孿生素?cái)?shù)證明其實(shí)很簡(jiǎn)單

——數(shù)論科普

我們從幼兒園時(shí)期就開始學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)，從1數(shù)到2，從2數(shù)到3，從3數(shù)到4，一直這樣數(shù)下去……然而，真正深入理解數(shù)字的含義卻是一件相當(dāng)困難的事情。因此，對(duì)于這個(gè)領(lǐng)域的研究，幾千年來(lái)已經(jīng)發(fā)展成為了一門深?yuàn)W的數(shù)學(xué)分支，那就是被稱作數(shù)論的學(xué)科。

數(shù)論，作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它所涵蓋的問題范圍非常廣泛，是一個(gè)龐大且不斷需要深入探索的領(lǐng)域。在數(shù)論中，有一個(gè)歷史悠久且著名的猜想，即所謂的孿生素?cái)?shù)猜想。這個(gè)猜想已經(jīng)存在數(shù)百年之久，它提出了關(guān)于素?cái)?shù)分布的一個(gè)有趣問題，即是否存在無(wú)窮多對(duì)相差為2的素?cái)?shù)，也就是孿生素?cái)?shù)。盡管數(shù)學(xué)家們已經(jīng)對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了深入的研究，并取得了一些進(jìn)展，但到目前為止，這個(gè)猜想仍然沒有得到完全的證明或反駁，它持續(xù)地挑戰(zhàn)著數(shù)學(xué)界的智慧和耐心。

當(dāng)我們觀察正整數(shù)序列1、2、3、4、5、6、7、8、9……時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)其中包含了一些具有特殊性質(zhì)的數(shù)字。這些數(shù)字包括2、3、5、7等，它們最顯著的特征是“只能被1和它們自身整除”，換句話說，除了1以外，它們不包含任何其他的因數(shù)。

在這些數(shù)字中，有一些特別的數(shù)對(duì)，例如（2,3）、（3,5）、（5,7）、（11,13）……這些由兩個(gè)數(shù)字組成的數(shù)對(duì)。我們將這些數(shù)對(duì)稱為“孿生素?cái)?shù)”。

古代數(shù)學(xué)家們自然會(huì)提出這樣的問題：素?cái)?shù)在正整數(shù)中是有限的還是無(wú)限的？孿生素?cái)?shù)對(duì)在正整數(shù)中是有限的還是無(wú)限的？

關(guān)于第一個(gè)問題，古代著名的數(shù)學(xué)家歐幾里得運(yùn)用了一種非常巧妙且富有智慧的方法來(lái)證明了其正確性。至于第二個(gè)問題，我本人在2002年的春天就已經(jīng)成功地證明了它的答案。然而，由于我是一名所謂的“民科”，從2002年開始，我便開始向各種學(xué)術(shù)期刊投稿我的研究成果。遺憾的是，在接下來(lái)的11年時(shí)間里，幾乎沒有任何一家學(xué)術(shù)期刊對(duì)我的投稿表示出興趣或者給予回應(yīng)。這種情況一直持續(xù)到2011年。從大約2011年開始，我便停止了向期刊投稿的努力，轉(zhuǎn)而選擇在網(wǎng)絡(luò)上發(fā)布我的這些研究成果和文章。

歐幾里得，古希臘的數(shù)學(xué)家，他提出了一種證明方法，來(lái)展示素?cái)?shù)在正整數(shù)序列中是無(wú)窮無(wú)盡的。

他首先假設(shè)存在一個(gè)最大的素?cái)?shù)，我們將其命名為S。根據(jù)這個(gè)假設(shè)，S之后將不再有其他的素?cái)?shù)。接著，歐幾里得考慮了所有小于或等于S的正整數(shù)，并將它們相乘，然后在結(jié)果的基礎(chǔ)上加1，得到一個(gè)新的數(shù)Z，即

1×2×3×5×7……×S+1=Z（需要注意的是，在過去，數(shù)學(xué)家們將1也視為素?cái)?shù)）。

顯然，這個(gè)數(shù)Z比S要大得多，而且它不可能被S或者S之前的所有素?cái)?shù)整除。

接下來(lái)，我們分析這個(gè)數(shù)Z。如果Z本身是一個(gè)素?cái)?shù)，那么這就直接證明了素?cái)?shù)是無(wú)窮的，因?yàn)閆大于S。如果Z不是素?cái)?shù)，那么它必須能夠被某個(gè)素?cái)?shù)整除。然而，由于Z比S大，且不能被S及S之前的任何素?cái)?shù)整除，這就意味著必須存在一個(gè)大于S的素?cái)?shù)，它能夠整除Z。

無(wú)論Z是素?cái)?shù)還是合數(shù)，這個(gè)結(jié)論都與最初的假設(shè)——S是最大的素?cái)?shù)——相矛盾。因此，我們可以得出結(jié)論，正整數(shù)中素?cái)?shù)的數(shù)量是無(wú)限的。

在探索孿生素?cái)?shù)證明的過程中，數(shù)學(xué)家們以及眾多的業(yè)余愛好者都經(jīng)歷了漫長(zhǎng)而艱難的歷程，盡管道路坎坷，但最終還是取得了一些重要的成果。至于這些成果是否得到了所謂的數(shù)學(xué)權(quán)威機(jī)構(gòu)的認(rèn)可，其實(shí)并不是那么重要，關(guān)鍵在于這些證明是否真實(shí)可靠。與過去相比，現(xiàn)代社會(huì)有了互聯(lián)網(wǎng)的便利，任何人在網(wǎng)絡(luò)上發(fā)表的學(xué)術(shù)文章，無(wú)論是否得到傳統(tǒng)“數(shù)學(xué)界”權(quán)威的承認(rèn)，都會(huì)被記錄下來(lái)，成為歷史的一部分。

接下來(lái)，我將采用我的方法再次證明素?cái)?shù)的無(wú)窮多性以及孿生素?cái)?shù)猜想。

第一步，必須使用“Ltg-空間”的概念

什么是“Ltg-空間”理論，看下面的定義：

所有正整數(shù)1、2、3 ……均可由一組等差數(shù)列表示，這些等差數(shù)列按序1、2、3 ……構(gòu)成無(wú)限空間。選定特定等差數(shù)列空間后，這個(gè)空間自然就要與其他空間隔離，此時(shí)全部正整數(shù)（包括素?cái)?shù)及合數(shù)）均獲得固定位置，并對(duì)應(yīng)唯一項(xiàng)數(shù)N。因此，素?cái)?shù)及合數(shù)的出現(xiàn)均遵循特定規(guī)律而非隨機(jī)離散發(fā)生。

設(shè)Zk為全體正整數(shù)空間，則有公式：

Zk=kN+A

其中：k表示維度，k=1,2,3…

N為各正整數(shù)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，N=0,1,2,3…

A為特定空間內(nèi)等差數(shù)列的順序號(hào)，A=1,2,3…

看下面的示意圖，

第二步，使用Ltg-空間里面的N+A(A=1)空間

我們可以將正整數(shù)序列1、2、3……視為一個(gè)封閉且獨(dú)立的空間，這個(gè)空間必須與其他空間保持隔離狀態(tài)。在這種情況下，每一個(gè)正整數(shù)都可以與一個(gè)特定的項(xiàng)數(shù)N相對(duì)應(yīng)。這樣一來(lái)，原本的差數(shù)列就轉(zhuǎn)變成了一種函數(shù)關(guān)系。

看下圖，

通過這樣的轉(zhuǎn)變，我們與其他古今研究數(shù)論的學(xué)者們就展現(xiàn)出了顯著的不同。僅僅是增加了一個(gè)項(xiàng)數(shù)N，就使得我們的研究方法和結(jié)果與他們產(chǎn)生了天壤之別。

第三步，使用初等函數(shù)公式

我們分析這個(gè)空間可以看到，里面有大量的“合數(shù)方程組”，

Z(k)=2k+1

Z(k)=3k+2

Z(k)=5k+4

Z(k)=7k+6

Z(k)=11k+10 ……

Z(k)=Sk+N

其中，S是正整數(shù)中的全部素?cái)?shù)，k是函數(shù)的自變量，N是表格里面的項(xiàng)數(shù)。

第四部，證明

當(dāng)我們仔細(xì)地審視這個(gè)表格，我們就會(huì)注意到一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象，那就是新的素?cái)?shù)以及它們的合數(shù)似乎只會(huì)在特定的項(xiàng)數(shù)上出現(xiàn)，

