MIT數(shù)學(xué)系教授Gilbert Strang的線性代數(shù)教材和課程視頻廣受好評(píng)。很多學(xué)生感慨是他的課讓自己真正入門(mén)線性代數(shù)。Strang教授的書(shū)強(qiáng)調(diào)線性代數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用，適合非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)。

撰文 | 楊勁根（復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院）

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出版與作者情況

Gilbert Strang寫(xiě)作的理工類(lèi)線性代數(shù)教材Linear Algebra and Its Applications由Cengage Learning出版公司出版。全書(shū)五百頁(yè)左右。

作者Gilbert Strang在麻省理工學(xué)院完成本科學(xué)業(yè)，后獲羅德獎(jiǎng)學(xué)金赴牛津大學(xué)巴利歐學(xué)院攻讀碩士，在加州大學(xué)洛杉磯分校獲數(shù)學(xué)博士學(xué)位。曾獲得麻省理工學(xué)院Alfred P. Sloan Fellow、加州理工學(xué)院Fairchild Scholar等榮譽(yù)?，F(xiàn)為麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)教授、美國(guó)科學(xué)院院士、牛津大學(xué)巴利歐學(xué)院（Balliol College）榮譽(yù)院士。在1999-2000年間，Gilbert Strang擔(dān)任美國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)（SIAM）主席，在2003-2004年間任美國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)委員會(huì)主席。2005年獲美國(guó)應(yīng)用力學(xué)協(xié)會(huì)頒發(fā)的紐曼獎(jiǎng)。

Gilbert Strang是國(guó)際上應(yīng)用數(shù)學(xué)的大師，學(xué)術(shù)上有很高的造詣。他是中國(guó)改革開(kāi)放后最早訪華的數(shù)學(xué)家之一，曾任西安交大等校的名譽(yù)教授，與中國(guó)學(xué)者有合作研究。Strang教授為人熱情開(kāi)放，富有幽默感。

除了杰出的科研成就外，Gilbert Strang還寫(xiě)了包括本書(shū)內(nèi)的多冊(cè)大學(xué)教材。他的線性代數(shù)視頻課程是麻省理工學(xué)院推出的共享視頻課程最早的一部。

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美國(guó)的線性代數(shù)教學(xué)和教材的背景

近五十年來(lái)，線性代數(shù)成為大學(xué)低年級(jí)的熱門(mén)課程。和微積分一樣，美國(guó)的線性代數(shù)也分兩步走，先學(xué)線性代數(shù)第一教程，再學(xué)它的后續(xù)課程。第一教程是面向各專(zhuān)業(yè)的學(xué)生的，很多大學(xué)數(shù)學(xué)系的學(xué)生也學(xué)第一教程。

1990年十多個(gè)美國(guó)大學(xué)教授在美國(guó)國(guó)家自然科學(xué)基金會(huì)資助下開(kāi)了五天會(huì)專(zhuān)門(mén)討論線性代數(shù)第一教程的改革，會(huì)后向數(shù)學(xué)教育界提出五條建議（見(jiàn)參考文獻(xiàn)[1]）。一些要點(diǎn)概述如下：作為公共基礎(chǔ)課程的線性代數(shù)的大綱應(yīng)優(yōu)先考慮授課對(duì)象的需求。需要學(xué)線性代數(shù)的學(xué)科主要有：計(jì)算機(jī)科學(xué)、電子工程、航天工程、系統(tǒng)工程、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)等。同時(shí)也得考慮少數(shù)修此課的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的需求。由于相當(dāng)數(shù)量的一部分學(xué)生不再修它的后續(xù)課程，本課程必須有一定的完整性。線性代數(shù)的應(yīng)用的講解是必要的，但要簡(jiǎn)明，使不同專(zhuān)業(yè)的學(xué)生都能聽(tīng)懂。課程的深度按學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)來(lái)定。建議此課程以矩陣為主，而不是以抽象的線性空間和線性變換為主，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的線性代數(shù)計(jì)算和應(yīng)用能力，這和培養(yǎng)數(shù)學(xué)系的學(xué)生并無(wú)沖突。課程的核心內(nèi)容如下：

