|作者：雷宇昇　倪冉?

(南洋理工大學化學化工與生物技術學院）

本文選自《物理》2025年第11期

摘要無序超均勻結構是一類獨特的物質狀態(tài)，整體表現為無序，但其在大尺度上的密度漲落卻像晶體或準晶一樣受到顯著抑制，同時又不具備任何長程取向有序。近年來，這種獨特的結構在多個自然體系中被廣泛發(fā)現。隨著研究的深入，科學家們逐漸認識到，超均勻性不僅與非平衡統(tǒng)計物理中的諸多關鍵性質密切相關，還可以通過合理設計在人造非平衡體系中實現。由于同時兼具無序性與大尺度有序性的特點，超均勻結構在材料科學、光學等領域展現出廣泛的潛在應用前景，推動其成為一個新興的跨學科研究熱點。文章將回顧該領域近年來的重要進展，重點介紹幾類典型非平衡體系中出現的動態(tài)超均勻結構，包括吸收態(tài)相變臨界點附近的臨界超均勻性、非平衡流體中的超均勻態(tài)，以及活性物質和生物系統(tǒng)中形成的超均勻結構等。

關鍵詞超均勻，非平衡流體，活性物質

01

引 言

眾所周知，物質可根據其結構特點被分為不同的物態(tài)，比如根據物質中粒子排布的有序程度可將物質分為有序態(tài)和無序態(tài)。其中，有序態(tài)包括晶體、準晶等，其粒子排布具有一定的規(guī)則性，如具有某種空間上的對稱性破缺。而無序態(tài)的范圍則更為廣泛，包括常見的氣態(tài)、液態(tài)、等離子態(tài)等物態(tài)，其粒子排布不具有規(guī)則性，而是展現出較強的隨機性。如圖1(a)，(b)所示，相比于有序態(tài)在空間中的均勻整齊，無序態(tài)往往在空間中排布疏密不均[1]。

我們都知道，自然界中很少有真正的“非黑即白”，看起來水火不容的事物，在漫長的演化中即使有也常常會被自然巧妙地調和。這就引出一個有趣的問題：能不能存在這樣一種物態(tài)或結構，既保持有序體系般在整體上的高度均勻，又允許存在無序體系那樣在局部上的隨機性？換句話說，無序體系能不能做到像有序體系一樣“排得很勻”？自然界給出的答案是：能。

一個直觀的例子是某些干旱地區(qū)的植物分布[2]。為了在貧瘠的環(huán)境中更高效地利用水分和養(yǎng)分，植物往往會“主動拉開距離”：相鄰植株的間距大致相同，從而避免過度競爭；但由于種子自發(fā)傳播和著生位置本身帶有隨機性，每棵植物又不會像人工栽種那樣嚴格落在規(guī)則格點上。這樣一來，就形成了既均勻又不死板的空間格局，整體上看提高了植物的存活機會。類似的例子還有很多，比如為了更靈敏地感光而演化出的鳥類（如雞）視網膜上幾乎均勻、卻又不規(guī)則的感光細胞排布；又比如為了更高效輸運而形成的植物葉片中的葉脈網絡。這些結構有一個共同特點：大尺度上非常均勻，小尺度上仍然保留隨機性。這種夾在有序結構和完全隨機結構之間特殊多體組織方式，就是本文要討論的超均勻性——既不像晶體那樣一板一眼，又不像完全無序那樣雜亂無章。

圖1 (a)無序態(tài)(泊松點分布)、(b)有序態(tài)(周期性晶格結構)與(c)超均勻態(tài)。圖中

代表計算粒子數漲落采樣過程中選取的采樣窗口，其空間 尺度為

R

，采樣窗口位置為

X

2003年，Torquato和Stillinger提出了一個新概念——無序超均勻結構(disordered hyperuniformity)[3，4]，如圖1(c)所示[1]。該物態(tài)是一種介于完全有序與完全無序之間的奇特無定形狀態(tài)，具有雙重特性：一方面如晶體般在大尺度上密度漲落是被強烈抑制的，另一方面又像液體或氣體那樣在統(tǒng)計上保持各向同性，且不產生布拉格散射峰。同時，從性能上看，比如光學性質，無序超均勻結構也和晶體或準晶這種有序的超均勻結構很類似，為設計無序光學材料提供了新思路。最近十多年，具有這種特性的結構在自然界中被廣泛發(fā)現，例如雞視網膜中的光感受器排列[5]、植物的葉脈網絡[6]、最密隨機堆積結構[7]，甚至在宇宙早期的物質分布[8]中也存在類似特征。除了這些自然界中的例子，近些年來，研究人員在多種非平衡體系中也發(fā)現了一系列無序超均勻結構[9]，包括但不限于：理想玻璃態(tài)[10]、受剪切的顆粒系統(tǒng)[11]、自驅動粒子系統(tǒng)[12—18]、形狀不規(guī)則的非布朗粒子沉降體系[19]、非互易相互作用的機器人系統(tǒng)[20]等。隨著對該結構性質的深入理解，無序超均勻性不僅在物理學、數學與生物學等基礎研究中展現出重要意義，也在若干前沿技術領域中展現出潛在應用價值。

