“我經(jīng)常舉的一個(gè)例子是，我對(duì)一個(gè)矩陣的‘行秩’和‘列秩’為什么會(huì)相等的好奇。其實(shí)在任何基本的線性代數(shù)書里，我們都可以找到它們?yōu)槭裁聪嗟鹊淖C明。但是從那些邏輯推理的外表，我實(shí)在看不出它們?yōu)槭裁磿?huì)巧合地相等。在我真正了解到它們?yōu)槭裁磿?huì)一樣的過(guò)程中，這個(gè)好奇卻幫我了解了許多廣義逆矩陣的幾何意義?！?/p>

——李天巖《回首來(lái)時(shí)路》

撰文 | 朱慧堅(jiān)（廣州南方學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授）、丁玖（南密西西比大學(xué)數(shù)學(xué)系退休教授）

在理工科基礎(chǔ)課《高等代數(shù)》或《線性代數(shù)》中，“矩陣”或許是出現(xiàn)頻率最高的數(shù)學(xué)詞匯，其重要性不亞于《數(shù)學(xué)分析》或《高等數(shù)學(xué)》中的“函數(shù)”。對(duì)于電子工程或計(jì)算機(jī)科學(xué)等應(yīng)用學(xué)科的學(xué)生們而言，矩陣在《線性代數(shù)》中的一項(xiàng)基本用途是求解線性方程組，因?yàn)榫€性方程組的所有系數(shù)若不變動(dòng)位置，可以自然地排成一個(gè)有幾行幾列的數(shù)組，即矩陣的形式，然后利用課本中定義的一系列矩陣運(yùn)算和性質(zhì)，同學(xué)們便掌握了求解方程組的有力工具。然而在面向數(shù)學(xué)專業(yè)的《高等代數(shù)》課程中，矩陣不僅延續(xù)了求解線性方程組的傳統(tǒng)功能，還挺身而出，擔(dān)當(dāng)了連接抽象概念和具體模型的橋梁重任，用更專業(yè)一點(diǎn)的話來(lái)說(shuō)就是：任何兩個(gè)有限維向量空間之間的線性映射，只要在定義域向量空間和值域所屬的向量空間中各自選取了一個(gè)基底，那么這個(gè)線性映射就有一個(gè)唯一確定的、看得見摸得著的“矩陣表示”，這時(shí)“矩陣有大用”的威力就充分顯現(xiàn)了。

“打倒行列式！”

筆者分別在中美兩國(guó)的大學(xué)多次講授《線性代數(shù)》，所用的都是暢銷教材。在中國(guó)使用的教材是工程名校同濟(jì)大學(xué)編寫的《工程數(shù)學(xué)·線性代數(shù)》，第一版四十四年前問(wèn)世，第七版三年前推出；在美國(guó)則教過(guò)一淺一深的兩門課：《線性代數(shù)I》和《線性代數(shù)II》。前者本質(zhì)上只講矩陣的初等理論，與上述同濟(jì)大學(xué)教材的覆蓋面相仿；后者主要學(xué)習(xí)有限維向量空間之間的線性映射理論，這時(shí)矩陣大致起到“助手”或“工具”的次要作用。

矩陣的歷史源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。早在近兩千年前的中國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中，它便已初現(xiàn)端倪，并被三國(guó)時(shí)期的偉大數(shù)學(xué)家劉徽（約225年-約295年）所應(yīng)用。1850年，英國(guó)大數(shù)學(xué)家西爾維斯特（James Joseph Sylvester，1814-1897）正式將其命名為matrix；隨后，比他小七歲的律師兼數(shù)學(xué)家凱萊（Arthur Cayley，1821-1895）率先引入了矩陣的代數(shù)運(yùn)算。一百五十年來(lái)，矩陣一直被代數(shù)學(xué)家和工程技術(shù)家們“玩”個(gè)不停，其卓著功勛，不在話下。