1) 矩陣的加法和乘法，轉(zhuǎn)置，各種運(yùn)算的性質(zhì)，分塊矩陣的運(yùn)算法則。特別要詳細(xì)講解矩陣乘法AB的如下解釋?zhuān)?/p>

• Ax是A的列的一個(gè)線性組合，AB中每一列是A的列的線性組合。如果D是對(duì)角陣，則AD中的每一列是原來(lái)列的放大或縮小。如果P是一個(gè)置換矩陣，則AP的列是A的列的一個(gè)置換。
• AB的每一行是B的行的線性組合，……

2) 線性方程組，包括高斯消去法、初等矩陣、階梯形矩陣、解的存在性和唯一性、逆矩陣、LU-分解。

3) 行列式，余子式，按行或列展開(kāi)，|AB|=|A||B|、Cramer法則。從二階和三階引入行列式的計(jì)算和性質(zhì)，盡量避免冗長(zhǎng)的證明。

4) n維實(shí)空間Rn、線性組合、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)、基、子空間、生成元、子空間的基、矩陣的行空間、列空間、零空間、矩陣所定義的線性變換、矩陣的秩=行秩=列秩、重新解釋線性方程組、秩+零空間維數(shù)=列數(shù)、內(nèi)積、向量的長(zhǎng)度、正交性、標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交陣。不必證明所有定理。

5) 特征值、特征向量、特征子空間、方陣的對(duì)角化、對(duì)稱(chēng)陣和它的正交對(duì)角化、二次型。

6) 正交投影、Gram-Schmidt正交化，QR-分解，最小二乘法。

以上內(nèi)容總共26-28個(gè)教學(xué)日，余下時(shí)間可以講授選學(xué)內(nèi)容。這里的教學(xué)日只有50分鐘的課堂時(shí)間，比我國(guó)的課時(shí)少。

參加討論會(huì)的代表強(qiáng)烈推薦數(shù)學(xué)系必須設(shè)立相應(yīng)的后續(xù)課程，例如抽象線性代數(shù)、矩陣分析、數(shù)值線性代數(shù)，使數(shù)學(xué)系學(xué)生有一個(gè)學(xué)年的線性代數(shù)訓(xùn)練。

美國(guó)大學(xué)的公共線性代數(shù)課程大致上都按上面的精神設(shè)計(jì)的，這也可以在他們使用的教材中反映出來(lái)。對(duì)此有所了解有助于我們對(duì)外國(guó)教材的選用。

目前我國(guó)大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)和非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的界線過(guò)于明顯。筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)分析和線性代數(shù)這兩門(mén)數(shù)學(xué)系的主課可以借鑒美國(guó)的方式，每一門(mén)都分兩個(gè)階段，第一階段學(xué)一個(gè)學(xué)期的公共課程，第二階段學(xué)有嚴(yán)格證明的后續(xù)課程，不失為一種合理的安排。

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本教材的特色

本教材是特點(diǎn)鮮明甚至帶有個(gè)人色彩的教材。和傳統(tǒng)的教材寫(xiě)法不同，把定理的證明也用敘事的方式完成，充分表現(xiàn)作者的教學(xué)理念。全書(shū)的涉及面極廣，工程和經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用實(shí)例很多。本書(shū)對(duì)學(xué)生有一定要求，所以選用此書(shū)作為線性代數(shù)教材需要慎重。

下面就本書(shū)的一些特點(diǎn)加以詳細(xì)評(píng)述。（編者注：本文基于原書(shū)第三版）

3.1 啟發(fā)式教學(xué)

作者寫(xiě)作本教材的初衷是對(duì)原來(lái)線性代數(shù)的教法不滿意，從定義到定理的死板的推導(dǎo)已經(jīng)到了令作者不能容忍的程度。作者認(rèn)為線性代數(shù)不是抽象的數(shù)學(xué)，它是具體、生動(dòng)、有用并且容易懂的數(shù)學(xué)。所以他放棄抽象的推導(dǎo)，而是向讀者用大白話解釋線性代數(shù)的概念和方法。從例子出發(fā)，引導(dǎo)讀者一步一步走向深處。例如在行列式一章，作者并不寫(xiě)出行列式的定義，而從二階行列式出發(fā)，根據(jù)行列式需要滿足的基本性質(zhì)使讀者自已發(fā)現(xiàn)行列式只能這樣來(lái)定義。