02

超均勻性與超均勻結構

2.1　超均勻性的基本概念

考慮一個位于

維歐幾里得空間中的點陣，如圖1所示，若定義

N

R

)為在線尺度

R

內的任意采樣窗口

中的點數目，則該尺度下的點數波動可表示為

其中<>為體系平均值的函數。如果考慮的點分布是完全隨機的，例如泊松點分布，點數漲落滿足
。而對于有序點分布，例如周期性晶格結構，點數漲落滿足。超均勻的點陣模式可以被定義為：點數漲落隨著長度尺度R的變化滿足[3]：

其中，當

=1時，稱點分布處于最大超均勻狀態(tài)，其在大尺度上的點數波動的冪律標度與完美晶體等有序結構相同，即約等于

R

-1 。因此，雖然在小尺度上呈現出一定的隨機性，而在大尺度上卻如晶體般均勻的無序超均勻結構常被研究者稱為“無序晶體”。

除了使用點數漲落來表征超均勻性，在多粒子體系中，還可以利用體系的結構因子來表征體系在大尺度上的結構特征，其定義為

其中
是體系的總關聯函數

h

r)≡

g

r)-1的傅里葉變換，這里

g

r) 是體系的徑向分布函數(或稱兩點關聯函數)，k為傅里葉空間的波矢，

為體系的密度。對于完全隨機的泊松點陣分布而言，在整個波矢k空間上均滿足

S

k)=1，而對于完美晶體，則在布拉格峰之外的整個波矢k空間上滿足

S

k)=0。對于超均勻體系，在大尺度上，即|k|→0時，結構因子滿足：

由于
，從而有

S

k|→0)=0，這反映了超均勻體系不具有長程漲落。此外，一般來說，超均勻體系的結構因子通常滿足一定的冪律標度：

且根據大尺度下的漸近分析，指數

與點數漲落

N

2 (

R

)相關，并可用于分類不同的超均勻體系：

此外，超均勻性概念還可被推廣至標量場體系，如兩相介質體系?？紤]一個標量場

r)，其自協(xié)方差函數：

其中r=r2-r1，

為該標量場的均值。若對

r)進行傅里葉變換，類似于一般的點陣分布或者多粒子系統(tǒng)中的結構因子，我們可得到體系譜密度函數。從而，對于標量場體系，超均勻性也可由在大尺度極限下的譜密度函數定義，即，其趨于零也代表超均勻標量場不具有長程漲落。

2.2　超均勻結構的例子

2.2.1　雞眼中的視覺細胞分布

眼睛作為一種光感受器，其視網膜上的視錐細胞在感受不同波長的光線方面起著至關重要的作用。通常，為了優(yōu)化光線感知，這些感光細胞在視網膜上的排布需要滿足兩個條件：高密度和 均勻。前者是因為視網膜的面積有限，生物體通常希望排列盡可能多的感光細胞，而后者則是確保在不同方向上收集到的光信號是均勻的。人類具有三種感光細胞，分別感知紅、綠、藍三個波長區(qū)間的光，從而形成視覺。對于這樣三種大小和數目一樣的感光細胞，其最優(yōu)的排布方式是六方晶格，因其既是二維的最密堆積結構同時又是超均勻的超晶格結構。許多昆蟲的復眼及部分魚類、爬行動物的視錐細胞分布即遵循此規(guī)律。然而，研究發(fā)現，雞作為視覺敏銳的生物，擁有五種不同類型但是大小、數目一樣的視錐細胞。由于幾何規(guī)則的限制，這些細胞并不能在視網膜上排列成完全規(guī)則的高密度超晶格結構。

圖2　超均勻結構的例子：雞眼 (a)雞眼視網膜中的視錐細胞；(b)紫色光視錐細胞空間分布以及(c)5種不同細胞總體分布。其中，右上小圖為對應分布的結構因子[5]

