǎng)陳方正所言：“物理學(xué)的巨大成就僅僅是楊先生的一半，另外一半是他的中國(guó)情懷。”筆者有幸與楊先生結(jié)識(shí)，深切感受到他那份根植于心的家國(guó)情懷，并見證他將此情懷化為篤實(shí)而真摯的踐履。其學(xué)與行，實(shí)堪我輩楷模，足為后世仰止。

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