因?yàn)榫€性代數(shù)入門教程主要討論作為具體代數(shù)運(yùn)算對(duì)象的矩陣，中美兩國(guó)的傳統(tǒng)教科書一般都沿著數(shù)學(xué)史發(fā)展的足跡，在正式開講矩陣前，第一章先講行列式。然后以它為主要工具，一章又一章、一節(jié)又一節(jié)地推演出矩陣幾乎數(shù)不清的種種性質(zhì)，比如具有非奇異系數(shù)矩陣的線性方程組的著名解公式；它完全依賴于行列式的計(jì)算，名為克萊姆法則。還有，可逆矩陣的逆矩陣有個(gè)看上去美麗簡(jiǎn)潔的逆矩陣公式，其每個(gè)元素的計(jì)算都少不了行列式幫大忙；可惜這個(gè)忙幫得太花時(shí)間，以至于后世強(qiáng)調(diào)高效實(shí)用的計(jì)算數(shù)學(xué)家和工程師早就把這個(gè)“中看不中用”的求逆公式棄之不理了。

多年的教學(xué)實(shí)踐提醒我們，盡管行列式理論曾在歷史上為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的不斷進(jìn)步立下過(guò)汗馬功勞，但如今它對(duì)線性代數(shù)的影響力已日漸式微。其繁瑣的計(jì)算公式，無(wú)論是基于排列的和式定義，還是拉普拉斯展開，都難以討得學(xué)生歡心，有時(shí)甚至?xí)鹚麄兊目謶趾头锤小绕涫窃谛枰?jiǎn)一個(gè)頗為復(fù)雜的行列式時(shí)。所以，在線性代數(shù)的數(shù)學(xué)教育中出現(xiàn)了一種質(zhì)疑的聲音：行列式是否仍有講授的必要？

恰好三十年前，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿克斯拉（Sheldon Axler，1949-）教授在讀者如云的數(shù)學(xué)期刊《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》（第102卷）上，發(fā)表了題為Down with Determinants!（《打倒行列式!》）的文章。文章摘要的第一句開宗明義：

“本文展示了在沒(méi)有行列式的情況下，如何更好地構(gòu)建線性代數(shù)。”

第二年，《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》的東家——美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)將1996年度的“萊斯特·R·福特闡述寫作獎(jiǎng)”頒給了阿克斯拉，表彰他這篇影響深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)檄文。筆者之一在密歇根州立大學(xué)數(shù)學(xué)系攻讀博士學(xué)位時(shí)，修過(guò)阿克斯拉教授一學(xué)年的《高等泛函分析》研究生課程，為他的教學(xué)藝術(shù)所傾倒，當(dāng)年提名他評(píng)選教學(xué)獎(jiǎng)，他也當(dāng)之無(wú)愧地將其收進(jìn)囊中；須知他1975年從加州大學(xué)伯克利分校博士畢業(yè)后，去麻省理工學(xué)院擔(dān)任兩年摩爾講師（極富榮譽(yù)的一種博士后位置）期間，就獲得過(guò)校級(jí)教學(xué)獎(jiǎng)。

在“討伐”行列式的同一年年底，阿克斯拉教授出版了教科書《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)》（Linear Algebra Done Right），其寫作風(fēng)格繼承了他的師祖、美國(guó)數(shù)學(xué)寫作與演講高手哈爾莫斯（Paul Halmos，1916-2006）的名著《有限維向量空間》（Finite-Dimensional Vector Spaces），即用基于集合論的函數(shù)語(yǔ)言撰寫代數(shù)課本。正如阿克斯拉教授在前述文章中所宣稱的，他沒(méi)有拿起行列式這把榔頭來(lái)捶打出線性代數(shù)的各種零件，不過(guò)還是給予行列式足夠的禮遇——將它放進(jìn)了全書十章的最后，與矩陣跡共享一章，畢竟它是矩陣之子（西爾維斯特給矩陣所取的英文名字matrix來(lái)自拉丁語(yǔ)matrix，原意為“子宮”，隱喻行列式為矩陣所生）。