在2014年的一項研究中，研究人員通過測量雞視網膜中視錐細胞的分布結構因子

S

k

)，發(fā)現其分布呈現出超均勻性的特征，即在大尺度下，滿足

S

k

→0)=0 [5] ，如圖2所示。更重要的是，研究顯示，不僅視錐細胞系統(tǒng)總體上呈現超均勻性，每種不同類型的視錐細胞也都展現了類似的超均勻分布。這一現象被稱為“多重超均勻性”(multihyperuniformity)，即在系統(tǒng)整體呈現超均勻性的同時，多個不同的子系統(tǒng)也同時具備超均勻性。這說明，在自然界的漫長演化過程中，無序超均勻結構作為在無序狀態(tài)下的有序晶體結構替代，可能是實現視覺功能優(yōu)化的一種策略。這種超均勻性可使得雞能夠以較優(yōu)的方式感知光線，從而在復雜的視覺環(huán)境中獲得更精確的感知能力。

2.2.2　葉片中的葉脈網絡結構

葉脈網絡是植物葉片中至關重要的生理結構，承擔著水分和養(yǎng)分的運輸任務，同時也為葉片提供了必要的力學支撐。如圖3(a)—(d)所示，葉片中的粗大主脈形成了次級脈的分支網絡，而這些次級脈則發(fā)展出封閉的環(huán)狀結構。2024年，一項研究通過分析這些封閉環(huán)狀結構形成的泡孔結構，測量了由幾何中心構成的點分布，發(fā)現其結構因子在大尺度上展現出超均勻性，并發(fā)現一些不同種類葉片具有普適的超均勻標度律

S

k

k

0.64 [6] ，如圖3(e)，(f)所示。研究人員進一步發(fā)現，葉片中葉脈網絡結構之所以呈現超均勻性，是因為這樣的結構特性使得葉脈系統(tǒng)在水分和養(yǎng)分的傳輸效率上遠超其他無序網絡，并為植物在有限的空間內實現高效的物質交換提供了一個優(yōu)化的解決方案。

圖3　超均勻結構的例子：葉脈網絡 (a，b)葉子與葉脈的圖片；(c，d)葉脈網絡形成的泡孔結構，及其幾何中心構成的點分布；(e，f)葉脈網絡形成的泡孔結構點分布的結構因子以及不同尺度上的粒子數漲落。其中，紫色虛線示意了結構因子的超均勻標度律

S

k

)～

k

0.64 (圖(e))，與其對應的粒子數漲落標度律

N2(

R

)～

R

1.35(圖(f))，黃色虛線示意了典型的非超均勻粒子數漲落標度律

σN

2(

R

)～

R

2(圖(f))

2.3　無序超均勻結構的應用

近年來，隨著人們對無序超均勻結構的理解不斷深入，這種新的物態(tài)在不同領域的應用潛力逐漸開始顯現。比如，研究人員發(fā)現，由于無序超均勻結構與晶體結構在長程上的相似性，它能像傳統(tǒng)光子晶體一樣產生光子帶隙，從而在光子芯片等領域中具有潛在應用[21，22]。值得注意的是，與一般晶體不同，由于無序超均勻結構不具有平移/旋轉對稱性破缺，其具有的光子帶隙是各向同性的。與傳統(tǒng)光子晶體相比，在被用于波導時，由于超均勻態(tài)的光子帶隙是各向同性的，在拐角處的波損耗被極大減少，設計的自由度極大提升，從而使無序超均勻材料相比傳統(tǒng)結構材料更具優(yōu)勢[21]。

此外，除了在光學體系中的應用，超均勻結構在電子輸運體系中也具有潛在應用。通過研究超均勻的非晶態(tài)二維二氧化硅結構，研究人員發(fā)現超均勻結構使體系內的電子波局域化，顯著降低了電子帶隙。與晶體相比，二維二氧化硅結構的帶隙幾乎完全閉合，使其事實上具有金屬性，從而增強了體系中的電子輸運行為[23]。超均勻態(tài)的結構特殊性打破了體系越無序電子輸運效率越低的傳統(tǒng)觀點，并在二維材料以及固體物理等領域有著廣闊的應用前景。

03

非平衡態(tài)體系的例子

3.1　隨機組織體系中的超均勻

3.1.1　超均勻臨界吸收態(tài)結構

在2005年，Pine和其合作者們通過實驗研究了受到周期性剪切作用下的球形聚甲基丙烯酸甲酯(PMMA)粒子懸浮液體系[24]。他們發(fā)現，在低雷諾數條件下，這種受到緩慢剪切的非布朗懸浮液中的粒子動力學具有高度不可逆性和混沌特性，并展現出一種可逆—不可逆轉變。通過測量粒子的軌跡，研究人員發(fā)現，當剪切應變幅度