讀他的書(shū)就覺(jué)得在聽(tīng)他講課，甚至像聽(tīng)故事一樣。然而他講述的是嚴(yán)格而有一定深度的數(shù)學(xué)。作者在化難為易方面也是下了很大功夫的。

3.2 應(yīng)用范圍廣

本書(shū)的書(shū)名就注定本書(shū)包含很多應(yīng)用方面的內(nèi)容，特別后半部分主要圍繞三個(gè)專(zhuān)題：有限元法（這是作者的強(qiáng)項(xiàng)）、數(shù)值線性代數(shù)、線性規(guī)劃和最優(yōu)化。

3.3 內(nèi)容編排

傳統(tǒng)的線性代數(shù)教材在較早階段講線性變換和它的性質(zhì)，而把歐氏空間和正交變換放在后面。本書(shū)并沒(méi)有專(zhuān)門(mén)的線性變換的章節(jié)，在較早階段就講解向量的正交性、空間的正交基和正交變換等一些知識(shí)，甚至涉及希爾伯特空間和傅里葉級(jí)數(shù)。而把更一般的線性變換，特別是相似變換，放在后面講。這符合從特殊到一般的原則。在線性代數(shù)的教學(xué)實(shí)踐中，線性變換一章是一個(gè)難點(diǎn)，而正交概念是學(xué)生比較容易接受的，這符合從易到難的原則，也更有利于學(xué)生培養(yǎng)幾何直觀。這樣編排的另一個(gè)顯著的好處是讓學(xué)生先學(xué)到一些最有用的線性代數(shù)工具，如最小二乘法、快速傅里葉變換等。

3.4 離散和連續(xù)的關(guān)系

本書(shū)的另一個(gè)顯著的特點(diǎn)是充分強(qiáng)調(diào)連續(xù)數(shù)學(xué)和離散數(shù)學(xué)的聯(lián)系，線性代數(shù)本質(zhì)上是離散的數(shù)學(xué)，而應(yīng)用數(shù)學(xué)中的計(jì)算把連續(xù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，主要是與微分方程有關(guān)的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成離散的數(shù)學(xué)問(wèn)題。作者從頭開(kāi)始就不失時(shí)機(jī)地解釋如何把連續(xù)問(wèn)題離散化。例如，作者清晰地解釋帶形矩陣（即非零元素集中在主對(duì)角線附近的方陣）的來(lái)龍去脈，使讀者知道這種特殊矩陣是從實(shí)際問(wèn)題中產(chǎn)生。這是純粹線性代數(shù)教材未能做到的。

3.5 配套視頻教程

麻省理工學(xué)院發(fā)布的網(wǎng)上第一套視頻教程就是由Strang教授本人講授的線性代數(shù)，內(nèi)容比教材的少一些，基本上和真正的課堂教學(xué)差不多。該教程深受學(xué)生喜歡。鏈接如下：

https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/。

3.6 后續(xù)課程

Gilbert Strang的另一本有名的教材是《應(yīng)用數(shù)學(xué)導(dǎo)引》（Introduction to Applied Mathematics，1986），是線性代數(shù)的后續(xù)課程，銜接緊密而自然。內(nèi)容包括傅里葉分析、復(fù)變函數(shù)、偏微分方程、數(shù)值方法和最優(yōu)化。

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和我國(guó)線性代數(shù)教材的比較和啟示

我國(guó)的線性代數(shù)教材比高等數(shù)學(xué)教材少很多?；旧嫌纱鷶?shù)專(zhuān)業(yè)的教師編寫(xiě)，因此內(nèi)容比較單純。供非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)使用的線性代數(shù)教材大部分是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的線性代數(shù)教材的簡(jiǎn)化版，稍難一些的證明省略掉。Gilbert Strang作為應(yīng)用數(shù)學(xué)界的巨頭，懷著極大的熱情多年從事大學(xué)低年級(jí)的基礎(chǔ)課程教學(xué)，并寫(xiě)作這本優(yōu)秀的極富特色的教材，是難能可貴的。但愿我國(guó)的高層次的應(yīng)用數(shù)學(xué)或其他學(xué)科的學(xué)者多關(guān)心本科生教學(xué)，寫(xiě)出一些有特點(diǎn)的優(yōu)秀教材。