阿克斯拉教授精心寫作的這部教材在美國(guó)高校極受歡迎。2009年，人民郵電出版社翻譯出版了該書，此后一直跟隨英文新版更新譯本，目前已出版至第四版。積極從事數(shù)學(xué)普及的西北農(nóng)林科技大學(xué)林開亮博士，還在《數(shù)學(xué)文化》雜志上發(fā)表了熱情洋溢的書評(píng)。

《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)》的譯者在序中寫道：“描述線性算子的結(jié)構(gòu)是線性代數(shù)的中心任務(wù)之一，傳統(tǒng)的方法多以行列式為工具。作者認(rèn)為行列式既難懂又不直觀，還缺少動(dòng)機(jī)，并且導(dǎo)致思路曲折，從而掩蓋了線性代數(shù)的本質(zhì)。因此，本書完全拋開行列式，采用更直接的方法闡述了線性算子的基本理論，作者認(rèn)為這種方法可使學(xué)生更加直觀、深刻地理解線性算子的結(jié)構(gòu)，線性代數(shù)就應(yīng)該這樣教與學(xué)?！?/p>

這本書起點(diǎn)較低，不需要太多預(yù)備知識(shí)，而特色鮮明，是公認(rèn)的闡述線性代數(shù)的經(jīng)典佳作。原書自出版以來(lái)，迅速風(fēng)靡世界，其中包括斯坦福大學(xué)和加州大學(xué)伯克利分校等著名學(xué)府。根據(jù)阿克斯拉教授不斷更新的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，到目前為止全球共有超過(guò)四百二十所大學(xué)和學(xué)院采用這本書作為教材。筆者之一任教的大學(xué)數(shù)學(xué)系也慧眼識(shí)珠，及時(shí)用它替換了舊教材。當(dāng)筆者再次講授這門課時(shí)，書中清晰易懂的語(yǔ)言表述與滴水不漏的邏輯推理，令筆者馬上想起八十年代末那個(gè)學(xué)年，自己坐在教室里，看阿克斯拉教授演繹泛函分析之美的生動(dòng)場(chǎng)景。到了2020年，阿克斯拉教授出版新書Measure, Integration & Real Analysis（《測(cè)度、積分和實(shí)分析》），并告訴筆者他一如既往地將電子版免費(fèi)上線。筆者毫不猶豫地選擇了這本書來(lái)講授《實(shí)分析》課程，再一次滿懷喜悅地品味了他的寫作風(fēng)格。

重新定義“秩”的基石

與矩陣形影不離的一個(gè)數(shù)學(xué)概念是“矩陣的秩”，它在線性代數(shù)中的地位，堪比微積分中的“導(dǎo)數(shù)”。在通常的教科書中，由于行列式最早登臺(tái)亮相，自然它必須身兼數(shù)職，不僅要服務(wù)好之后登場(chǎng)的逆矩陣計(jì)算，也要充當(dāng)矩陣秩的“解說(shuō)員”。它向?qū)W生們這樣介紹矩陣秩的概念：矩陣的秩是其非零子式的最大階數(shù)。這句簡(jiǎn)潔的定義更通俗地說(shuō)就是：從矩陣中任取k行k列元素而不改變相對(duì)位置，組成一個(gè)k階方陣，其對(duì)應(yīng)的行列式稱為原矩陣的k階子式。如果所給的矩陣有一個(gè)k階子式不等于0，但所有更高階的子式都等于0，那么我們就說(shuō)這個(gè)矩陣的秩為k。

看來(lái)，按照這個(gè)定義，要找到一個(gè)矩陣的秩，我們必須耐心地計(jì)算不同階數(shù)的子式，直到算出一個(gè)子式不為0，但又要確保更高階數(shù)的子式統(tǒng)統(tǒng)等于0，才算大功告成。對(duì)學(xué)生而言，即便將這個(gè)定義背得滾瓜爛熟，也很難理解“秩”的意義到底是什么，可能知其然而不知其所以然。為了做習(xí)題應(yīng)付考試，只好硬著頭皮死算一通，以期熟能生巧。