超過一個與體系濃度相關的閾值

c 時，由于體系中粒子碰撞運動的混沌性，粒子在一個剪切周期的運動后無法回到初始位置，即不可逆態(tài)。若小于該閾值，則可以回到初始位置，即可逆態(tài)。

為了進一步研究可逆—不可逆轉變的動力學機制，Corté等人提出了一種稱作隨機組織(random organization，RO)的模型[25]。如圖4所示，在該模型中，為模擬前述周期性剪切懸浮液實驗中粒子的動力學行為，研究者假設系統(tǒng)包含一定數量的粒子，并置于矩形模擬盒中，且該系統(tǒng)受到一應變幅度為

的周期性剪切作用。當體系受到剪切作用時，體系中的一部分粒子會與其他粒子發(fā)生碰撞，這部分粒子被稱作活躍粒子。為模擬文獻[24] 體系中的不可逆混沌動力學，所有活躍粒子會被給予在給定區(qū)間內的一個隨機大小和方向的位移。從而，當應變幅度較小時，因為體系中的粒子碰撞較少，經過若干次剪切后，體系中活躍粒子的數量逐漸減少至零，系統(tǒng)進入可逆狀態(tài)，粒子運動軌跡最終穩(wěn)定。而當應變幅度較大時，粒子較易發(fā)生碰撞，從而活躍粒子持續(xù)存在，系統(tǒng)維持在一個穩(wěn)定的混沌不可逆狀態(tài)。當選擇穩(wěn)態(tài)的活躍粒子比例

f

a

∞ 作為序參量，這種可逆—不可逆轉變可以被描述為一種吸收態(tài)相變。即當

f

a

∞ =0時，系統(tǒng)處于吸收態(tài)，即體系無法自發(fā)逃離該狀態(tài)；而當

f

a

∞ >0時，系統(tǒng)處于活躍態(tài)。當

c 時，隨著

的增加，

f

a

∞ 發(fā)生平滑的連續(xù)變 化，從吸收態(tài)逐漸過渡至活躍態(tài)，展現出連續(xù)相變的特征。

圖4　守恒定向滲流普適類中吸收態(tài)相變臨界點的超均勻結構 (a)二維RO模型在不同剪切應變下的結構密度漲落；(b)一維RO模型在不同密度下的結構密度漲落；(c)二維CLG模型在不同密度下的結構因子[26]。其中

為剪切應變幅度，

為體系的密度

隨后，在隨機組織模型的臨界吸收相變點處，定義密度漲落為，

l

為密度漲落對應的線尺度。研究發(fā)現，體系在大尺度上的密度漲落表現出異常的被抑制現象，說明該系統(tǒng)具有超均勻性 [26] 。如圖4(a)所示，隨著應變幅度

從吸收態(tài)逐漸逼近臨界相變點

c ，體系密度漲落的超均勻標度行為

2 (

l

l

-2.45 在

l

→∞大尺度處逐漸顯現。此外，在文獻[27]中，研究者證實隨機組織模型的吸收態(tài)相變屬于守恒定向滲流(CDP)普適類。該普適類可描述一系列具有相似臨界行為和相同臨界指數的模型。為了驗證是否同一普適類中的其他模型在臨界點也表現出相同的超均勻結構特征，文獻[26]進一步研究了CDP普適類中的另外兩個模型，即Manna沙堆模型和守恒晶格氣體(CLG)模型。

在二維CLG模型中，研究者計算了粒子密度漲落

2 (

l

) 和結構因子

S

k

)，并發(fā)現其密度漲落標度行為與二維RO模型的結果一致，即

2 (

l

→∞)~

l

-2.45 ，并且也與結構因子在小波數區(qū)域(即大尺度區(qū)域)呈現的標度關系相符合，即

S

k

k

0.45 ，如圖4(c)所示。這說明該臨界超均勻結構具有普適性。此外，研究者還對一維與三維CDP系統(tǒng)進行了研究，發(fā)現一維RO模型的密度漲落在臨界點處滿足超均勻標度關系

2 (

l

→∞)~

l

-1.425 (圖4(b))，而在三維CLG模型中，其密度漲落的超均勻標度關系為

2 (

l

→∞)~

l

-3.24 。這表明，CDP普適類在臨界點的超均勻標度行為依賴于系統(tǒng)的維度。

圖5　剪切懸濁液體系中超均勻臨界態(tài)的結構因子。圖中

為體系的粒子體積分數，三角形標識表明了結構因子在大尺度波動(

k

→0)上符合S(

k

k

0.25 的標度關系 [14]

