量子計算因其在密碼破譯、藥物設計、材料探索等領域的革命性潛力而備受矚目, 被視為下一代計算范式的關鍵. 然而, 這一巨大潛力面臨著一個根本性挑戰(zhàn): 量子比特極其脆弱, 極易受到環(huán)境噪聲的干擾. 這些無處不在的噪聲會導致硬件層面每秒發(fā)生數(shù)億次錯誤, 使得當前量子計算機難以實現(xiàn)穩(wěn)定、高精度的計算. 為了跨越這一障礙, 量子糾錯技術應運而生, 它如同連接原始硬件與可靠算法之間的核心橋梁. 其核心思想在于: 將邏輯比特的信息冗余編碼在多個物理比特之上, 形成一個更堅固的單元. 通過持續(xù)測量特定的輔助比特, 系統(tǒng)能夠?qū)崟r診斷邏輯比特可能發(fā)生的錯誤類型, 并據(jù)此施加精準修正. 這一閉環(huán)過程的核心目標, 正是在充滿噪聲的環(huán)境中主動壓制邏輯比特上的錯誤, 最終在邏輯層面實現(xiàn)遠超物理硬件水平的計算精度與可靠性.

為實現(xiàn)上述編碼以及糾錯過程, 研究人員提出了各種各樣的糾錯碼, 如: 重復碼、表面碼以及各種低密度奇偶校驗碼等. 在各種各樣的量子糾錯碼中, 重復碼是目前唯一在實驗中實現(xiàn)大碼距且錯誤率極低的量子糾錯編碼方案. 這一獨特優(yōu)勢使其成為評估量子硬件性能、檢測量子比特漏失等缺陷的關鍵工具, 同時也為構建可擴展的容錯量子計算機奠定了基礎. 谷歌量子計算團隊在2023年的實驗中實現(xiàn)了碼距為25的重復碼, 展示了10?6量級的邏輯錯誤率; 后續(xù)研究發(fā)現(xiàn)造成這一微小錯誤率的原因是宇宙中高能射線的影響[1,2]; 在最近的實驗中[3], 谷歌量子計算團隊采用碼距29的重復碼實驗進一步將錯誤率降低到10?10, 并推測錯誤的原因是未知的關聯(lián)噪音.

為實現(xiàn)上述極低的錯誤率, 解碼算法至關重要, 它必須盡可能精確, 以避免引入額外的算法誤差. 然而, 現(xiàn)有解碼算法MWPM[4,5]雖然高效, 卻并不是理論最優(yōu)的解碼方法, 因此有可能引入額外的邏輯錯誤. 那么一個自然的問題是: 是否存在理論上最優(yōu)的解碼方法, 從根本上去除解碼算法可能帶來的邏輯錯誤呢?

近期, 我們提出了一種基于平面圖自旋玻璃模型配分函數(shù)的精確解的最大似然解碼算法, 并將這一創(chuàng)新方法命名為“Planar”[6]. 利用Planar解碼算法, 我們首次實現(xiàn)了在線路級噪音下重復碼的嚴格最優(yōu)解碼, 并精確求解了線路級噪音下重復碼的糾錯閾值. 此外, 我們將該方法應用于谷歌的實驗數(shù)據(jù)以及北京量子信息科學研究院的超導量子芯片實驗, 獲得了比經(jīng)典MWPM算法更低的邏輯錯誤率, 并指出谷歌實驗中至少有四分之一的錯誤并非源自其聲稱的未知錯誤源, 而是由于所采用的解碼算法本身.

Planar方法的精髓是將糾錯碼的最優(yōu)解碼問題映射到統(tǒng)計物理伊辛模型的配分函數(shù)計算問題上, 并利用平面圖伊辛模型嚴格計算方法加以求解. 下面以重復碼線路級噪音模型進行介紹. 圖1(a)展示了一個碼距為3的比特翻轉(zhuǎn)重復碼的線路, 在線路級噪音下, 這個線路中每一個量子門操作都可能造成錯誤. 為便于處理這種復雜的噪音模型, 我們首先通過輔助比特的測量結果之間的線性異或(Xor)定義了奇偶校驗探測器[7]. 沒有錯誤發(fā)生時這些探測器的結果都是平庸的; 如果出現(xiàn)了非平庸的探測結果, 則意味著線路中有些區(qū)域發(fā)生了錯誤, 而這些探測信號可以被用來推斷所發(fā)生的邏輯錯誤是什么. 其中不同顏色的線路區(qū)域中發(fā)生的比特翻轉(zhuǎn)噪音會改變圖1(b)中相應顏色的奇偶校驗探測器的測量結果. 在這個例子中, 邏輯比特只有發(fā)生比特翻轉(zhuǎn)和沒有翻轉(zhuǎn)兩種可能. 理論上, 最優(yōu)的解碼方法需要計算這兩種情況所發(fā)生的概率值. 但是, 由于每種情況會對應到指數(shù)多個可能的錯誤構型(即所有區(qū)域上有沒有發(fā)生錯誤的組合), 概率值的計算需要把指數(shù)多個錯誤構型的發(fā)生概率進行求和. 由此可見, 這個計算與求和指數(shù)多個伊辛模型構型的權重來求配分函數(shù)是非常類似的. 在這個例子中, 我們會先將線路轉(zhuǎn)換成為圖1(b)中所示的糾錯圖, 并將所有符合測量信號的錯誤構型的求和轉(zhuǎn)換為這張圖所對應的對偶圖中自旋變量的求和[7]. 進一步, 通過量子糾錯的統(tǒng)計物理映射[8], 我們將糾錯圖轉(zhuǎn)換成圖1(c)中所示的伊辛模型, 此時邏輯錯誤的總概率就嚴格對應到此伊辛模型的配分函數(shù)求解了. 我們注意到, 這個伊辛模型中沒有任何一條邊會跨過另外一條邊, 因此我們稱之為“平面圖”伊辛模型.