4.1 代數(shù)與幾何

由于線性代數(shù)是解析幾何的自然推廣，代數(shù)計(jì)算和幾何意義同等重要，這是數(shù)學(xué)界的共識(shí)。因此任何一本教材都講矩陣和向量空間，但側(cè)重點(diǎn)有所不同。貫穿本書(shū)的一個(gè)原則是講述每一個(gè)新的概念和方法時(shí)都解釋清楚它們的幾何意義。作者認(rèn)為n維向量空間中的向量是“看的見(jiàn)”的東西，他也試圖用生動(dòng)的解說(shuō)向讀者灌輸這種理念，培養(yǎng)學(xué)生正確的幾何直觀。我國(guó)教材中也在這方面也作一定的努力，但還需要改進(jìn)，因?yàn)橹灰鈺?huì)計(jì)算而沒(méi)有幾何直觀是不能理解線性代數(shù)的精髓的。

4.2 寫(xiě)作風(fēng)格

Gilbert Strang的敘事式的寫(xiě)作風(fēng)格是很難模仿的，但它是值得借鑒的。

4.3 和其他數(shù)學(xué)的聯(lián)系

由于美國(guó)中學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)課程的設(shè)置和內(nèi)容以及深度和我國(guó)有較大的差別，線性代數(shù)中應(yīng)用部分內(nèi)容的取舍也不一樣。就Strang的教材來(lái)看，有些預(yù)備知識(shí)的起點(diǎn)很低，例如作者假定讀者對(duì)復(fù)數(shù)一無(wú)所知，書(shū)中就從頭講起。而在微分方程方面需要讀者有一定的預(yù)備知識(shí)，這可能因?yàn)槁槭±砉W(xué)院歷來(lái)重視微分方程課程，該課程完全從高等數(shù)學(xué)課程中分離出來(lái)成為單獨(dú)的一門(mén)本科生低年級(jí)必修課。我國(guó)多數(shù)線性代數(shù)教材強(qiáng)調(diào)內(nèi)容的自封性，一般把與其他數(shù)學(xué)分支的聯(lián)系降到最低限度。

參考文獻(xiàn)

[1] David Carlson, Charles R. Johnson, David C. Lay, A. Duane Porter, The Linear Algebra Curriculum Study Group Recommendation 46.

本文經(jīng)授權(quán)節(jié)選自教育部復(fù)旦大學(xué)外國(guó)教材中心，原標(biāo)題《國(guó)外高校經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教材書(shū)評(píng)——<線性代數(shù)及其應(yīng)用>》

原文地址：https://library.fudan.edu.cn/wjzx/da/e4/c42365a514788/page.htm

附：中文版序

劉偉安和陳學(xué)勇完成了吉爾伯特·斯特朗的Linear Algebra and Its Applications, Fourth Edition 的翻譯工作，這是一件值得祝賀的事情。我很高興應(yīng)他們的邀請(qǐng)來(lái)為中文版寫(xiě)一篇序。

線性代數(shù)作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支，不僅在理論研究中占據(jù)核心地位，還在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的很多方面具有廣泛的應(yīng)用，例如在機(jī)器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)科學(xué)、工程優(yōu)化等實(shí)際應(yīng)用中，線性代數(shù)作為基本的數(shù)學(xué)工具，發(fā)揮著不可替代的作用。因此，國(guó)內(nèi)外高校無(wú)不將線性代數(shù)列為最重要的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程之一。線性代數(shù)教材種類(lèi)繁多，吉爾伯特·斯特朗的這本Linear Algebra and Its Applications, Fourth Edition 以其獨(dú)特魅力脫穎而出，非常值得一讀。