為了在實驗中驗證三維臨界吸收相變點處的超均勻性，Wilken等人研究了周期性剪切懸浮液在吸收態(tài)相變過程中的結構變化，其實驗裝置與文獻[24]中的設置類似。他們通過測量粒子在每個應變周期內的均方位移來確定不同粒子體積分數

下的臨界應變幅度

c ，并進一步計算了臨界相變點處的結構因子

S

k

)，如圖5所示。在臨界點處，同前人三維體系模擬得到的結果類似，他們也觀察到結構因子在小波數區(qū)域滿足超均勻標度關系

S

k

k

0.25[14]。

3.1.2　超均勻活躍態(tài)

在上一小節(jié)中，我們介紹了守恒定向滲流普適類以及其中代表性的隨機組織模型在吸收態(tài)相變臨界點處的超均勻現象。在隨后的一篇文獻中，Hexner等人又對基于隨機組織模型的變體進行了研究[28]。與原始模型相比，他們在系統(tǒng)中引入了質心守恒(CMC)條件，并發(fā)現這一修改能夠產生新的超均勻態(tài)。如圖6(a)所示，在該模型中，活躍粒子不再是完全隨機的位移，而是給予碰撞粒子對的中心連線方向的大小相同方向相反的位移。位移大小從均勻分布[0,

]中隨機選取，其中

為粒子直 徑，從而保證系統(tǒng)的質心守恒。在這個工作中，為簡便起見，研究者選擇了零應變(

=0)的二維體系進行模擬研究，這樣一來，體系在吸收態(tài)相變中所處的狀態(tài)可由粒子密度所控制。他們研究了不同粒子密度

下的結構因子

S

k

)，結果如圖6(b)所示?？梢杂^察到，在吸收態(tài)相變臨界點，該系統(tǒng)的結構因子仍然滿足與原始RO模型相同的標度關系

S

k

k

0.45 。此外，他們發(fā)現滿足質心守恒的RO模型在活躍態(tài)時呈現出一個新的、與維度無關的結構因子標度關系

S

k

k

2 ，這表明質心守恒條件在活躍態(tài)中抑制了長程密度漲落，并誘導出強烈的長程超均勻性。

圖6 具有質心守恒的RO模型中的臨界點和活躍態(tài)超均勻結構 (a)RO模型的示意圖；(b)RO模型在不同密度下的結構因子[28]

此外，他們還在守恒定向滲流普適類中的另一模型，即Manna模型，中加入質心守恒，以驗證該機制的普適性。研究發(fā)現，在相應的臨界狀態(tài)和活躍態(tài)下，該系統(tǒng)的結構因子也表現出與質心守恒的RO模型相同的超均勻標度行為。

3.2　活性物質體系中的超均勻態(tài)

3.2.1　超均勻隨機組織流體

在3.1中，我們介紹了基于隨機組織模型的一類超均勻體系，包括守恒定向滲流普適類臨界點的超均勻結構以及滿足質心守恒的活躍態(tài)的超均勻結構。值得注意的是，因為真實粒子具有慣性，所以這類系統(tǒng)無法在任何實際的粒子系統(tǒng)中直接實現。為解決這個問題，如圖7(a)所示，文獻[29—31]中提出了一個基于硬球流體的非平衡態(tài)動力學模型。在該模型中，粒子的質量為

m

，直徑為

0 ，系統(tǒng)的密度由無量綱量描述，其中

為體系的維度。與常規(guī)的硬球流體不同，該系統(tǒng)中的粒子在發(fā)生碰撞時，不僅遵循彈性碰撞規(guī)則，還會額外獲得一份活性動能Δ

E

，并由碰撞的兩個粒子平均分配，即激發(fā)碰撞作用。此外，在兩次碰撞間隔期間，粒子受到與其速度

v

成正比的阻力-

0

v

損耗其動能，其中

0 是線性阻尼系數。由此可見，該系統(tǒng)符合常見的驅動耗散系統(tǒng)的特征，并且相行為由兩個特征長度尺度控制：(1)低密度下的粒子平均自由程，表示粒子兩次連續(xù)碰撞之間的特征距離；(2)耗散長度，表示單個孤立粒子獲得活性能量后在阻尼作用下停止行進的特征距離。