現(xiàn)在，讓我們暫時(shí)忘掉行列式，或者干脆假設(shè)它只是小說(shuō)家杜撰出的一個(gè)莫名其妙的概念，以此來(lái)重新定義矩陣的秩。當(dāng)然到了最后，為了讓讀者信服新定義其實(shí)與基于行列式計(jì)算的舊定義殊途同歸，我們將再請(qǐng)行列式“復(fù)活回歸”，舉杯共賀對(duì)“秩”的新解釋。

在進(jìn)入下面的數(shù)學(xué)討論之前，我們先做兩點(diǎn)說(shuō)明。首先，為了與筆者此前文章保持一致，本文將繼續(xù)采用泛函分析中的通用術(shù)語(yǔ)“線性算子”（linear operator），而不用常見的“線性映射”（linear map，如前述阿克斯拉教授的著作）或“線性變換”（linear transformation，見多數(shù)線性代數(shù)教科書）。其次，和以前一樣，我們只在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)談?wù)摼仃?，?dāng)然文中的結(jié)果對(duì)復(fù)矩陣甚至一般數(shù)域上的矩陣也成立。照常，符號(hào)R代表實(shí)數(shù)集。

既然矩陣是上下左右排列整齊、有幾行幾列的一組數(shù)，它免不了要和只有一行的數(shù)組（稱為行向量）和只有一列的數(shù)組（稱為列向量）發(fā)生聯(lián)系。某個(gè)向量中的分量個(gè)數(shù)如果是n，

線性相關(guān)與基底

有了上面的預(yù)備知識(shí)，我們現(xiàn)在著手建立矩陣秩的概念。不過(guò)在此之前，必須先掌握線性代數(shù)中另一個(gè)關(guān)鍵概念。先看一個(gè)示例，給出三個(gè)向量

x=(1, 2, 3), y=(1, 1, 1), z=(0, 1, 2).

通過(guò)簡(jiǎn)單的觀察可以發(fā)現(xiàn)，x減去y恰好就是z，即z = x – y。等式的左端只有一個(gè)單獨(dú)的向量，而右端是另外兩個(gè)向量的某種組合。因?yàn)檫@種組合是將一個(gè)向量組中的向量乘以常數(shù)系數(shù)（本例中是1和-1）再求和的結(jié)果，所以我們說(shuō)這是一個(gè)線性組合，即向量z是向量x和y的線性組合?，F(xiàn)在，我們將這個(gè)線性組合的關(guān)系式z = x - y改寫成一邊只剩零向量的形式：

1x+(-1)y+(-1)z=0,

注意到三個(gè)向量x,y,z前面的系數(shù)不全為0（事實(shí)上就此例而言，它們都不為0）。這時(shí)我們說(shuō)給定的向量x,y,z線性相關(guān)。

接下來(lái)，我們考察這三個(gè)向量中的前兩個(gè)x和y，看一看它們是否也線性相關(guān)——是否存在兩個(gè)不全為0的數(shù)α和β，滿足等式αx +βy = 0。將x和y的分量代入，簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算給出下面關(guān)于未知數(shù)α和β的一個(gè)線性方程組：

α+β=0, 2α+β=0, 3α+β=0.

它只有平凡解，即零解α = 0, β = 0。這說(shuō)明，使得線性組合αx +βy等于零向量的系數(shù)α和β只能全為0。換言之，兩向量x和y不像上面的x,y,z那樣是線性相關(guān)的。這個(gè)時(shí)候我們說(shuō)向量x和y是線性無(wú)關(guān)或線性獨(dú)立的。

讀懂了上面的例子，下面關(guān)于線性相關(guān)或線性無(wú)關(guān)的定義就不難理解了。由于涉及多個(gè)向量，我們不再使用x,y,z，而是改用帶下標(biāo)的字母v表示向量，這里的v是英文單詞vector

可由有限個(gè)向量張成，則說(shuō)它是有限維的，否則稱為無(wú)限維的（例如，所有多項(xiàng)式組成的向量空間就是無(wú)限維的）。線性代數(shù)研究有限維向量空間，而把無(wú)限維向量空間留給泛函分析去探討。