本書(shū)的作者吉爾伯特·斯特朗是美國(guó)著名數(shù)學(xué)家和教育家，在線性代數(shù)及其諸多應(yīng)用領(lǐng)域均有重要貢獻(xiàn)。他在麻省理工學(xué)院（MIT）執(zhí)教 61 年，培養(yǎng)了不少優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家和工程師。斯特朗的教學(xué)風(fēng)格獨(dú)樹(shù)一幟，他崇尚直觀理解和實(shí)際應(yīng)用，將枯燥的數(shù)學(xué)原理變成生動(dòng)有趣的教學(xué)內(nèi)容，深受學(xué)生們的歡迎。他還編撰了數(shù)本教材，其中就包括這本獨(dú)具特色的Linear Algebra and Its Applications, Fourth Edition。

本書(shū)不同于通常的教材，其獨(dú)特性主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面．一是內(nèi)容安排巧妙，例題選擇深入淺出，口語(yǔ)化的表述把抽象的線性代數(shù)知識(shí)講解得形象生動(dòng)、通俗易懂。二是用了較大的篇幅介紹線性代數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用，使得抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)能與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合（除了前幾章的例題涉及計(jì)算和應(yīng)用，第7章又專(zhuān)門(mén)討論了矩陣的計(jì)算，第8章還介紹了線性規(guī)劃與博弈論）。三是作者在本書(shū)中介紹了較新的研究進(jìn)展，例如計(jì)算方面的奇異值分解、豪斯霍爾德變換，以及線性規(guī)劃方面的內(nèi)點(diǎn)法，等等（作者有這些方面的專(zhuān)長(zhǎng)）。四是作者在麻省理工學(xué)院的開(kāi)放課程網(wǎng)站上開(kāi)設(shè)了線性代數(shù)課程，并建立了自己的線性代數(shù)網(wǎng)站。此外，本版比前幾版增加了一些習(xí)題。

總而言之，我相信：無(wú)論是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的教師和學(xué)生，還是工程學(xué)、物理學(xué)、生命科學(xué)和數(shù)據(jù)科學(xué)等領(lǐng)域的從業(yè)者，都能從本書(shū)中獲得啟發(fā)與幫助。

陳化

2025 年4月于武漢大學(xué)珞珈山

本書(shū)章節(jié)目錄

第1章矩陣與高斯消元法

1.1 引言

1.2 線性方程組的幾何意義

1.3 高斯消元法的一個(gè)例子

1.4 矩陣定義與矩陣乘法

1.5 三角因子和行交換

1.6 矩陣的逆和轉(zhuǎn)置

1.7 特殊矩陣及其應(yīng)用

第2章向量空間

2.1 向量空間和子空間

2.2 方程組Ax=0和Ax=b的解

2.3 線性無(wú)關(guān)、基和維數(shù)

2.4 四種基本子空間

2.5 圖與網(wǎng)絡(luò)

2.6 線性變換

第3章正交性

3.1 正交向量與子空間

3.2 夾角余弦和直線上的投影

3.3 投影與最小二乘法

3.4 正交基與格拉姆–施密特正交化

3.5 快速傅里葉變換

第4章行列式

4.1 引言

4.2 行列式的性質(zhì)

4.3 行列式的公式

4.4 行列式的應(yīng)用

第5章特征值與特征向量

5.1 引言

5.2 矩陣的對(duì)角化

5.3 差分方程與矩陣的冪Ak

5.4 微分方程和eAt

5.5 復(fù)矩陣

5.6 相似變換

第6章正定矩陣

6.1 極小值、極大值和鞍點(diǎn)

6.2 正定性的判別法

6.3 奇異值分解

6.4 最小值原理

6.5 有限元法

第7章矩陣的計(jì)算

7.1 引言

7.2 矩陣的范數(shù)和條件數(shù)

7.3 特征值的計(jì)算

7.4 解Ax=b的迭代法

第8章線性規(guī)劃與博弈論

8.1 線性不等式

8.2 單純形法

8.3 對(duì)偶問(wèn)題

8.4 網(wǎng)絡(luò)模型

8.5 博弈論

附錄A 空間的交、和與積

附錄B 若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形

部分習(xí)題的答案

矩陣分解、詞匯表、MATLAB教學(xué)代碼、線性代數(shù)概要

《斯特朗線性代數(shù)》人民郵電出版社2025年10月版

注：本文封面圖片來(lái)自版權(quán)圖庫(kù)，轉(zhuǎn)載使用可能引發(fā)版權(quán)糾紛。