與RO模型類似，該體系也展現出吸收態(tài)相變。當

l

l

m 時，系統(tǒng)最終陷入吸收態(tài)，體系中的粒子會歸于靜止；而當

l

l

m時 ，系統(tǒng)會自組織形成一個穩(wěn)態(tài)活性流體，并具有正的動力學溫度

T

k >0。該系統(tǒng)的相圖如圖7(b)所示，其中虛線表示該平均場理論對相邊界的預測(

l

l

m)。

圖7　硬球流體非平衡態(tài)動力學模型中的吸收態(tài)相變以及超均勻活性流體 (a)硬球流體的相互作用示意圖；(b)吸收態(tài)相變相圖；(c，d)平衡態(tài)流體與超均勻態(tài)流體的區(qū)別；(e)在不同密度下的結構因子[29]

通過測量吸收態(tài)相變臨界指數，研究者發(fā)現該系統(tǒng)也可歸類為守恒定向滲流普適類，并且發(fā)現該體系二維臨界點結構的結構因子滿足標度關系

S

k

k

0.45 ，這與前面所述的一致。此外，在二維和三維系統(tǒng)的活性流體中，結構因子表現 出更強的

S

k

k

2的超均勻標度行為。為更深入理解活性流體中的超均勻性，研究者提出了一種基于廣義Navier—Stokes (NS)方程的流體動力學理論。

與一般NS方程不同，由于驅動—耗散體系的特性，體系的動量和能量并不守恒。這是因為該流體受到阻尼摩擦作用，
為流體的阻尼系數。而激發(fā)碰撞反映在噪聲項里。對NS方程進行流體力學線性化，并在空間上作傅立葉變換，研究者發(fā)現體系的密度漲落，其中是體系的平均密度，在傅立葉k空間中滿足一個等效的隨機簡諧振子的運動方程。如圖7(c)所示，當阻尼系數=0時，體系的行為類似于低密度平衡態(tài)流體，滿足

S

k

)?1，這可以理解為該等效振子處于共振態(tài)，在一定熱浴溫度下(即驅動噪聲強度固定時)，根據能量均分定理，諧振子的振幅是恒定的。而當系統(tǒng)處于較大阻尼狀態(tài) >0時，體系在一定長度尺度之上，即

k

l

d -1 ，會表現出超均勻標度行為

S

k

k

2， 如圖7(e)所示。這一行為可解釋為該等效諧振子處于過阻尼狀態(tài)，其等效阻尼系數無限大，從而導致等效諧振子的振幅被抑制為零，如圖7(d)所示。此外，值得注意的是，在該過阻尼狀態(tài)下，該方程形式可以被用來描述質心守恒的RO模型的活躍態(tài)超均勻體系 [28] 。這說明這種超均勻活性流體與RO模型的超均勻活躍態(tài)具有相似的物理機制。

隨后，為了在活性物質體系中進一步實現超均勻活性流體，文獻[29]基于自驅動陀螺模型提出了一種更加現實的超均勻流體態(tài)。在該模型中，自驅動陀螺由兩個剛性連接的粒子組成，在外力矩的驅動下，陀螺會自發(fā)高速旋轉。當兩個陀螺碰撞時，陀螺的旋轉動能會轉變?yōu)槠揭苿幽埽瑥亩鴮崿F了激發(fā)碰撞作用，使體系的平動動能增加；而當陀螺在空間中作自由平動運動時，其又會受到環(huán)境的摩擦阻力，從而耗散平動動能。在無熱條件下，當體系密度和外場足夠大時，研究者發(fā)現這種陀螺流體會呈現出與之前模型一樣的超均勻標度，即

S

k

k

2 ， 如圖(8)所示。這樣一來，前述超均勻流體便可在這種自驅動陀螺體系中被實現。

圖8　自驅動陀螺模型中的超均勻流體態(tài) (a)自驅動陀螺模型示意圖；(b)自驅動陀螺流體在不同驅動力下的結構因子，圖中

為驅動陀螺旋轉的外力矩，

為陀螺之間WCA排斥相互作用的強度 [29]

3.2.2　超均勻手性活性粒子體系

在上小節(jié)中，我們介紹了一種超均勻流體及其在自驅動陀螺體系中的實現。類似地，在文獻[18]中，研究者們通過布朗動力學模擬研究了一種自驅動手性粒子系統(tǒng)。在該系統(tǒng)中，所有粒子受到垂直于粒子運動平面的相同驅動力矩

，并且粒子之間通過Weeks—Chandler—Andersen (WCA)勢能相互作用。在熱浴溫度T，粒子的運動由過阻尼的朗之萬方程控制。由于所有粒子受到相同驅動力作用，在無熱極限

