我在1936年4月成了一名數(shù)學(xué)家。或者在3月？

來源 | 《我想當(dāng)數(shù)學(xué)家》

作者 | [美]保羅·哈爾莫斯

譯者 | 張十銘

01

我不喜歡分析學(xué)

在那一天之前，我還是個(gè)學(xué)生，有時(shí)很出色，有時(shí)不太行。

符號(hào)并不能困擾我，我可以很靈巧地“耍弄”它們，而且我理解代數(shù)的干凈、有限的推理。

我仍然覺得，我生來就是一名代數(shù)學(xué)家，只是環(huán)境的偶然性阻止我成為一名成熟的代數(shù)學(xué)家。

我不理解（甚至做夢也沒有想到）“結(jié)構(gòu)”的思想，后來，布爾巴基使用了這個(gè)詞，我被ε分析的無窮小的細(xì)微之處難住了。

我讀得懂分析證明，如果我努力的話，能記住它們，還能在某種程度上寫下來，但我真的不知道這是怎么回事。

此前一年，當(dāng)斯泰姆利指導(dǎo)我學(xué)習(xí)“高等分析”時(shí)，悲傷的日記遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了愉快的日記。日記里經(jīng)常有“斯泰姆利的分析讓我擔(dān)心”“分析又讓我失望了”“分析失去了控制”，只有很少的內(nèi)容提到“正確地解決了一些傅里葉級(jí)數(shù)的問題！”，以及“分析得A，40題做對(duì)39題”。

當(dāng)我開始讀研究生時(shí)，情況并沒有立即好轉(zhuǎn)。皮爾斯·凱徹姆（Pierce Ketchum）試圖教我一些分析知識(shí)，但我就是沒聽懂。凱徹姆會(huì)說，讓我們考慮一個(gè)定義在單位圓上的函數(shù)，而特德·王（Ted Wang）——一個(gè)在課堂上愛表現(xiàn)的人——會(huì)問：“是開的還是閉的？”我看不出這個(gè)問題有什么意義，也看不出有什么區(qū)別，也不知道誰在乎，我因被打斷而惱火。

另一次，凱徹姆給我布置了一道閱讀題目，讓我在全班同學(xué)面前報(bào)告，這道題目與一致收斂性有關(guān)。他告訴我要讀什么內(nèi)容：哈代（Hardy）的《純數(shù)學(xué)教程》（A Course of Pure Mathematics）中的某些特定頁和蒂奇馬什（Titchmarsh）的《函數(shù)論》（The Theory of Functions）中的某些特定頁。

我硬記住了我的報(bào)告，當(dāng)我不得不從哈代轉(zhuǎn)到蒂奇馬什時(shí)，我?guī)缀醪恢榔渲杏惺裁搓P(guān)聯(lián)，我輕率地把記號(hào)從哈代的改為蒂奇馬什的。對(duì)我而言，我講的不是一個(gè)概念，而是兩組書頁上的符號(hào)。

我不喜歡分析學(xué)。

我還記得當(dāng)時(shí)的情景，天未明，我和安布羅斯在數(shù)學(xué)樓二層一間研討室里交談，他說的一些話是我這只瞎駱駝所需要的最后燭光。我突然明白了ε和極限，一切都清楚了，一切都完美了，一切都令人興奮。我興高采烈地花了一小時(shí)把格蘭維爾、史密斯和朗利編的教材翻檢了一遍，既焦躁又開心地點(diǎn)著頭。

是的，是的，當(dāng)然，我能證明這個(gè)！沒錯(cuò)，這顯然成立。他們?cè)趺纯赡馨咽虑楦阍愕竭@種地步？一切都豁然開朗，順理成章。我在這世上還有很多東西要學(xué)，沒有什么能阻止我去學(xué)。

我就知道我可以。我已成為一名數(shù)學(xué)家。

02

為什么學(xué)幾何？

20 世紀(jì)30年代，伊利諾伊大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)研究生學(xué)習(xí)大綱的設(shè)計(jì)者們似乎堅(jiān)信，他們確切地知道每位數(shù)學(xué)家都必須知道什么。

矩陣、置換群和伽羅瓦理論入圍，豪斯多夫空間和同倫理論出局?！俺鼍帧钡目颇坑袝r(shí)也會(huì)出現(xiàn)，在最后一年，當(dāng)時(shí)我正在撰寫學(xué)位論文，我利用這個(gè)機(jī)會(huì)修了一般拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)課程。一致收斂性和柯西定理入圍，巴拿赫空間、希爾伯特空間和概率論出局。