從上兩段中的定義，易得下面五個(gè)有用的簡(jiǎn)單事實(shí)：

（1）若一組向量包含零向量，則它們必定線性相關(guān)；

（2）若一組向量線性無(wú)關(guān)，則去掉其中任意一個(gè)向量，所剩向量也線性無(wú)關(guān)；

（3）若一組向量線性相關(guān)，則加進(jìn)任意一個(gè)向量后也線性相關(guān)；

（4）若一個(gè)向量是其他幾個(gè)向量的線性組合，則所有這些向量線性相關(guān)；

（5）在一個(gè)向量空間的張成集中，如果某個(gè)向量是集內(nèi)其他向量的線性組合，那么該張成集去掉此向量后，剩余向量依然張成同一個(gè)向量空間。

底，那么l = k。這個(gè)結(jié)論當(dāng)然正確，下面對(duì)此作出證明。

我們只需論證k≤l就夠了，因?yàn)榛Q這兩個(gè)基底便推出l≤k，從而得證l = k。事實(shí)上，我們可以證明更一般的命題：

好證明的讀者可以將它們一一證出：

（6）k維向量空間M中的k個(gè)線性無(wú)關(guān)向量構(gòu)成M的一個(gè)基底。

（7）k維向量空間M中，由k個(gè)向量組成的M的張成集是M的一個(gè)基底。

為什么矩陣的行秩等于列秩？

如上的討論順便回答了文章標(biāo)題提出的問(wèn)題：

定理. 矩陣的行秩等于列秩。

定義. 矩陣的行秩或列秩稱為矩陣的秩。

通過(guò)行列式學(xué)過(guò)矩陣秩的讀者自然會(huì)問(wèn)最后一個(gè)問(wèn)題：你們定義的秩等于我們的教科書中定義的秩嗎？回答是，是的，它們是同一個(gè)整數(shù)。但在這里，我們不打算細(xì)致討論行列式與矩陣秩的關(guān)系，因?yàn)檫@些關(guān)系相當(dāng)?shù)胤爆?，這里就不贅述了。但是，只要考慮可逆矩陣A這一特殊但并不太失一般性的情形，還是能洞察到用“最大非零子式階數(shù)”和用“線性無(wú)關(guān)張成集向量個(gè)數(shù)”這兩種方法定義矩陣秩的等價(jià)性。

推出detA≠0。因?yàn)閐etA是A的最大階數(shù)的非零子式，根據(jù)同濟(jì)大學(xué)《線性代數(shù)》中的定義，A的秩等于n。

尾聲

筆者寫作此文的一個(gè)動(dòng)機(jī)，來(lái)自李天巖教授在《回首來(lái)時(shí)路》（原載臺(tái)灣《數(shù)學(xué)傳播》雜志，2011年轉(zhuǎn)載于《數(shù)學(xué)文化》雜志）中的一段話：

“我經(jīng)常舉的一個(gè)例子是，我對(duì)一個(gè)矩陣的‘行秩’和‘列秩’為什么會(huì)相等的好奇。其實(shí)在任何基本的線性代數(shù)書里，我們都可以找到它們?yōu)槭裁聪嗟鹊淖C明。但是從那些邏輯推理的外表，我實(shí)在看不出它們?yōu)槭裁磿?huì)巧合地相等。在我真正了解到它們?yōu)槭裁磿?huì)一樣的過(guò)程中，這個(gè)好奇卻幫我了解了許多廣義逆矩陣的幾何意義。”

今年是筆者之一的博士論文導(dǎo)師李天巖教授逝世五周年及八十周年誕辰。我們撰寫這篇科普文章，不僅試圖以廣義逆算子的思想解釋為何“行秩等于列秩”，也是為了紀(jì)念他追求數(shù)學(xué)思想、授業(yè)解惑帶徒的燦爛一生。

完稿于2025年10月27日星期一

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