T

=0下，體系中的所有粒子作具有相同手性的圓周運動，且其旋轉半徑

R

與驅動力成反比。

并且，隨著粒子的面積分數或圓周運動半徑的增加，通過測量粒子的均方位移(MSD)，研究者發(fā)現系統(tǒng)會經歷從無碰撞的吸收態(tài)(即擴散系數

D

=0)到有粒子碰撞的碰撞活躍態(tài)(擴散系數

D

>0)的相變。在低粒子面積分數(

=0.2)下，粒子會在活躍態(tài)中做布朗擴散運動，其均方位移隨時間滿足MSD～

t

。并在大尺度上，研究觀察到了強超均勻性，如圖9(a)，(b)所示，其粒子密度漲落滿足<

δρ

2 (

L

→∞)>～

L

-3 ，并且結構因子標度關系為

S

k

→0)～

k

2 。

圖9　自驅動手性粒子體系中的超均勻 (a，b)在

=0.2時，低密度體系在不同旋轉半徑下的密度漲落與結構因子；(c，d)在

=0.4時，高密度體系在不同旋轉半徑下的密度漲落與結構因子 [18]

而在更高的粒子面積分數(

=0.4)的活躍態(tài)中，如圖9(c)，(d)與典型體系結構圖10所示，體系會在小于

R

的尺度上發(fā)生微觀相分離，結構因子呈現臨界標度行為

S

k

)～

k

-2 ，但在大于

R

的長度尺度上仍然保持著超均勻性，其結構因子標度仍為

S

k

→0)～

k

2 。在這種情況下，體系在不同尺度上同時存在兩種看似矛盾的現象——即小尺度上的巨密度漲落與大尺度上的超均勻性。有趣的是，類似的現象也在宇宙早期階段的結構中被發(fā)現，即由于引力導致的的局部巨密度漲落與早期宇宙整體的超均勻性也是共存的 [7] 。

圖10　粒子面積分數

=0.4時，自驅動手性粒子體系在不同旋轉半徑

R

下的典型結構圖像。圖中不同顏色代表粒子自驅動運動的方向，如圖右上角顏色盤所示 [18]

為了解釋活躍態(tài)下的超均勻結構因子標度

S

k

→0)～

k

2 , 研究者通過將粒子的旋轉中心看做等效粒子，在大于旋轉半徑

R

的尺度上，得到了關于等效粒子的密度場方程，其基本形式與帶熱噪聲項的菲克擴散方程相似。值得注意的是，與一般平衡體系不同，該體系中的粒子運動在無熱極限下滿足質心守恒。因此，與平衡態(tài)體系中常見的熱噪聲不同，密度場方程中的等效噪聲亦為質心守恒噪聲，其在大尺度上抑制長波密度漲落，并在體系中引入長程關聯，使體系呈現超均勻性。

在之后的一篇文章[32]中，Zhang 和 Snezhko在實驗體系中實現了手性活性粒子的超均勻結構。他們在AOT/十六烷溶液中制備了若干個梨形聚苯乙烯粒子，并將其夾在兩片玻璃片之間。如圖11(a)所示，當體系置于一垂直于玻璃片的電場

E

時，粒子會由于Quincke旋轉原理進行圓周運動，其中一半的粒子會順時針旋轉，另一半逆時針旋轉，呈現不同的手性。實驗發(fā)現，在不同電場強度下，體系會表現出不同的流體狀態(tài)。如圖11(b)所示，隨著外加電場的減小，粒子運動逐漸呈現渦旋流模式，伴隨超均勻結構逐漸顯現，其粒子密度波動的標度律從<

δρ

2 >～

L

-2 轉變?yōu)?lt;

δρ

2 >～

L

-3 ， 而相應的結構因子的標度律也從

S

k

)～

k

0 變?yōu)?blockquote id="443MP1D4">S

k

)～

k

1 。這一實驗現象定性驗證了前述理論與數值模擬發(fā)現的手性活性粒子的超均勻結構 [18] 。值得注意的是，該實驗發(fā)現的超均勻標度律的指數與前述模擬結果有所不同，這可能是由于實驗中有理論模擬中未考慮到的因素所致，例如流體動力學效應導致的復雜噪聲。

圖11　實驗中實現的手性活性粒子的超均勻結構 (a)實驗體系中的手性活性粒子示意圖；(b)不同電場強度

E

下體系的密度漲落，其中左下角子圖為不同電場強度下的粒子軌跡曲率，存在三種粒子流狀態(tài)：渦旋流、旋轉集群流和自轉粒子流 [32]

