數(shù)學與物理的相互塑造

數(shù)學與物理之間存在著深刻的共生關(guān)系：數(shù)學為物理現(xiàn)象的描述與預測提供語言和工具，而物理則不斷激發(fā)新的數(shù)學概念的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展。物理學中的許多重大突破，都建立在精密的數(shù)學框架之上。

歷史上，數(shù)學與物理之間的這種互動關(guān)系屢見不鮮。而在當今的量子場論和宇宙學等前沿領(lǐng)域，這種動態(tài)關(guān)系依舊延續(xù)，在這些領(lǐng)域中，新的數(shù)學思想與基礎物理問題正緊密交織在一起。

在一項于近期發(fā)表在《美國數(shù)學學會通訊》上的研究中，兩名數(shù)學家就探討了代數(shù)幾何、代數(shù)分析與組合學在交叉領(lǐng)域的最新發(fā)展，以及它們在微觀粒子物理學和宏觀宇宙學中的應用。

費曼圖

粒子物理學研究的是構(gòu)成物質(zhì)與輻射的基本粒子及其相互作用。在數(shù)學上，散射振幅用于衡量這些相互作用中特定結(jié)果發(fā)生的概率；在實驗上，物理學家通過粒子加速器來研究這些過程。粒子物理學家希望通過研究這些相互作用，來解答一些關(guān)于宇宙本質(zhì)的最基本問題：宇宙是如何誕生的？由什么構(gòu)成？未來又將如何演化？

20世紀40年代，理查德·費曼（Richard Feynman）提出了用圖示法來計算散射振幅?，F(xiàn)如今，費曼圖已經(jīng)被廣泛應用于幾乎所有基本相互作用的計算中，涵蓋強相互作用、弱相互作用和電磁相互作用，無論是在高能物理還是低溫與凝聚態(tài)體系下。

費曼圖被廣泛應用于幾乎所有基本相互作用的計算中，這里展示的是電磁相互作用：它們?nèi)坑赏环N載力粒子——光子傳遞。然而，即便由相同的粒子傳遞，相互作用的結(jié)果仍可能表現(xiàn)為吸引、排斥，或其他更復雜的形式。（圖/V. S. de Carvalho and H. Freire, Nucl. Phys. B, 2013）

然而，費曼的圖示法存在一些根本性的局限。首先，這種方法只有在像電磁力和弱核力這類耦合常數(shù)較小的相互作用中比較有效。在這些情況下，隨著計算的圖越來越多、越來越復雜，結(jié)果會逐漸逼近真實的物理答案。其次，我們無法僅靠增加計算項數(shù)就無限接近精確答案，費曼圖方法展開的并不是一個收斂級數(shù)，而是一個漸近級數(shù)。當超過某個計算項數(shù)后，繼續(xù)增加項反而會讓結(jié)果偏離正確答案。

超越費曼圖的正幾何

費曼圖的復雜性和局限性促使科學家尋找新的語言。2013年，理論物理學家尼馬·阿爾坎尼·哈米德（Nima Arkani-Hamed）和合作者提出了一種全新的幾何對象——振幅多面體（amplituhedron），用于在一種特殊的量子場論中計算散射振幅。

在這一幾何視角下，散射振幅不再需要拆分成無數(shù)費曼圖逐項相加，而是直接通過一個只依賴于粒子初始態(tài)和末態(tài)的純幾何結(jié)構(gòu)來得到。這種方法避免了追蹤粒子在時空中的復雜演化過程。

振幅多面體只是更廣闊的一個領(lǐng)域——正幾何——的一個典型例子。正幾何是近年來興起的跨學科領(lǐng)域，涉及：

• 代數(shù)幾何：通過多項式方程組的解來定義形狀與空間；

• 代數(shù)分析：通過一種叫D-模的數(shù)學對象研究微分方程；

• 組合學：用來描述這些結(jié)構(gòu)的排列與相互作用。

正幾何的核心思想是：一些關(guān)鍵的物理可觀測量（如散射振幅），可以被編碼在某些優(yōu)美的幾何對象（如振幅多面體）中。

這個數(shù)學結(jié)構(gòu)是一個高維幾何對象，用于可視化振幅多面體。只要能計算出特定棱所投影面體的體積，就能得知相應系統(tǒng)的散射振幅——這是一項巨大的數(shù)學進展，并且在原理上與真實物理系統(tǒng)緊密相關(guān)。（圖/Jgmoxness/Wikimedia Commons）

宇宙的幾何語言

令人驚奇的是，這套幾何語言不僅適用于微觀的粒子世界，也延伸到了宏觀的宇宙學。

宇宙學的一個基本任務，是理解物質(zhì)和能量在不同時刻的分布。在實驗室里，物理學家依靠粒子加速器進行高能粒子碰撞實驗，來研究基本粒子的相互作用。但從某種意義上說，大爆炸本身就是一場更為宏大的“實驗”，并將“實驗數(shù)據(jù)”留在了今天的天空中——比如宇宙微波背景和星系的分布等。

如果我們想從這些數(shù)據(jù)中提取有用的信息，就需要新的數(shù)學工具。在理論上，宇宙學家使用“宇宙學相關(guān)器”來模擬早期宇宙初始條件的統(tǒng)計特性，這類似于用散射振幅描述粒子的碰撞。

而正如散射振幅可以用振幅多面體的幾何結(jié)構(gòu)直接給出，宇宙學相關(guān)器也可以通過正幾何中的宇宙學多面體（cosmological polytopes）來重建。這種幾何方法為我們提供了一條全新的思路去重建支配宇宙起源的物理規(guī)律。

數(shù)學架起的橋梁

作者指出，未來需要數(shù)學家與物理學家共同努力，深入研究這些新興的幾何對象和理論。令人振奮的是，已有的合作表明，這些方向不僅能加深我們對物理世界的理解，也能推動數(shù)學本身的發(fā)展。

正幾何不僅是一種工具，更是一種語言——一種或許能在所有尺度上統(tǒng)一我們對自然理解的語言。

#參考來源：

https://www.ams.org/journals/notices/202508/noti3220/noti3220.html?adat=September

https://www.mpg.de/25215172/the-shape-of-the-universe-revealed-through-algebraic-geometry

https://bigthink.com/starts-with-a-bang/positive-geometry-theory-of-everything/

#圖片來源：

封面圖&首圖：Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences