《用初等方法研究數論文選集》連載 021

021.8N+A空間

對于由4N+1和4N+3，8N+1、8N+3和8N+5等等形式所定義的數列，世界頂尖的數學家們其實早已進行過廣泛而深入的探討，這與他們對6N±1型數列以及其他諸如a+nb形式的等差數列所展開的研究如出一轍。這一點事實上我早就有所了解，然而他們的研究方法卻顯示出一種根本性的混亂——這并不是說數學家們的思維方式存在邏輯或結構上的問題，而是因為當時缺乏“Ltg-空間理論”這一關鍵工具。在沒有這一理論支撐的情況下，即使是同一個素數，也會以無窮多種不同的等差數列形式被表達和呈現，導致研究體系難以統(tǒng)一，方法繁雜而缺乏系統(tǒng)性。

如下圖

這也是我在2002年春天反復思考的問題：站在自然數的外部視角，以更宏觀的維度審視自然數的整體結構與內在聯系，試圖探尋其背后蘊含的統(tǒng)一性規(guī)律。如果能夠找到這個規(guī)律，許多原本棘手的數學難題或許就能迎刃而解。正是基于這一思路，我最終提出并構建了名為“Ltg-空間理論”的理論框架，它不僅在形式上拓展了傳統(tǒng)數論的邊界，更在方法論層面提供了一種全新的探索路徑。

所以說“某個等差數列含有素數”這種表述在嚴格意義上是錯誤的，更準確的說法應當是：某個特定形式的等差數列能夠表示或生成某些素數。這一區(qū)別至關重要，因為等差數列本身作為整數序列，并不“含有”或“包含”素數，而是其通項公式在取某些自然數參數時可以計算出素數值。

引入“Ltg-空間理論”之后，我們得以在一個選定的、結構良好的數學空間中嚴格定義等差數列與素數的關系。該理論的核心在于，一旦選定了這樣一個空間，我們就建立了一個封閉且一致的數學框架。在這個框架中，每個正整數——無論是素數還是合數——都被唯一地映射為一個坐標對 (N, A)，其中 N 代表項數，A 為與該空間結構相關的特定參數。

因此，只有在使用了“Ltg-空間”并賦予其明確的代數與幾何結構后，我們才能有依據地說“某個等差數列含有素數”。這是因為在此空間中，所有整數（包括素數）都具有唯一的位置標識，數列與數之間的對應關系是確定且無歧義的。也就是說，在這個被隔離的空間內部，每個正整數都唯一對應一個項編號 N，從而使得“含有”這一說法在數學上變得嚴謹和可操作。

以下我將運用我的理論“Ltg-空間理論”來探討4N+A（A=1,2,3,4）的一些特性。

制作的4N+A空間表格如下，

我們來看一下這個表格。

一個等差數列能夠完全覆蓋所有正整數，并且該數列具有獨特的空間隔離特性，它與其他各類等差數列以及級數形式之間存在嚴格的互斥性，確保其他數學結構無法侵入或干擾該數列所定義的獨立數學空間。

2、由4N+1和4N+3這兩種形式所構成的數列，實際上共同覆蓋了除數字2以外的所有正整數中的素數。這兩個數列不僅包含了全部的奇素數，而且每個數列中所包含的素數數量都是無窮無盡的。這一結論具有深刻的數學意義，并不需要經過復雜的推導或證明來驗證，因為它在我們的討論中被當作一種公認的、基礎性的共識，就像數學中的公理一樣自然而牢固。因此，我們可以直接將其視為一個成立的命題。

只有在明確了特定的數學結構和空間框架之后，我們才能夠嚴謹地斷言：在形如4N+1和4N+3的整數數列中，各自包含著無窮多個素數。這一結論的得出，不僅依賴于深刻的代數與解析數論工具，還涉及對素數分布規(guī)律的精細刻畫。因此，這一成果具有重要的理論意義，它成功解決了數論領域中一個長期懸而未決的難題，為理解素數在不同算術級數中的分布行為提供了關鍵支持，同時也推動了相關數學分支的進一步研究和發(fā)展。

3、這個表格中列舉的相差4的孿生素數對，例如（13,17）、（19,23）、（37,41）等，實際上具有無窮多個。這一結論的證明思路與經典的孿生素數猜想——即相差2的素數對是否有無窮多——在方法論上是高度一致的。盡管兩者的具體數值間隔不同，但其所依賴的數論工具與分析框架，特別是篩法與分布密度的估計方法，存在深刻的相通性。由于證明過程較為復雜，且涉及較多的專業(yè)細節(jié)，在此暫不展開討論，我們計劃在后續(xù)的內容中專門深入講解這一命題的證明步驟與相關理論背景。

4、由于空間封閉且結構明確，每一個正整數都可以被分配一個唯一的項數N，使得其在該數列中具有確定的位置。這種一一對應的關系意味著我們可以將整個數列的結構通過數學方式表達出來，從而能夠將原本的數列形式轉化為一個初等函數的方程表示。這種轉換不僅有助于更清晰地理解數列的數學本質，也為進一步分析和計算提供了便利。

5、數列4N+1中的合數項數列：

3k+2

5k+6

7k+12……

K=0,1,2,3……

6、數列4N+1中的合數項方程組：

Nh = a(4b+1)+b

Nh=4ac+3(a+c)+2 其中，a,b,c 都是項數 a≥1，b,c≥0

7、數列4N+3中的合數項數列：

3k+3

5k+8

7k+15……

K=0,1,2,3……

8、數列4N+3中的合數項方程組：

Nh=4ad+3a+d 其中，a,d 都是項數 a≥1，d≥0

關于4N+A空間的文章開始受到了限制，我修改了一下后放開了，但是網上也很難看到，在這里我再重復一遍。現在只要是利用4N+A空間的理論，我們推導到8N+A空間里去，下面我們主要是研究8N+A空間里面的一些性質。

下面的圖片是以往數學家們研究，4N+1、8N+5等差數列的過程，

他們研究的程度也就是狄利克雷定理的程度，有些研究8N+5等等的方法也就太復雜了，我們一般人就真的看不懂了。有一點很明確：簡單問題復雜化了，但是有些問題還沒有解決甚至還是錯誤的。

使用Ltg-空間理論中的4N+A(A=1,2,3,4)擴展到8N+A (1,2,3……8) 。

在4N+A空間里取前兩項N=0,2 這個空間里包含著8個數字，1,2,3…8，用8N+1至8N+8八個等差數列一組，表示全部正整數空間。

看下圖，

當然利用4N+A空間還可以推廣到12N、16N、20N…這些公差相差4的偶數空間。

利用8N+A空間可以推廣到16、24、32、40……這些公差相差8的偶數空間。

這樣可以無限地推廣下去。

這樣會不會影響空間的屏蔽性？

不會！我們注意等差數列空間的形式：WN+A

其中維數W相等的數字只能在一個空間里，可以表示全部正整數。維數W不相等就不會在同一個空間里，這樣正整數的位置就不會受到干擾。

比如3N+1,3N+3，3N+9等等，維數W=3都在一個空間里面，有些僅僅是初始相位A不相同。3N空間不會與其它空間4N,7N等等空間相混淆。這一點必須注意。

下面我們簡單的研究一下8N+A空間的性質。

1、 這8個等差數列表示全部正整數；

2、 每一個正整數包括素數都有了自己確定的位置；

3、 空間屏蔽與維度W8不同的等差數列不能進入這個空間里來；

4、 由于每個正整數都有了自己固定的位置，等差數列函數化；

5、 數列8N+1、8N+3、8N+5、8N+7包含了除2以外正整數中的全部素數；

6、 每一個含素數數列中的素數都是無窮多的（這不需要證明）；

7、 每一個含素數數列都有自己的“合數項數列”

比如，8N+1數列的“合數項數列”是：

3k+1

5k+3

7k+6

11k+15……

Sk+n

8、 每一個含素數數列都有自己的“合數項方程組”

比如，8N+1數列的“合數項方程組”是：

Nh = 8ab+3a+3b+1

Nh = 8ab+5a+5b+3

Nh = 8ab+11a+3b+4

Nh = 8ab+7a+7b+1

9、 素數項剩余是

Ns = N – Nh

這是在區(qū)間[0，N]內，合數與素數的數量關系，同時確定了素數的項位數，也就確定了素數的位置。

以上我們就解決了數學家們多年來如同4N+3 和8N+5這類等差數列表示素數的問題，是不是有無窮多的素數？這些等差數列里面素數的規(guī)律等等問題。

8N+A其它的應用領域

可以用直角坐標系或極坐標系表示，比如下面的直角坐標系，

素數都在四個坐標軸上，是不是可以對表示“原子的核外電子結構”有幫助？或與古老的八卦圖之間有什么關聯？我都沒有深入的研究。

不是有人說我的發(fā)現“Ltg-空間理論”簡單嗎，其實維度W越大里面的問題和公式表示越復雜，這些我都沒有開拓和研究。其實“Ltg-空間理論”徹底改變了數學的基礎構造和數論的研究方向和方法，如果研究下去寫一本書的話，那是一本巨大的宏偉巨著。

2025年11月22日星期六