3.2.3　超均勻蟲黃藻體系

在文獻[33]中，如圖12(a)所示，Huang等人研究了蟲黃藻的自組織行為。蟲黃藻可利用其鞭毛的擺動在氣液界面上沿著圓周軌跡運動；細胞的游泳行為在液體環(huán)境中產生流場，引發(fā)蟲黃藻之間的長程排斥作用。研究者們發(fā)現這種長程排斥作用可有效抑制大尺度的密度漲落，使體系呈現無序超均勻態(tài)。通過分析細胞分布及快照圖像，在不同的細胞數密度下，他們發(fā)現系統(tǒng)的結構因子在小波數極限下均滿足超均勻標度律

S

k

→0)～

k

0.6 ，如圖12(b)所示。

圖12　蟲黃藻體系中的超均勻結構 (a)蟲黃藻作圓周游動示意圖；(b)不同密度的實驗(散點)與模擬(實線)得到的蟲黃藻結構的結構因子(左上角小圖為實驗得到的超均勻體系的典型結構，右下角小圖為系統(tǒng)演化至穩(wěn)態(tài)后粒子的空間分布)[33]

此外，研究人員還通過計算機模擬對該體系進行了研究。實驗中，蟲黃藻的運動主要受到兩種機制的影響：(1)由圓周游動產生的流體力學相互作用；(2)個體蟲黃藻的隨機跳躍運動。從而在他們的數值模型中，藻類之間的流體相互作用通過正則化Stokeslet方法得到細胞游動所產生的流體流場，進而得到其間相互作用力；而隨機跳躍運動則通過擬合實驗數據，并結合具有長尾特性的Pareto分布進行建模。如圖12(b)右下小圖所示，在系統(tǒng)演化至穩(wěn)態(tài)后，研究人員測量了粒子的空間分布，并計算了其結構因子。結果表明，模擬所得的結構因子與實驗觀測數據高度一致，這進一步說明了實驗中觀察到的超均勻結構來源于藻類細胞圓周游動所引發(fā)的長程流體動力學相互作用。

04

總結與展望

無序超均勻性的概念提出已有二十余年，但在近年來其重要性才廣泛被認識到。在平衡態(tài)系統(tǒng)中，若要實現無序超均勻結構，人們通常需要精細設計的長程相互作用勢能，而這在實驗上極具挑戰(zhàn)性。然而，在非平衡體系中實現無序超均勻結構則無需引入長程相互作用。作為過去十年中超均勻性研究的一個新興方向，非平衡動態(tài)超均勻態(tài)受到了廣泛關注，本文簡要回顧了其近年來的研究進展。

總的來說，這些非平衡體系為在現實體系中實現超均勻結構提供了全新可能，也為開發(fā)功能性超均勻材料鋪平了道路。未來的研究可進一步探索與本文中所述體系具有相似特征的其他系統(tǒng)中是否也能發(fā)現超均勻結構。例如，既然CDP類吸收態(tài)相變體系中已觀測到臨界超均勻態(tài)，那么在其他類型的非平衡相變的體系中是否也能找到類似現象，如可逆—不可逆轉變、退釘相變等，都值得進一步探討。

我們回顧的多數體系皆為經典系統(tǒng)，但無序動態(tài)超均勻態(tài)也可在量子系統(tǒng)中實現。例如，在超導材料中的渦旋系統(tǒng)[34—36]以及邊界驅動的開放量子鏈系統(tǒng)[37，38]中，均發(fā)現了動態(tài)超均勻結構。因此，從多學科的視角出發(fā)，對超均勻性展開研究，正成為一個極具前景的方向。無論是在統(tǒng)計物理、材料科學，還是在生物學、光學乃至量子信息等領域，超均勻結構都展現出獨特的物理性質和廣泛的應用潛力。更一般地來說，探討超均勻性在自然界中的作用同樣值得關注。近年來，人們在越來越多的自然體系中看到了超均勻性的跡象，如生物組織、生態(tài)空間格局，甚至宇宙大尺度結構的分布，這都在提示我們：這種介于有序與無序之間的組織方式，可能是一種被自然反復選用的高效方案。進一步理解這些結構為何會自發(fā)出現，以及它們能如何反向啟發(fā)工程設計、材料構筑、信息感知等多學科問題，進而指導與改善人們生產生活實踐，就顯得尤為重要。也正因超均勻性具有高度普適性，它常在出人意料的場景中顯現并發(fā)揮作用，而跨學科研究將深化對其生成機制的理解，并拓展該領域的研究邊界與應用空間。

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《物理》50年精選文章