這些特定的項(xiàng)數(shù)包括2、4、6、8、10、12等等，

我們可以將這些位置稱為“素?cái)?shù)空穴”位置，這個(gè)稱呼雖然包含了合數(shù)，但并不影響其描述的準(zhǔn)確性。

為了更精確地描述這一現(xiàn)象，我們可以使用兩個(gè)初等函數(shù)公式來(lái)進(jìn)行表示：

S(k)=2k+2和S(k)=2k+4，

這兩個(gè)公式實(shí)際上代表了兩條斜率為2的直線方程。

在這些位置上出現(xiàn)的新素?cái)?shù)的合數(shù)函數(shù)可以表示為：

S(k)=3k+2

S(k)=5k+4

S(k)=7k+6

S(k)=11k+10

S(k)=13k+12……

其中，S(k)=Sk+N

看下面圖形，

在我們所討論的圖表中，黑色的偶數(shù)周期的直線被用來(lái)表示“素?cái)?shù)空穴”的位置，這種位置在圖表中僅有兩條。相對(duì)地，紅色的奇數(shù)周期的直線數(shù)量則是無(wú)限的，他們代表了素?cái)?shù)與他們形成的合數(shù)所處的位置。每一條紅色的奇數(shù)周期直線實(shí)際上都代表了一個(gè)特定的“線族”，通過選取不同的N值，我們可以形成一組無(wú)限多的直線。通過這個(gè)獨(dú)特的表格，我們可以清晰地觀察到素?cái)?shù)與合數(shù)分布的規(guī)律性。

第一個(gè)證明素?cái)?shù)有無(wú)窮多

通過觀察圖形我們可以清晰地看到，所有由素?cái)?shù)組成的合數(shù)S(k)=Sk+N，它們的周期性表現(xiàn)總是呈現(xiàn)出素?cái)?shù)S的形式，即總是奇數(shù)。這些周期永遠(yuǎn)不會(huì)與所謂的“素?cái)?shù)空穴”函數(shù)S(k)=2k+2和S(k)=2k+4的周期性完全一致。換句話說，無(wú)論出現(xiàn)多少新的素?cái)?shù)以及由它們構(gòu)成的合數(shù)，都無(wú)法完全填補(bǔ)S(k)=2k+2和S(k)=2k+4所代表的素?cái)?shù)空缺。因此，我們可以得出結(jié)論，在正整數(shù)的序列中，素?cái)?shù)是無(wú)限存在的。

第二個(gè)證明孿生素?cái)?shù)有無(wú)窮多

當(dāng)我們考慮直線方程S(k)=2k+2時(shí)，可以在這個(gè)方程中任意選取一個(gè)素?cái)?shù)P。根據(jù)這個(gè)素?cái)?shù)P，我們可以構(gòu)造出一個(gè)數(shù)對(duì)（P, P+2）。

進(jìn)一步地，我們觀察到P+2等于另一個(gè)直線方程S(k)=2k+4中的值，即P+2=S(k)=2k+4。在之前的證明過程中，我們已經(jīng)確定了在直線方程S(k)=2k+4中存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)。這些素?cái)?shù)的位置并不受另一個(gè)函數(shù)S(k)=2k+2的限制。因此，完全有可能出現(xiàn)的情況是，數(shù)對(duì)（P, P+2）中的兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)。

證畢！

這確實(shí)是一個(gè)非常簡(jiǎn)單易懂的過程，我們非常歡迎中學(xué)的數(shù)學(xué)老師能夠向?qū)W生們講解這些內(nèi)容，以此來(lái)幫助他們拓寬和增加他們的知識(shí)面。

在本文中，我打算詳細(xì)整理一下關(guān)于尋找國(guó)內(nèi)一個(gè)門檻相對(duì)較低的數(shù)學(xué)期刊進(jìn)行投稿的相關(guān)事宜。需要明確的是，我進(jìn)行投稿的目的并不是為了評(píng)職稱，因此我并不愿意花費(fèi)過多的金錢在投稿這件事情上。

也許，我根本就無(wú)法順利通過那些由一些人所把守的“解析數(shù)論”這個(gè)難關(guān)，就像是要穿越一個(gè)充滿挑戰(zhàn)和考驗(yàn)的鬼門關(guān)一樣。

2025年9月21日星期日