圖1 (a) 碼距為3且重復觀測輪數(shù)為2的重復碼糾錯線路; (b) 探測器噪音模型對應的糾錯圖(實線)及其對偶圖(虛線); (c) 增加輔助自旋后構成的平面伊辛模型示意圖[6]

在理論物理領域, 伊辛模型的嚴格求解, 特別是Onsager 1944年提出的二維伊辛模型嚴格解, 具有里程碑的意義: 它證明了二維伊辛模型存在相變, 為相變與臨界現(xiàn)象提供了深刻的見解, 并啟發(fā)了后續(xù)統(tǒng)計物理嚴格理論的發(fā)展. 在本文所述工作中, 我們將有限大小平面圖伊辛模型的一種嚴格求解方法——1952年所提出的Kac-Ward理論[9], 用于糾錯碼所對應的平面圖伊辛模型, 從而提出了應用于線路噪音重復碼的最優(yōu)解碼方法. 此方法不僅解碼精度高, 計算速度也非?？? 通過實驗數(shù)據(jù)擬合得到的糾錯時間復雜度為 O ( N 0.82), 其中 N 為對應伊辛模型變量的個數(shù).

我們用大量的數(shù)值實驗驗證了嚴格解碼方法的優(yōu)越性. 首先, 對于已知噪音模型(例如退極化噪音和超導SI1000噪音模型)的重復碼, 新方法首次得到了嚴格的糾錯閾值, 如圖2(a)和(b)所示; 其次, 在谷歌最新的量子存儲實驗的實測數(shù)據(jù)之上[3], 我們對其重復碼解碼過程進行了重新解析并得到了比谷歌所使用方法更低的邏輯錯誤率, 以及更小的“錯誤壓低因子”圖2(c), 也因此展示了谷歌實驗中的誤差至少有四分之一不是來源于其所宣稱的未知錯誤源, 而是谷歌所采用的解碼算法; 最后, 北京量子信息科學研究院的團隊在72量子比特的芯片上開展了不同碼距的無重置操作重復碼量子存儲糾錯實驗. 在相關實驗數(shù)據(jù)上的解碼結果展示了在非理想的噪音模型條件下Planar算法仍然有相較于MWPM的顯著優(yōu)勢, 如圖2(d)所示.

圖 2 (a) 退極化噪音模型下重復碼的Planar嚴格解碼結果; (b) 超導SI1000噪音模型下重復碼的嚴格解碼結果; (c) 谷歌重復碼量子存儲實驗數(shù)據(jù)的Planar解碼結果; (d) 72比特超導量子芯片上所實現(xiàn)的重復碼量子存儲實驗的解碼結果 [6]

此外, 我們提出的Planar解碼方法具有普適性, 可應用于所有最大似然解碼問題, 可映射為平面圖自旋玻璃模型的量子糾錯碼體系. 例如, Planar方法可以適用于表面碼(surface code)、旋轉(zhuǎn)表面碼(rotated surface code)以及六邊形碼(hexagon code)在獨立且無關聯(lián)的碼容量噪音下的解碼[10]. 在文獻[6] 的補充材料中, 作者詳細給出了表面碼到平面自旋玻璃模型的完整映射方法以及相應的數(shù)值結果. 這些數(shù)值實驗結果充分證明, 相較于傳統(tǒng)的MWPM, Planar解碼器展現(xiàn)出顯著優(yōu)勢.

參考文獻

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[2] Li X G, Wang J H, Jiang Y Y, et al. Direct evidence for cosmic-ray-induced correlated errors in superconducting qubit array. 2024, arXiv: 2402.04245.

[3] Acharya R, Abanin D A, Aghababaie-Beni L, et al. Quantum error correction below the surface code threshold . Nature , 2025 , 638: 920 -926

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[5] Higgott O. PyMatching: a Python package for decoding quantum codes with minimum-weight perfect matching . ACM Trans Quantum Computing , 2022 , 3: 1 -16

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[8] Chubb C T, Flammia S T. Statistical mechanical models for quantum codes with correlated noise. Annales de l’Institut Henri Poincar′e D, 2021, 8: 269–321.

[9] Kac M, Ward J C. A combinatorial solution of the two-dimensional Ising model . Phys Rev , 1952 , 88: 1332 -1337

[10] Feng D, Cao H, Zhang P. PLANAR: a software for exact decoding quantum error correction codes with planar structure . Chin Phys B , 2025 , 34: 050311

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