但是公平地說，別忘了，巴拿赫的書和斯通的書出版于1932年，科爾莫戈羅夫的書出版于1933年。這個(gè)大綱最稀奇的地方是，19世紀(jì)的意大利代數(shù)幾何被納入其中。要想在伊利諾伊大學(xué)獲得數(shù)學(xué)專業(yè)的博士學(xué)位，你必須對(duì)三次曲面上的27條直線了如指掌。

我從阿諾德·埃姆什（Arnold Emch）那里學(xué)習(xí)了幾何課程，他是個(gè)肥胖的小個(gè)子瑞士人，留著白色的山羊胡子，操著濃重的德國口音。在精神上，他絕對(duì)屬于意大利學(xué)派。根據(jù)一些評(píng)論家的觀點(diǎn)，那個(gè)學(xué)派所發(fā)展的代數(shù)幾何是數(shù)學(xué)中唯一把定理的反例看作對(duì)該定理的美麗補(bǔ)充的。埃姆什提到了所有該提到的名字，比如克萊布什和塞韋里，并試圖教我們?nèi)绾螖?shù)一切事物，這門課有時(shí)被稱為計(jì)數(shù)幾何。

有一段時(shí)間，我覺得這很有趣（我的日記上寫著“塞韋里非常值得一讀”）。我們計(jì)數(shù)二重點(diǎn)、尖點(diǎn)、交點(diǎn)和重?cái)?shù)，需要“交易”的組合技巧：首先，兩個(gè)整數(shù)相乘，但這并不是答案，因?yàn)橛行╉?xiàng)在乘積中出現(xiàn)了兩次，所以必須減去；但是，這樣做很明顯導(dǎo)致一些項(xiàng)被不止一次減去，所以必須把它們加回去。我們很難知道什么時(shí)候做完，什么時(shí)候可以停下來。

我們都不敢問，當(dāng)費(fèi)利克斯·韋爾奇（Felix Welch）問起時(shí)（你怎么知道什么時(shí)候該停止呢？），埃姆什很不高興。埃姆什給我們講了泛點(diǎn)，他非正式地使用了這個(gè)詞，卻希望我們能理解它的含義。當(dāng)他知道我們沒有理解的時(shí)候，到了下一節(jié)課開始，他就告訴我們：“泛”，沒有什么特別的意思。

曲線和曲面是實(shí)的，一定如此，因?yàn)槲覀儺嫵隽怂鼈兊膱D形（其中一些包含不止一個(gè)分量）；曲線和曲面是復(fù)的，一定如此，因?yàn)樗鼈冏鳛槎囗?xiàng)式方程總是有解的。

在任何情況下，像“域”和“理想”這樣的詞都沒有被提及。我們認(rèn)為要使這門學(xué)科嚴(yán)謹(jǐn)起來，唯一的辦法就是折騰ε分析，但我們并不真正知道該怎么做。我和班上的其他人一樣困惑，但是，也和其中幾位一樣，我把這門課當(dāng)作游戲。你必須學(xué)會(huì)，然后按照你猜的規(guī)則來玩。我們中的一些人已經(jīng)很擅長了。

安布羅斯玩不好，他堅(jiān)持要知道這些語句的意思。在一次重要考試前的幾個(gè)星期，他放棄了，向我尋求幫助。

我們一起溫習(xí)功課，我把自己知道的一切都告訴了他。在考試的時(shí)候，（我以為）我理解了所有的問題，寫下了它們的答案。安布羅斯不理解這些問題（他后來承認(rèn)了），他只寫下了他從我這里學(xué)到的一切。我得了B，他得了A。

《我想當(dāng)數(shù)學(xué)家》

作者：[美]保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos）

譯者：張十銘

被譽(yù)為“20世紀(jì)數(shù)學(xué)社會(huì)史”的頂級(jí)數(shù)學(xué)家群像寫真?zhèn)饔洠?/p>

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著名數(shù)學(xué)家、教育家哈爾莫斯是數(shù)學(xué)界難得一見的“大家”，書中關(guān)于人生、學(xué)習(xí)、研究和教育的思考影響了一代數(shù)學(xué)家。

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